Страница 210 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

22.47. В прямоугольный треугольник вписана окружность. Точка касания делит один из катетов в отношении $1 : 2$, считая от вершины прямого угла. Расстояние от центра вписанной окружности до вершины прямого угла равно $\sqrt{18}$ см. Найдите стороны треугольника.

Пусть дан прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом при вершине $C$. Пусть $a$ и $b$ - катеты ($BC$ и $AC$ соответственно), $c$ - гипотенуза ($AB$).

Пусть $I$ - центр вписанной окружности, а $r$ - ее радиус. Опустим из центра $I$ перпендикуляры на катеты $AC$ и $BC$. Пусть $L$ и $K$ - точки касания окружности со сторонами $AC$ и $BC$ соответственно. Тогда $IL \perp AC$ и $IK \perp BC$. Четырехугольник $CKIL$ является квадратом, так как его углы при вершинах $C$, $K$, $L$ прямые, а смежные стороны $IK$ и $IL$ равны радиусу $r$.

Расстояние от центра вписанной окружности $I$ до вершины прямого угла $C$ является диагональю квадрата $CKIL$. По условию, это расстояние равно $\sqrt{18}$ см. Длина диагонали квадрата со стороной $r$ вычисляется по формуле $d = r\sqrt{2}$.

Таким образом, имеем уравнение:$IC = r\sqrt{2} = \sqrt{18}$Возведем обе части в квадрат:$(r\sqrt{2})^2 = (\sqrt{18})^2$$2r^2 = 18$$r^2 = 9$$r = 3$ см (радиус является положительной величиной).

По условию, точка касания делит один из катетов в отношении $1:2$, считая от вершины прямого угла. Предположим, что это катет $AC$, а точка касания - $L$. Тогда $CL:LA = 1:2$. Так как $CKIL$ - квадрат со стороной $r$, то $CL = r = 3$ см. Из пропорции находим $LA$:$3:LA = 1:2 \Rightarrow LA = 2 \cdot 3 = 6$ см. Теперь можем найти длину всего катета $b$:$b = AC = CL + LA = 3 + 6 = 9$ см.

Для нахождения длин других сторон воспользуемся свойством касательных, проведенных к окружности из одной точки: длины отрезков касательных от вершины до точек касания равны. Пусть $M$ - точка касания окружности с гипотенузой $AB$. Тогда $AM = AL = 6$ см. Аналогично, $CK = r = 3$ см. Пусть длина отрезка $BK$ равна $x$. Тогда $BM = BK = x$.

Теперь выразим длины всех сторон треугольника через $x$:

• Катет $a = BC = CK + KB = 3 + x$
• Катет $b = AC = 9$ см
• Гипотенуза $c = AB = AM + MB = 6 + x$

Применим теорему Пифагора $a^2 + b^2 = c^2$:$(3 + x)^2 + 9^2 = (6 + x)^2$Раскроем скобки:$9 + 6x + x^2 + 81 = 36 + 12x + x^2$Приведем подобные слагаемые:$x^2 + 6x + 90 = x^2 + 12x + 36$Вычтем $x^2$ из обеих частей уравнения:$6x + 90 = 12x + 36$$90 - 36 = 12x - 6x$$54 = 6x$$x = \frac{54}{6} = 9$ см.

Теперь вычислим длины сторон треугольника:Катет $a = BC = 3 + x = 3 + 9 = 12$ см. Катет $b = AC = 9$ см. Гипотенуза $c = AB = 6 + x = 6 + 9 = 15$ см.

(Если бы точка касания делила другой катет, $BC$, в отношении $1:2$, то в результате вычислений мы получили бы катеты 12 см и 9 см, что является тем же самым набором длин сторон).

Ответ: стороны треугольника равны 9 см, 12 см и 15 см.

22.48. Радиус окружности, описанной около треугольника $ABC$, равен 6 см. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника $AOC$, где $O$ — точка пересечения биссектрис треугольника $ABC$, если $\angle ABC = 60^\circ$.

Пусть $R_{ABC}$ — радиус окружности, описанной около треугольника $ABC$, а $R_{AOC}$ — радиус окружности, описанной около треугольника $AOC$. По условию $R_{ABC} = 6$ см, а $\angle ABC = 60^{\circ}$. Точка $O$ является точкой пересечения биссектрис треугольника $ABC$, то есть центром вписанной окружности.

Для нахождения радиуса $R_{AOC}$ воспользуемся следствием из теоремы синусов для треугольника $AOC$:$R_{AOC} = \frac{AC}{2 \sin(\angle AOC)}$

Для этого нам необходимо найти длину стороны $AC$ и величину угла $\angle AOC$.

1. Найдем длину стороны AC.Применим следствие из теоремы синусов к треугольнику $ABC$:$AC = 2 R_{ABC} \sin(\angle ABC)$Подставим известные значения:$AC = 2 \cdot 6 \cdot \sin(60^{\circ}) = 12 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3}$ см.

2. Найдем величину угла $\angle AOC$.Поскольку $O$ — точка пересечения биссектрис, то $AO$ и $CO$ являются биссектрисами углов $\angle BAC$ и $\angle BCA$ соответственно. Пусть $\angle BAC = \alpha$ и $\angle BCA = \gamma$. Тогда в треугольнике $AOC$ углы при основании $AC$ будут равны:$\angle OAC = \frac{\angle BAC}{2} = \frac{\alpha}{2}$$\angle OCA = \frac{\angle BCA}{2} = \frac{\gamma}{2}$

Сумма углов треугольника $ABC$ равна $180^{\circ}$:$\angle BAC + \angle ABC + \angle BCA = 180^{\circ}$$\alpha + 60^{\circ} + \gamma = 180^{\circ}$$\alpha + \gamma = 120^{\circ}$

Теперь рассмотрим сумму углов треугольника $AOC$:$\angle AOC + \angle OAC + \angle OCA = 180^{\circ}$$\angle AOC + \frac{\alpha}{2} + \frac{\gamma}{2} = 180^{\circ}$$\angle AOC + \frac{\alpha + \gamma}{2} = 180^{\circ}$Подставим найденное значение суммы $\alpha + \gamma$:$\angle AOC + \frac{120^{\circ}}{2} = 180^{\circ}$$\angle AOC + 60^{\circ} = 180^{\circ}$$\angle AOC = 120^{\circ}$

3. Найдем радиус $R_{AOC}$.Теперь у нас есть все данные для вычисления радиуса окружности, описанной около треугольника $AOC$:$R_{AOC} = \frac{AC}{2 \sin(\angle AOC)} = \frac{6\sqrt{3}}{2 \sin(120^{\circ})}$Так как $\sin(120^{\circ}) = \sin(180^{\circ} - 60^{\circ}) = \sin(60^{\circ}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, получаем:$R_{AOC} = \frac{6\sqrt{3}}{2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{6\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 6$ см.

Ответ: 6 см.

22.49. На продолжении стороны $AC$ треугольника $ABC$ за точку $C$ отметили точку $D$ так, что $\angle ADB = 30^{\circ}$. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника $ABD$, если $\angle ACB = 45^{\circ}$, а радиус окружности, описанной около треугольника $ABC$, равен $8\sqrt{2}$ см.

Для решения задачи воспользуемся теоремой синусов. Теорема синусов гласит, что отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла равно диаметру (удвоенному радиусу) описанной около него окружности.

1. Рассмотрим треугольник $ABC$. По условию, радиус описанной около него окружности $R_{ABC} = 8\sqrt{2}$ см, а угол $\angle ACB = 45^\circ$. Применим теорему синусов для стороны $AB$ и противолежащего ей угла $\angle ACB$:

$\frac{AB}{\sin(\angle ACB)} = 2R_{ABC}$

Подставим известные значения, чтобы найти длину стороны $AB$:

$\frac{AB}{\sin(45^\circ)} = 2 \cdot 8\sqrt{2}$

Поскольку $\sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, получаем:

$\frac{AB}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 16\sqrt{2}$

$AB = 16\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 16 \cdot \frac{2}{2} = 16$ см.

2. Теперь рассмотрим треугольник $ABD$. Нам нужно найти радиус описанной около него окружности ($R_{ABD}$). Мы уже знаем длину стороны $AB = 16$ см. По условию, противолежащий этой стороне угол $\angle ADB = 30^\circ$. Снова применим теорему синусов, но уже для треугольника $ABD$:

$\frac{AB}{\sin(\angle ADB)} = 2R_{ABD}$

Подставим известные значения:

$\frac{16}{\sin(30^\circ)} = 2R_{ABD}$

Поскольку $\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$, получаем:

$\frac{16}{\frac{1}{2}} = 2R_{ABD}$

$16 \cdot 2 = 2R_{ABD}$

$32 = 2R_{ABD}$

$R_{ABD} = \frac{32}{2} = 16$ см.

Ответ: 16 см.

22.50. Точка $M$ принадлежит стороне $BC$ треугольника $ABC$. Докажите, что отношение радиусов окружностей, описанных около тре- угольников $AMB$ и $MAC$, не зависит от выбора точки $M$ на сторо- не $BC$.

Пусть $R_1$ — радиус окружности, описанной около треугольника $AMB$, и $R_2$ — радиус окружности, описанной около треугольника $MAC$. Нам нужно доказать, что отношение $\frac{R_1}{R_2}$ не зависит от положения точки $M$ на стороне $BC$.

Воспользуемся расширенной теоремой синусов.

Для треугольника $AMB$ она выглядит так: $$ \frac{AM}{\sin(\angle B)} = 2R_1 $$ Выразим отсюда радиус $R_1$: $$ R_1 = \frac{AM}{2\sin(\angle B)} $$

Аналогично для треугольника $MAC$: $$ \frac{AM}{\sin(\angle C)} = 2R_2 $$ Выразим отсюда радиус $R_2$: $$ R_2 = \frac{AM}{2\sin(\angle C)} $$

Теперь найдем отношение радиусов $\frac{R_1}{R_2}$: $$ \frac{R_1}{R_2} = \frac{\frac{AM}{2\sin(\angle B)}}{\frac{AM}{2\sin(\angle C)}} = \frac{AM}{2\sin(\angle B)} \cdot \frac{2\sin(\angle C)}{AM} = \frac{\sin(\angle C)}{\sin(\angle B)} $$

Применим теорему синусов для исходного треугольника $ABC$: $$ \frac{AB}{\sin(\angle C)} = \frac{AC}{\sin(\angle B)} $$ Из этого соотношения выразим отношение синусов углов $C$ и $B$: $$ \frac{\sin(\angle C)}{\sin(\angle B)} = \frac{AB}{AC} $$

Подставив это выражение в формулу для отношения радиусов, получим: $$ \frac{R_1}{R_2} = \frac{AB}{AC} $$

Длины сторон $AB$ и $AC$ треугольника $ABC$ — это постоянные величины для данного треугольника. Следовательно, их отношение $\frac{AB}{AC}$ также является константой. Это означает, что отношение радиусов окружностей, описанных около треугольников $AMB$ и $MAC$, не зависит от выбора точки $M$ на стороне $BC$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Отношение радиусов равно отношению сторон $\frac{AB}{AC}$ треугольника $ABC$, которое является постоянной величиной и не зависит от выбора точки $M$.

22.51. Докажите, что окружность, проходящая через ортоцентр треугольника и две его вершины, равна окружности, описанной около треугольника.

Пусть дан треугольник $ABC$. Обозначим его ортоцентр (точку пересечения высот) как $H$, а радиус описанной окружности как $R$.

Рассмотрим окружность, проходящую через ортоцентр $H$ и две вершины треугольника, например, $B$ и $C$. Эта окружность является описанной для треугольника $BCH$. Нам нужно доказать, что радиус этой окружности равен $R$, то есть, что окружности равны.

Доказательство можно провести несколькими способами.

Способ 1: Использование теоремы синусов

Пусть $R_{BCH}$ — радиус окружности, описанной около треугольника $BCH$. Согласно обобщенной теореме синусов для $\triangle BCH$ имеем:

$R_{BCH} = \frac{BC}{2 \sin \angle BHC}$

Для исходного треугольника $ABC$ радиус описанной окружности $R$ выражается как:

$R = \frac{BC}{2 \sin \angle BAC}$

Чтобы доказать, что $R_{BCH} = R$, достаточно показать, что $\sin \angle BHC = \sin \angle BAC$.

Найдем величину угла $\angle BHC$. Пусть $BB_1$ и $CC_1$ — высоты треугольника $ABC$, проведенные из вершин $B$ и $C$ соответственно. Они пересекаются в ортоцентре $H$.

Рассмотрим четырехугольник $AC_1HB_1$. В нем углы $\angle AC_1H$ и $\angle AB_1H$ являются прямыми ($90^\circ$), так как $CC_1 \perp AB$ и $BB_1 \perp AC$. Сумма углов четырехугольника равна $360^\circ$, значит, сумма двух других углов равна $180^\circ$:

$\angle C_1AB_1 + \angle C_1HB_1 = 180^\circ$

Угол $\angle C_1AB_1$ совпадает с углом $\angle BAC$. Угол $\angle BHC$ является вертикальным к углу $\angle C_1HB_1$, следовательно, $\angle BHC = \angle C_1HB_1$.

Таким образом, получаем: $\angle BAC + \angle BHC = 180^\circ$, откуда $\angle BHC = 180^\circ - \angle BAC$.

Теперь подставим это выражение в формулу для радиуса:

$R_{BCH} = \frac{BC}{2 \sin (180^\circ - \angle BAC)}$

Используя тригонометрическое тождество $\sin(180^\circ - \alpha) = \sin \alpha$, получаем:

$R_{BCH} = \frac{BC}{2 \sin \angle BAC} = R$

Таким образом, радиусы окружностей равны, а значит, и сами окружности равны. Аналогичные рассуждения можно провести для окружностей, проходящих через ортоцентр $H$ и другие пары вершин: $(A, B)$ и $(A, C)$.

Способ 2: Использование симметрии

Пусть $\Omega$ — окружность, описанная около $\triangle ABC$. Докажем, что точка $H'$, симметричная ортоцентру $H$ относительно стороны $BC$, лежит на окружности $\Omega$.

Как было показано в первом способе, $\angle BHC = 180^\circ - \angle BAC$.

Поскольку точка $H'$ является отражением точки $H$ относительно прямой $BC$, треугольник $BHC$ равен треугольнику $BH'C$. Следовательно, $\angle BH'C = \angle BHC = 180^\circ - \angle BAC$.

Рассмотрим четырехугольник $ABH'C$. Сумма его противоположных углов равна:

$\angle BAC + \angle BH'C = \angle BAC + (180^\circ - \angle BAC) = 180^\circ$

Свойство вписанного четырехугольника выполняется, значит, четырехугольник $ABH'C$ — вписанный. Так как точки $A, B, C$ лежат на окружности $\Omega$, то и точка $H'$ также должна лежать на этой окружности.

Теперь рассмотрим окружность, проходящую через точки $B, C, H$ (то есть описанную окружность $\triangle BCH$). Отразим эту окружность симметрично относительно прямой $BC$. При симметрии точки $B$ и $C$ переходят сами в себя, а точка $H$ переходит в точку $H'$. Следовательно, отраженная окружность пройдет через точки $B, C, H'$.

Но мы уже доказали, что точки $B, C, H'$ лежат на описанной окружности $\triangle ABC$. Так как через три точки, не лежащие на одной прямой, проходит единственная окружность, то отраженная окружность совпадает с описанной окружностью $\triangle ABC$.

Осевая симметрия является движением, она сохраняет расстояния и, следовательно, радиусы окружностей. Это означает, что радиус исходной окружности (проходящей через $B, C, H$) равен радиусу ее образа (описанной окружности $\triangle ABC$).

Таким образом, окружность, проходящая через ортоцентр и две вершины треугольника, равна окружности, описанной около этого треугольника.

Ответ: Что и требовалось доказать.

22.52. Высоты остроугольного треугольника $ABC$ пересекаются в точке $H$. Прямая, содержащая высоту, проведённую из вершины $C$, во второй раз пересекает описанную окружность треугольника в точке $K$. Докажите, что сторона $AB$ пересекает отрезок $HK$ в его середине.

Пусть $CC_1$ — высота остроугольного треугольника $ABC$, проведенная из вершины $C$ к стороне $AB$. Тогда точка $C_1$ лежит на стороне $AB$. По определению, ортоцентр $H$ является точкой пересечения высот, следовательно, $H$ лежит на отрезке $CC_1$. Прямая, содержащая высоту $CC_1$, пересекает описанную окружность треугольника $ABC$ в точке $K$ (отличной от $C$). Таким образом, точка $C_1$ является точкой пересечения стороны $AB$ и отрезка $HK$. Нам необходимо доказать, что $C_1$ является серединой отрезка $HK$, то есть что $HC_1 = C_1K$.

Рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle BC_1H$ и $\triangle BC_1K$. Они имеют общий катет $BC_1$. Углы $\angle BC_1H$ и $\angle BC_1K$ прямые, так как $CC_1$ — высота. Если мы докажем, что их гипотенузы $BH$ и $BK$ равны, то по признаку равенства прямоугольных треугольников (по катету и гипотенузе) $\triangle BC_1H \cong \triangle BC_1K$. Из равенства треугольников будет следовать и равенство катетов $HC_1 = C_1K$.

Докажем, что $BH = BK$. Для этого покажем, что треугольник $HBK$ является равнобедренным, а именно, что углы при его основании $HK$ равны: $\angle BKH = \angle BHK$.

1. Найдем величину угла $\angle BKH$.
Точки $A, B, C, K$ лежат на описанной окружности. Угол $\angle BKC$ (который совпадает с углом $\angle BKH$) является вписанным и опирается на дугу $BC$. Угол $\angle BAC$ также является вписанным и опирается на ту же дугу $BC$. Следовательно, эти углы равны:
$\angle BKH = \angle BKC = \angle BAC = \angle A$.

2. Найдем величину угла $\angle BHK$.
Поскольку треугольник $ABC$ остроугольный, ортоцентр $H$ лежит внутри треугольника на отрезке высоты $CC_1$. Точка $K$ лежит на продолжении высоты за точку $C_1$. Таким образом, точки $C, H, C_1, K$ лежат на одной прямой, и луч $HC$ противоположен лучу $HK$. Это означает, что углы $\angle BHC$ и $\angle BHK$ являются смежными, и их сумма равна $180^\circ$.
$\angle BHK = 180^\circ - \angle BHC$.
Найдем величину угла $\angle BHC$. Пусть $BB_1$ — высота, проведенная из вершины $B$. В треугольнике $BHC$:

• $\angle HBC = \angle B_1BC$. В прямоугольном треугольнике $\triangle BB_1C$, $\angle B_1BC = 90^\circ - \angle C$.
• $\angle HCB = \angle C_1CB$. В прямоугольном треугольнике $\triangle CC_1B$, $\angle C_1CB = 90^\circ - \angle B$.

Сумма углов в треугольнике $BHC$ равна $180^\circ$, поэтому:
$\angle BHC = 180^\circ - \angle HBC - \angle HCB = 180^\circ - (90^\circ - \angle C) - (90^\circ - \angle B) = \angle B + \angle C$.
Из суммы углов треугольника $ABC$ имеем $\angle B + \angle C = 180^\circ - \angle A$.
Следовательно, $\angle BHC = 180^\circ - \angle A$.
Теперь можем найти $\angle BHK$:
$\angle BHK = 180^\circ - \angle BHC = 180^\circ - (180^\circ - \angle A) = \angle A$.

3. Сравнение углов и завершение доказательства.
Мы получили, что $\angle BKH = \angle A$ и $\angle BHK = \angle A$. Значит, $\angle BKH = \angle BHK$.
Поскольку углы при основании $HK$ треугольника $HBK$ равны, этот треугольник является равнобедренным, и его боковые стороны равны: $BH = BK$.
Как мы установили ранее, в прямоугольных треугольниках $\triangle BC_1H$ и $\triangle BC_1K$ катет $BC_1$ является общим, а гипотенузы $BH$ и $BK$ равны. Следовательно, $\triangle BC_1H \cong \triangle BC_1K$.
Из равенства треугольников следует равенство соответствующих катетов: $HC_1 = C_1K$.
Это означает, что точка $C_1$, являющаяся точкой пересечения стороны $AB$ и отрезка $HK$, делит этот отрезок пополам.

Ответ: Утверждение доказано. Сторона $AB$ пересекает отрезок $HK$ в его середине.

22.53. Стороны треугольника равны 6 см и 8 см. Медиана треугольника, проведённая к его третьей стороне, равна $\sqrt{46}$ см. Найдите неизвестную сторону треугольника.

Для решения этой задачи воспользуемся формулой для длины медианы треугольника. Пусть стороны треугольника равны $a$, $b$ и $c$. Длина медианы $m_c$, проведенной к стороне $c$, вычисляется по формуле:

$m_c^2 = \frac{2a^2 + 2b^2 - c^2}{4}$

По условию задачи нам даны две стороны и медиана, проведенная к третьей, неизвестной стороне. Обозначим известные стороны как $a = 6$ см и $b = 8$ см. Медиана, проведенная к третьей стороне $c$, равна $m_c = \sqrt{46}$ см. Наша цель — найти длину стороны $c$.

Подставим известные значения в формулу:

$(\sqrt{46})^2 = \frac{2 \cdot 6^2 + 2 \cdot 8^2 - c^2}{4}$

Теперь выполним вычисления шаг за шагом:

$46 = \frac{2 \cdot 36 + 2 \cdot 64 - c^2}{4}$

$46 = \frac{72 + 128 - c^2}{4}$

$46 = \frac{200 - c^2}{4}$

Чтобы избавиться от знаменателя, умножим обе части уравнения на 4:

$46 \cdot 4 = 200 - c^2$

$184 = 200 - c^2$

Выразим $c^2$ из полученного уравнения:

$c^2 = 200 - 184$

$c^2 = 16$

Найдем длину стороны $c$, извлекая квадратный корень из 16. Поскольку длина стороны — величина положительная, мы берем только арифметический корень:

$c = \sqrt{16} = 4$ см.

Ответ: 4 см.

22.54. Стороны треугольника равны 8 см, 9 см и 13 см. Найдите медиану треугольника, проведённую к его наибольшей стороне.

Пусть стороны треугольника равны $a = 8$ см, $b = 9$ см, и $c = 13$ см.

Наибольшей стороной является сторона $c = 13$ см. Нам необходимо найти длину медианы, проведенной к этой стороне. Обозначим эту медиану как $m_c$.

Для вычисления длины медианы треугольника воспользуемся формулой, которая связывает медиану со сторонами треугольника:$$m_c = \frac{1}{2}\sqrt{2a^2 + 2b^2 - c^2}$$

Подставим значения длин сторон в эту формулу:$$m_c = \frac{1}{2}\sqrt{2 \cdot 8^2 + 2 \cdot 9^2 - 13^2}$$

Теперь выполним вычисления по шагам:

1. Возведем длины сторон в квадрат:$8^2 = 64$$9^2 = 81$$13^2 = 169$

2. Подставим эти значения обратно в формулу:$$m_c = \frac{1}{2}\sqrt{2 \cdot 64 + 2 \cdot 81 - 169}$$

3. Выполним умножение:$$m_c = \frac{1}{2}\sqrt{128 + 162 - 169}$$

4. Выполним сложение и вычитание под корнем:$$m_c = \frac{1}{2}\sqrt{290 - 169}$$$$m_c = \frac{1}{2}\sqrt{121}$$

5. Извлечем квадратный корень:$$m_c = \frac{1}{2} \cdot 11$$

6. Найдем окончательное значение:$$m_c = 5,5$$

Таким образом, длина медианы, проведенной к наибольшей стороне треугольника, равна 5,5 см.

Ответ: 5,5 см.

22.55. Медиана $CM$ треугольника $ABC$ образует со сторонами $AC$ и $BC$ углы $\alpha$ и $\beta$ соответственно, $BC = a$. Найдите медиану $CM$.

Пусть $CM = m$ — искомая длина медианы. Рассмотрим треугольники $AMC$ и $BMC$, на которые медиана $CM$ разбивает треугольник $ABC$.

По условию, в треугольнике $ABC$ имеем: $BC = a$, $\angle ACM = \alpha$, $\angle BCM = \beta$. Так как $CM$ — медиана, то $M$ — середина стороны $AB$, следовательно, $AM = MB$.

Применим теорему синусов к треугольникам $AMC$ и $BMC$.

Для треугольника $AMC$:

$\frac{AM}{\sin(\angle ACM)} = \frac{AC}{\sin(\angle AMC)} \implies \frac{AM}{\sin \alpha} = \frac{AC}{\sin(\angle AMC)}$

Для треугольника $BMC$:

$\frac{MB}{\sin(\angle BCM)} = \frac{BC}{\sin(\angle CMB)} \implies \frac{MB}{\sin \beta} = \frac{a}{\sin(\angle CMB)}$

Углы $\angle AMC$ и $\angle CMB$ являются смежными, поэтому $\angle AMC + \angle CMB = 180^\circ$, из чего следует, что $\sin(\angle AMC) = \sin(180^\circ - \angle CMB) = \sin(\angle CMB)$.

Из полученных соотношений выразим $AM$ и $MB$:

$AM = \frac{AC \sin \alpha}{\sin(\angle AMC)}$

$MB = \frac{a \sin \beta}{\sin(\angle CMB)}$

Поскольку $AM = MB$ и $\sin(\angle AMC) = \sin(\angle CMB)$, мы можем приравнять числители:

$AC \sin \alpha = a \sin \beta$

Отсюда выразим длину стороны $AC$:

$AC = a \frac{\sin \beta}{\sin \alpha}$

Теперь применим теорему косинусов к тем же треугольникам $AMC$ и $BMC$, чтобы выразить квадраты сторон $AM$ и $MB$.

Для треугольника $AMC$:

$AM^2 = AC^2 + CM^2 - 2 \cdot AC \cdot CM \cdot \cos(\angle ACM)$

$AM^2 = \left(a \frac{\sin \beta}{\sin \alpha}\right)^2 + m^2 - 2 \left(a \frac{\sin \beta}{\sin \alpha}\right) m \cos \alpha$

Для треугольника $BMC$:

$MB^2 = BC^2 + CM^2 - 2 \cdot BC \cdot CM \cdot \cos(\angle BCM)$

$MB^2 = a^2 + m^2 - 2 a m \cos \beta$

Так как $AM^2 = MB^2$, приравниваем правые части уравнений:

$a^2 \frac{\sin^2 \beta}{\sin^2 \alpha} + m^2 - 2am \frac{\sin \beta \cos \alpha}{\sin \alpha} = a^2 + m^2 - 2am \cos \beta$

Сокращаем $m^2$ и преобразуем уравнение, чтобы выразить $m$:

$a^2 \frac{\sin^2 \beta}{\sin^2 \alpha} - a^2 = 2am \frac{\sin \beta \cos \alpha}{\sin \alpha} - 2am \cos \beta$

Разделим обе части на $a$ (поскольку $a$ — длина стороны, $a \neq 0$):

$a \left(\frac{\sin^2 \beta}{\sin^2 \alpha} - 1\right) = 2m \left(\frac{\sin \beta \cos \alpha}{\sin \alpha} - \cos \beta\right)$

Приведем выражения в скобках к общему знаменателю:

$a \frac{\sin^2 \beta - \sin^2 \alpha}{\sin^2 \alpha} = 2m \frac{\sin \beta \cos \alpha - \sin \alpha \cos \beta}{\sin \alpha}$

Используем тригонометрические формулы: $\sin(x-y) = \sin x \cos y - \cos x \sin y$ и $\sin^2 x - \sin^2 y = \sin(x-y)\sin(x+y)$.

$a \frac{\sin(\beta - \alpha)\sin(\beta + \alpha)}{\sin^2 \alpha} = 2m \frac{\sin(\beta - \alpha)}{\sin \alpha}$

Если $\alpha \neq \beta$, то $\sin(\beta - \alpha) \neq 0$, и мы можем сократить обе части на этот множитель:

$a \frac{\sin(\alpha + \beta)}{\sin^2 \alpha} = \frac{2m}{\sin \alpha}$

Умножим обе части на $\sin^2 \alpha$:

$a \sin(\alpha + \beta) = 2m \sin \alpha$

Отсюда находим $m$:

$m = \frac{a \sin(\alpha + \beta)}{2 \sin \alpha}$

Эта формула верна и для случая $\alpha = \beta$, что можно проверить отдельно.

Ответ: $CM = \frac{a \sin(\alpha + \beta)}{2 \sin \alpha}$

22.56. На медиане $BD$ треугольника $ABC$ отметили точку $M$ так, что $BM : MD = 3 : 1$. Найдите площадь треугольника $ABC$, если площадь треугольника $AMD$ равна $3 \text{ см}^2$.

Рассмотрим треугольники $AMD$ и $ABM$. У этих треугольников общая высота, проведенная из вершины $A$ к стороне $BD$. Площади треугольников, имеющих общую высоту, относятся как длины их оснований, к которым эта высота проведена.

Следовательно, отношение площадей треугольников $ABM$ и $AMD$ равно отношению их оснований $BM$ и $MD$:

$\frac{S_{ABM}}{S_{AMD}} = \frac{BM}{MD}$

По условию задачи дано, что $BM : MD = 3 : 1$, значит $\frac{BM}{MD} = 3$. Площадь треугольника $AMD$ равна $3 \text{ см}^2$. Подставим эти значения в формулу:

$\frac{S_{ABM}}{3} = 3$

Отсюда находим площадь треугольника $ABM$:

$S_{ABM} = 3 \times 3 = 9 \text{ см}^2$

Площадь треугольника $ABD$ складывается из площадей треугольников $ABM$ и $AMD$:

$S_{ABD} = S_{ABM} + S_{AMD} = 9 \text{ см}^2 + 3 \text{ см}^2 = 12 \text{ см}^2$

По условию, отрезок $BD$ является медианой треугольника $ABC$. Медиана делит треугольник на два треугольника с равными площадями (равновеликих), так как у них равные основания ($AD = DC$) и общая высота, проведенная из вершины $B$ к стороне $AC$.

Таким образом, $S_{ABD} = S_{CBD}$.

Площадь всего треугольника $ABC$ равна сумме площадей треугольников $ABD$ и $CBD$:

$S_{ABC} = S_{ABD} + S_{CBD} = 2 \times S_{ABD}$

Подставляем найденное значение площади $S_{ABD}$:

$S_{ABC} = 2 \times 12 \text{ см}^2 = 24 \text{ см}^2$

Ответ: $24 \text{ см}^2$.

22.57. Площадь треугольника $ABC$ равна $40 \text{ см}^2$. На медиане $AM$ отметили точку $P$ такую, что $AP : PM = 2 : 3$. Найдите площадь треугольника $BPM$.

Поскольку $AM$ является медианой треугольника $ABC$, она делит его на два треугольника с равными площадями. Таким образом, площадь треугольника $ABM$ составляет половину площади треугольника $ABC$.

$S_{ABM} = \frac{1}{2} S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot 40 \text{ см}^2 = 20 \text{ см}^2$.

Рассмотрим треугольник $ABM$. Отрезок $BP$ является чевианой, которая делит сторону $AM$. Треугольники $BPM$ и $ABM$ имеют общую высоту, проведенную из вершины $B$ к прямой, содержащей сторону $AM$. Отношение площадей треугольников с общей высотой равно отношению длин их оснований.

$\frac{S_{BPM}}{S_{ABM}} = \frac{PM}{AM}$

По условию $AP : PM = 2 : 3$. Мы можем представить длины отрезков как $AP = 2x$ и $PM = 3x$ для некоторого $x$. Тогда длина всей медианы $AM$ равна $AP + PM = 2x + 3x = 5x$. Найдем отношение длины отрезка $PM$ к длине всей медианы $AM$:

$\frac{PM}{AM} = \frac{3x}{5x} = \frac{3}{5}$

Теперь мы можем найти площадь треугольника $BPM$:

$S_{BPM} = S_{ABM} \cdot \frac{PM}{AM} = 20 \text{ см}^2 \cdot \frac{3}{5} = 4 \cdot 3 \text{ см}^2 = 12 \text{ см}^2$.

Ответ: $12 \text{ см}^2$.