Номер 22.61, страница 211 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

22.61. Два треугольника $ABC$ и $A_1B_1C_1$ расположены так, что точка $B$ — середина отрезка $AB_1$, точка $C$ — середина отрезка $BC_1$, точка $A$ — середина отрезка $CA_1$. Найдите площадь треугольника $A_1B_1C_1$, если площадь треугольника $ABC$ равна $S$.

Обозначим площадь треугольника $ABC$ как $S_{ABC}$, а площадь треугольника $A_1B_1C_1$ как $S_{A_1B_1C_1}$. По условию, $S_{ABC} = S$.

Рассмотрим треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$ в векторном виде. Пусть $A, B, C$ — радиус-векторы вершин треугольника $ABC$, а $A_1, B_1, C_1$ — радиус-векторы вершин треугольника $A_1B_1C_1$.

Из условия задачи следуют соотношения:

• Точка $B$ — середина отрезка $AB_1$, следовательно, $B = \frac{A + B_1}{2}$, откуда $B_1 = 2B - A$.
• Точка $C$ — середина отрезка $BC_1$, следовательно, $C = \frac{B + C_1}{2}$, откуда $C_1 = 2C - B$.
• Точка $A$ — середина отрезка $CA_1$, следовательно, $A = \frac{C + A_1}{2}$, откуда $A_1 = 2A - C$.

Площадь треугольника $ABC$ может быть выражена через векторное произведение его сторон: $S = S_{ABC} = \frac{1}{2} |\vec{AB} \times \vec{AC}| = \frac{1}{2} |(B-A) \times (C-A)|$.

Найдем векторы сторон треугольника $A_1B_1C_1$:

$\vec{A_1B_1} = B_1 - A_1 = (2B - A) - (2A - C) = 2B - 3A + C$

$\vec{A_1C_1} = C_1 - A_1 = (2C - B) - (2A - C) = 3C - B - 2A$

Теперь найдем векторное произведение этих сторон:

$\vec{A_1B_1} \times \vec{A_1C_1} = (2B - 3A + C) \times (3C - B - 2A)$

Раскроем скобки, учитывая, что $V \times V = 0$ и $U \times V = -V \times U$:

$(2B \times 3C) - (2B \times B) - (2B \times 2A) - (3A \times 3C) + (3A \times B) + (3A \times 2A) + (C \times 3C) - (C \times B) - (C \times 2A)$

$= 6(B \times C) - 0 - 4(B \times A) - 9(A \times C) + 3(A \times B) + 0 + 0 - (C \times B) - 2(C \times A)$

$= 6(B \times C) + 4(A \times B) + 9(C \times A) + 3(A \times B) + (B \times C) - 2(C \times A)$

Сгруппируем подобные члены:

$= (4+3)(A \times B) + (6+1)(B \times C) + (9-2)(C \times A)$

$= 7(A \times B) + 7(B \times C) + 7(C \times A)$

$= 7(A \times B + B \times C + C \times A)$

Вспомним, что векторное произведение, соответствующее площади треугольника $ABC$, равно:

$(B-A) \times (C-A) = B \times C - B \times A - A \times C + A \times A = B \times C + A \times B + C \times A$

Таким образом, мы получили:

$\vec{A_1B_1} \times \vec{A_1C_1} = 7 (A \times B + B \times C + C \times A) = 7 (\vec{AB} \times \vec{AC})$

Площадь треугольника $A_1B_1C_1$ равна:

$S_{A_1B_1C_1} = \frac{1}{2} |\vec{A_1B_1} \times \vec{A_1C_1}| = \frac{1}{2} |7 (\vec{AB} \times \vec{AC})| = 7 \cdot \left(\frac{1}{2} |\vec{AB} \times \vec{AC}|\right) = 7 S_{ABC} = 7S$.

Альтернативное геометрическое решение:

Площадь треугольника $A_1B_1C_1$ можно представить как сумму площади центрального треугольника $ABC$ и трех треугольников, примыкающих к его сторонам: $A_1BC$, $B_1CA$ и $C_1AB$.

$S_{A_1B_1C_1} = S_{ABC} + S_{A_1BC} + S_{B_1CA} + S_{C_1AB}$

1. Найдем площадь треугольника $A_1BC$. По условию, точка $A$ — середина отрезка $CA_1$. Это значит, что точки $C, A, A_1$ лежат на одной прямой и $CA = AA_1$. Рассмотрим треугольники $ABC$ и $A_1BA$. У них общее основание $AB$... нет, это неверный подход. Рассмотрим треугольники $ABC$ и $A_1BA$ с общей высотой из вершины $B$ на прямую $CA_1$. Их основания $AC$ и $AA_1$ равны. Следовательно, их площади равны: $S_{A_1BA} = S_{ABC} = S$. Тогда площадь треугольника $A_1BC$ равна сумме площадей треугольников $ABC$ и $A_1BA$: $S_{A_1BC} = S_{ABC} + S_{A_1BA} = S + S = 2S$.

2. Аналогично, найдем площадь треугольника $B_1CA$. Точка $B$ — середина отрезка $AB_1$. Треугольники $ABC$ и $B_1CB$ имеют равные основания $AB$ и $B_1B$ и общую высоту из вершины $C$ на прямую $AB_1$. Значит, $S_{B_1CB} = S_{ABC} = S$. Площадь треугольника $B_1CA$ равна: $S_{B_1CA} = S_{ABC} + S_{B_1CB} = S + S = 2S$.

3. Аналогично, найдем площадь треугольника $C_1AB$. Точка $C$ — середина отрезка $BC_1$. Треугольники $ABC$ и $C_1AC$ имеют равные основания $BC$ и $C_1C$ и общую высоту из вершины $A$ на прямую $BC_1$. Значит, $S_{C_1AC} = S_{ABC} = S$. Площадь треугольника $C_1AB$ равна: $S_{C_1AB} = S_{ABC} + S_{C_1AC} = S + S = 2S$.

Теперь сложим площади всех четырех треугольников:

$S_{A_1B_1C_1} = S_{ABC} + S_{A_1BC} + S_{B_1CA} + S_{C_1AB} = S + 2S + 2S + 2S = 7S$.

Ответ: $7S$