Номер 22.55, страница 210 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

22.55. Медиана $CM$ треугольника $ABC$ образует со сторонами $AC$ и $BC$ углы $\alpha$ и $\beta$ соответственно, $BC = a$. Найдите медиану $CM$.

Пусть $CM = m$ — искомая длина медианы. Рассмотрим треугольники $AMC$ и $BMC$, на которые медиана $CM$ разбивает треугольник $ABC$.

По условию, в треугольнике $ABC$ имеем: $BC = a$, $\angle ACM = \alpha$, $\angle BCM = \beta$. Так как $CM$ — медиана, то $M$ — середина стороны $AB$, следовательно, $AM = MB$.

Применим теорему синусов к треугольникам $AMC$ и $BMC$.

Для треугольника $AMC$:

$\frac{AM}{\sin(\angle ACM)} = \frac{AC}{\sin(\angle AMC)} \implies \frac{AM}{\sin \alpha} = \frac{AC}{\sin(\angle AMC)}$

Для треугольника $BMC$:

$\frac{MB}{\sin(\angle BCM)} = \frac{BC}{\sin(\angle CMB)} \implies \frac{MB}{\sin \beta} = \frac{a}{\sin(\angle CMB)}$

Углы $\angle AMC$ и $\angle CMB$ являются смежными, поэтому $\angle AMC + \angle CMB = 180^\circ$, из чего следует, что $\sin(\angle AMC) = \sin(180^\circ - \angle CMB) = \sin(\angle CMB)$.

Из полученных соотношений выразим $AM$ и $MB$:

$AM = \frac{AC \sin \alpha}{\sin(\angle AMC)}$

$MB = \frac{a \sin \beta}{\sin(\angle CMB)}$

Поскольку $AM = MB$ и $\sin(\angle AMC) = \sin(\angle CMB)$, мы можем приравнять числители:

$AC \sin \alpha = a \sin \beta$

Отсюда выразим длину стороны $AC$:

$AC = a \frac{\sin \beta}{\sin \alpha}$

Теперь применим теорему косинусов к тем же треугольникам $AMC$ и $BMC$, чтобы выразить квадраты сторон $AM$ и $MB$.

Для треугольника $AMC$:

$AM^2 = AC^2 + CM^2 - 2 \cdot AC \cdot CM \cdot \cos(\angle ACM)$

$AM^2 = \left(a \frac{\sin \beta}{\sin \alpha}\right)^2 + m^2 - 2 \left(a \frac{\sin \beta}{\sin \alpha}\right) m \cos \alpha$

Для треугольника $BMC$:

$MB^2 = BC^2 + CM^2 - 2 \cdot BC \cdot CM \cdot \cos(\angle BCM)$

$MB^2 = a^2 + m^2 - 2 a m \cos \beta$

Так как $AM^2 = MB^2$, приравниваем правые части уравнений:

$a^2 \frac{\sin^2 \beta}{\sin^2 \alpha} + m^2 - 2am \frac{\sin \beta \cos \alpha}{\sin \alpha} = a^2 + m^2 - 2am \cos \beta$

Сокращаем $m^2$ и преобразуем уравнение, чтобы выразить $m$:

$a^2 \frac{\sin^2 \beta}{\sin^2 \alpha} - a^2 = 2am \frac{\sin \beta \cos \alpha}{\sin \alpha} - 2am \cos \beta$

Разделим обе части на $a$ (поскольку $a$ — длина стороны, $a \neq 0$):

$a \left(\frac{\sin^2 \beta}{\sin^2 \alpha} - 1\right) = 2m \left(\frac{\sin \beta \cos \alpha}{\sin \alpha} - \cos \beta\right)$

Приведем выражения в скобках к общему знаменателю:

$a \frac{\sin^2 \beta - \sin^2 \alpha}{\sin^2 \alpha} = 2m \frac{\sin \beta \cos \alpha - \sin \alpha \cos \beta}{\sin \alpha}$

Используем тригонометрические формулы: $\sin(x-y) = \sin x \cos y - \cos x \sin y$ и $\sin^2 x - \sin^2 y = \sin(x-y)\sin(x+y)$.

$a \frac{\sin(\beta - \alpha)\sin(\beta + \alpha)}{\sin^2 \alpha} = 2m \frac{\sin(\beta - \alpha)}{\sin \alpha}$

Если $\alpha \neq \beta$, то $\sin(\beta - \alpha) \neq 0$, и мы можем сократить обе части на этот множитель:

$a \frac{\sin(\alpha + \beta)}{\sin^2 \alpha} = \frac{2m}{\sin \alpha}$

Умножим обе части на $\sin^2 \alpha$:

$a \sin(\alpha + \beta) = 2m \sin \alpha$

Отсюда находим $m$:

$m = \frac{a \sin(\alpha + \beta)}{2 \sin \alpha}$

Эта формула верна и для случая $\alpha = \beta$, что можно проверить отдельно.

Ответ: $CM = \frac{a \sin(\alpha + \beta)}{2 \sin \alpha}$