Номер 22.63, страница 211 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

22.63. В треугольник $ABC$ вписана окружность. Касательная к этой окружности пересекает стороны $AB$ и $BC$ в точках $K$ и $L$ соответ- ственно. Периметр треугольника $KBL$ равен 10 см. Найдите сторо- ну $AC$, если периметр треугольника $ABC$ равен 24 см.

Пусть вписанная в треугольник $ABC$ окружность касается его сторон $AB$, $BC$ и $AC$ в точках $M$, $N$ и $P$ соответственно. Касательная $KL$ ($K \in AB$, $L \in BC$) касается этой же окружности в некоторой точке $T$.

Воспользуемся свойством касательных, проведенных к окружности из одной точки: отрезки касательных от этой точки до точек касания равны.

Для треугольника $KBL$ и его вершин $K$ и $L$ имеем:
$KT = KM$ (касательные из точки $K$)
$LT = LN$ (касательные из точки $L$)

Периметр треугольника $KBL$ равен $P_{KBL} = BK + BL + KL$.
Так как отрезок $KL$ состоит из отрезков $KT$ и $LT$, то $KL = KT + LT$.
Подставим это в формулу периметра:
$P_{KBL} = BK + BL + KT + LT$
Заменим $KT$ на $KM$ и $LT$ на $LN$:
$P_{KBL} = BK + BL + KM + LN$
Сгруппируем слагаемые:
$P_{KBL} = (BK + KM) + (BL + LN)$
Так как точки $K$ и $M$ лежат на стороне $AB$, а $L$ и $N$ на $BC$, то $BK + KM = BM$ и $BL + LN = BN$.
Следовательно, $P_{KBL} = BM + BN$.
По условию задачи $P_{KBL} = 10$ см, значит $BM + BN = 10$ см.

По свойству касательных, проведенных из вершины $B$, отрезки $BM$ и $BN$ равны: $BM = BN$.
Тогда $2 \cdot BM = 10$ см, откуда $BM = BN = 5$ см.

Теперь рассмотрим периметр треугольника $ABC$:
$P_{ABC} = AB + BC + AC$.
Расшишем стороны $AB$ и $BC$ через точки касания:
$P_{ABC} = (AM + MB) + (BN + NC) + AC$.
Используем свойство касательных для вершин $A$ и $C$:
$AM = AP$
$CN = CP$
Подставим эти равенства в формулу периметра:
$P_{ABC} = (AP + MB) + (BN + PC) + AC$.
Сгруппируем слагаемые иначе:
$P_{ABC} = (MB + BN) + (AP + PC) + AC$.

Мы знаем, что $MB + BN = 10$ см, а сумма отрезков $AP + PC$ равна стороне $AC$.
Подставим эти значения:
$P_{ABC} = 10 + AC + AC$
$P_{ABC} = 10 + 2 \cdot AC$

По условию $P_{ABC} = 24$ см. Составим и решим уравнение:
$24 = 10 + 2 \cdot AC$
$2 \cdot AC = 24 - 10$
$2 \cdot AC = 14$
$AC = \frac{14}{2} = 7$ см.

Ответ: 7 см.