Номер 22.64, страница 211 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

22.64. В треугольник $ABC$, периметр которого равен 30 см, вписана окружность. Касательная к этой окружности пересекает стороны $AB$ и $BC$ в точках $K$ и $L$ соответственно. Найдите периметр треугольника $KBL$, если $AC = 12$ см.

Пусть в треугольник $ABC$ вписана окружность. Обозначим точки касания этой окружности со сторонами $AB$, $BC$ и $AC$ как $M$, $N$ и $P$ соответственно. Прямая $KL$ является касательной к этой же окружности, где точка $K$ лежит на стороне $AB$, а точка $L$ — на стороне $BC$. Обозначим точку касания прямой $KL$ с окружностью как $T$.

Периметр треугольника $KBL$ ($P_{KBL}$) равен сумме длин его сторон:$P_{KBL} = KB + BL + KL$

Согласно свойству касательных, проведенных к окружности из одной точки, длины отрезков касательных от этой точки до точек касания равны.

Точка $K$ является точкой пересечения двух касательных к окружности: прямой $AB$ (точка касания $M$) и прямой $KL$ (точка касания $T$). Следовательно, длины отрезков касательных из точки $K$ равны: $KM = KT$.

Аналогично, точка $L$ является точкой пересечения касательных $BC$ (точка касания $N$) и $KL$ (точка касания $T$). Следовательно, $LN = LT$.

Длину стороны $KL$ можно представить как сумму отрезков $KT + LT$. Заменив эти отрезки равными им, получаем:$KL = KT + LT = KM + LN$

Теперь подставим это выражение в формулу для периметра треугольника $KBL$:$P_{KBL} = KB + BL + (KM + LN)$

Сгруппируем слагаемые:$P_{KBL} = (KB + KM) + (BL + LN)$

Сумма $(KB + KM)$ — это длина отрезка $BM$, который является касательной, проведенной из вершины $B$ к вписанной окружности. Аналогично, сумма $(BL + LN)$ — это длина отрезка $BN$. Таким образом, периметр треугольника $KBL$ равен сумме длин отрезков касательных, проведенных из вершины $B$:$P_{KBL} = BM + BN$

Поскольку $BM$ и $BN$ — это отрезки касательных, проведенных из одной и той же точки $B$ к окружности, их длины равны ($BM = BN$). Следовательно:$P_{KBL} = 2 \cdot BM$

Теперь найдем длину отрезка $BM$. Длину отрезка касательной от вершины треугольника до точки касания с вписанной окружностью можно найти по формуле $BM = s - b$, где $s$ — полупериметр треугольника $ABC$, а $b$ — длина стороны, противолежащей вершине $B$ (то есть сторона $AC$).

Полупериметр треугольника $ABC$ равен:$s = \frac{P_{ABC}}{2} = \frac{30}{2} = 15$ см.

Из условия задачи известно, что $AC = 12$ см.

Вычислим длину отрезка $BM$:$BM = s - AC = 15 - 12 = 3$ см.

Наконец, находим искомый периметр треугольника $KBL$:$P_{KBL} = 2 \cdot BM = 2 \cdot 3 = 6$ см.

Ответ: 6 см.