Страница 215 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

22.108. В треугольнике $ABC$ биссектрисы $AA_1$ и $CC_1$ пересекаются в точке O, $\angle AOC = 120^\circ$. Докажите, что $\angle C_1BO = \angle C_1A_1O$.

Рассмотрим треугольник $AOC$. Поскольку $AA_1$ и $CC_1$ являются биссектрисами углов $\angle A$ и $\angle C$ соответственно, то $\angle OAC = \frac{1}{2}\angle BAC$ и $\angle OCA = \frac{1}{2}\angle BCA$. Сумма углов в треугольнике $AOC$ равна $180^{\circ}$, поэтому:$\angle OAC + \angle OCA + \angle AOC = 180^{\circ}$Подставим известные значения:$\frac{\angle A}{2} + \frac{\angle C}{2} + 120^{\circ} = 180^{\circ}$$\frac{\angle A + \angle C}{2} = 60^{\circ}$$\angle A + \angle C = 120^{\circ}$

Теперь рассмотрим треугольник $ABC$. Сумма его углов равна $180^{\circ}$:$\angle A + \angle B + \angle C = 180^{\circ}$Так как мы нашли, что $\angle A + \angle C = 120^{\circ}$, то:$120^{\circ} + \angle B = 180^{\circ}$$\angle B = 60^{\circ}$

Рассмотрим четырехугольник $C_1BA_1O$. Точки $A, O, A_1$ лежат на одной прямой, и точки $C, O, C_1$ также лежат на одной прямой. Следовательно, углы $\angle C_1OA_1$ и $\angle AOC$ являются вертикальными. Поэтому, $\angle C_1OA_1 = \angle AOC = 120^{\circ}$.

Найдем сумму противоположных углов в четырехугольнике $C_1BA_1O$:$\angle C_1BA_1 + \angle C_1OA_1 = \angle B + \angle C_1OA_1 = 60^{\circ} + 120^{\circ} = 180^{\circ}$.

Поскольку сумма противоположных углов четырехугольника $C_1BA_1O$ равна $180^{\circ}$, вокруг него можно описать окружность. Это значит, что точки $C_1, B, A_1, O$ лежат на одной окружности.

Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны. Углы $\angle C_1BO$ и $\angle C_1A_1O$ являются вписанными углами и оба опираются на дугу $C_1O$. Следовательно, $\angle C_1BO = \angle C_1A_1O$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.

22.109. В треугольнике $ABC$ биссектрисы $AA_1$ и $CC_1$ пересекаются в точке $O$, $\angle ABC = 60^\circ$. Докажите, что $\angle C_1OB = \angle C_1A_1B$.

Рассмотрим четырехугольник $A_1BC_1O$. Для доказательства равенства углов $\angle C_1OB$ и $\angle C_1A_1B$ покажем, что точки $A_1$, $B$, $C_1$ и $O$ лежат на одной окружности. Это будет означать, что четырехугольник $A_1BC_1O$ — вписанный.

Четырехугольник является вписанным в окружность тогда и только тогда, когда сумма его противоположных углов равна $180^\circ$. Проверим сумму углов $\angle C_1BA_1$ и $\angle C_1OA_1$.

По условию, в треугольнике $ABC$ угол $\angle ABC = 60^\circ$. Угол $\angle C_1BA_1$ совпадает с углом $\angle ABC$, следовательно, $\angle C_1BA_1 = 60^\circ$.

Угол $\angle C_1OA_1$ является вертикальным углу $\angle AOC$, поэтому $\angle C_1OA_1 = \angle AOC$.

Точка $O$ — это точка пересечения биссектрис $AA_1$ и $CC_1$, следовательно, $O$ — центр вписанной окружности треугольника $ABC$. Рассмотрим треугольник $AOC$. В нем:
$\angle OAC = \frac{1}{2}\angle BAC$ (так как $AA_1$ — биссектриса)
$\angle OCA = \frac{1}{2}\angle BCA$ (так как $CC_1$ — биссектриса)

Сумма углов в треугольнике $AOC$ равна $180^\circ$. Тогда:
$\angle AOC = 180^\circ - (\angle OAC + \angle OCA) = 180^\circ - \frac{1}{2}(\angle BAC + \angle BCA)$.

Из суммы углов треугольника $ABC$ имеем:
$\angle BAC + \angle BCA = 180^\circ - \angle ABC = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$.

Подставим это значение в формулу для $\angle AOC$:
$\angle AOC = 180^\circ - \frac{1}{2}(120^\circ) = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$.

Следовательно, $\angle C_1OA_1 = \angle AOC = 120^\circ$.

Теперь найдем сумму противоположных углов четырехугольника $A_1BC_1O$:
$\angle C_1BA_1 + \angle C_1OA_1 = 60^\circ + 120^\circ = 180^\circ$.

Так как сумма противоположных углов четырехугольника $A_1BC_1O$ равна $180^\circ$, то вокруг него можно описать окружность.

Углы $\angle C_1OB$ и $\angle C_1A_1B$ являются вписанными в эту окружность и оба опираются на одну и ту же дугу $C_1B$. По свойству вписанных углов, опирающихся на одну дугу, они равны.
Таким образом, $\angle C_1OB = \angle C_1A_1B$.

Ответ: Что и требовалось доказать.

22.110. Как относится сторона правильного треугольника, вписанного в окружность, к стороне правильного треугольника, описанного около этой окружности?

Пусть $R$ — радиус данной окружности.

Сначала найдем сторону правильного треугольника, вписанного в эту окружность. Обозначим ее $a_{вп}$.
Сторона правильного n-угольника, вписанного в окружность радиуса $R$, выражается формулой $a_n = 2R \sin\left(\frac{180^\circ}{n}\right)$.
Для правильного треугольника $n=3$. Подставим это значение в формулу:

$a_{вп} = 2R \sin\left(\frac{180^\circ}{3}\right) = 2R \sin(60^\circ)$

Так как значение синуса $60^\circ$ равно $\frac{\sqrt{3}}{2}$, получаем:

$a_{вп} = 2R \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = R\sqrt{3}$

Теперь найдем сторону правильного треугольника, описанного около этой окружности. Обозначим ее $a_{оп}$.
Для описанного многоугольника радиус окружности $R$ является радиусом вписанной в него окружности (апофемой). Сторона правильного n-угольника, описанного около окружности радиуса $r$, выражается формулой $a_n = 2r \tan\left(\frac{180^\circ}{n}\right)$.
В нашем случае $r = R$ и $n=3$. Подставим эти значения в формулу:

$a_{оп} = 2R \tan\left(\frac{180^\circ}{3}\right) = 2R \tan(60^\circ)$

Так как значение тангенса $60^\circ$ равно $\sqrt{3}$, получаем:

$a_{оп} = 2R\sqrt{3}$

Наконец, найдем искомое отношение стороны вписанного треугольника к стороне описанного треугольника:

$\frac{a_{вп}}{a_{оп}} = \frac{R\sqrt{3}}{2R\sqrt{3}}$

Сократив общие множители $R\sqrt{3}$ в числителе и знаменателе, получаем:

$\frac{a_{вп}}{a_{оп}} = \frac{1}{2}$

Таким образом, искомое отношение равно 1 к 2.

Ответ: 1:2

22.111. Как относится сторона правильного шестиугольника, вписанного в окружность, к стороне правильного шестиугольника, описанного около этой окружности?

Для нахождения отношения сторон двух правильных шестиугольников — одного, вписанного в окружность, и другого, описанного около той же окружности — выразим длину стороны каждого из них через радиус этой окружности, который обозначим как $R$.

Сторона правильного шестиугольника, вписанного в окружность
Пусть $a_{вп}$ — сторона вписанного шестиугольника. Правильный шестиугольник можно разделить на 6 равносторонних треугольников, вершины которых совпадают с центром окружности. Две стороны каждого такого треугольника являются радиусами $R$ окружности, а третья сторона — стороной самого шестиугольника. Поскольку треугольники равносторонние, то и сторона шестиугольника равна радиусу описанной окружности. $a_{вп} = R$

Сторона правильного шестиугольника, описанного около окружности
Пусть $a_{оп}$ — сторона описанного шестиугольника. Для такого шестиугольника радиус окружности $R$ является радиусом вписанной в него окружности, то есть апофемой. Описанный шестиугольник также можно разделить на 6 равносторонних треугольников, но теперь со стороной $a_{оп}$. Радиус $R$ будет являться высотой каждого из этих равносторонних треугольников. Высота равностороннего треугольника со стороной $a$ вычисляется по формуле $h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$. В нашем случае $h=R$ и $a=a_{оп}$, поэтому: $R = \frac{a_{оп}\sqrt{3}}{2}$ Выразим отсюда сторону описанного шестиугольника: $a_{оп} = \frac{2R}{\sqrt{3}}$

Нахождение отношения сторон
Теперь найдем искомое отношение стороны вписанного шестиугольника к стороне описанного шестиугольника: $\frac{a_{вп}}{a_{оп}} = \frac{R}{ \frac{2R}{\sqrt{3}} }$ Сократим $R$ в числителе и знаменателе: $\frac{a_{вп}}{a_{оп}} = \frac{1}{\frac{2}{\sqrt{3}}} = 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Ответ: Отношение стороны правильного шестиугольника, вписанного в окружность, к стороне правильного шестиугольника, описанного около этой окружности, равно $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

22.112. Общая хорда двух пересекающихся окружностей является стороной правильного треугольника, вписанного в одну окружность, и стороной квадрата, вписанного в другую окружность. Длина этой хорды равна $a$. Найдите расстояние между центрами окружностей, если они лежат по разные стороны от хорды.

Пусть $O_1$ и $R_1$ — центр и радиус первой окружности, в которую вписан правильный треугольник со стороной $a$. Пусть $O_2$ и $R_2$ — центр и радиус второй окружности, в которую вписан квадрат со стороной $a$. $AB$ — общая хорда, длина которой равна $a$. Расстояние между центрами $O_1O_2$ проходит через середину хорды $AB$, пусть это будет точка $M$. Линия центров $O_1O_2$ перпендикулярна общей хорде $AB$.

Поскольку центры окружностей лежат по разные стороны от хорды, искомое расстояние $O_1O_2$ будет равно сумме расстояний от каждого центра до хорды: $O_1O_2 = O_1M + O_2M$.

1. Найдем расстояние от центра первой окружности до хорды.

Сторона правильного треугольника ($a_3$), вписанного в окружность радиуса $R_1$, связана с радиусом формулой $a_3 = R_1\sqrt{3}$. По условию $a_3 = a$, следовательно, $a = R_1\sqrt{3}$. Отсюда находим радиус первой окружности: $R_1 = \frac{a}{\sqrt{3}}$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle O_1MA$. Гипотенуза $O_1A$ равна радиусу $R_1$, катет $AM$ равен половине хорды $AB$, то есть $AM = \frac{a}{2}$. Второй катет $O_1M$ — это искомое расстояние от центра до хорды. По теореме Пифагора: $O_1M^2 = R_1^2 - AM^2$ $O_1M^2 = \left(\frac{a}{\sqrt{3}}\right)^2 - \left(\frac{a}{2}\right)^2 = \frac{a^2}{3} - \frac{a^2}{4} = \frac{4a^2 - 3a^2}{12} = \frac{a^2}{12}$ $O_1M = \sqrt{\frac{a^2}{12}} = \frac{a}{\sqrt{12}} = \frac{a}{2\sqrt{3}} = \frac{a\sqrt{3}}{6}$.

2. Найдем расстояние от центра второй окружности до хорды.

Сторона квадрата ($a_4$), вписанного в окружность радиуса $R_2$, связана с радиусом формулой $a_4 = R_2\sqrt{2}$. По условию $a_4 = a$, следовательно, $a = R_2\sqrt{2}$. Отсюда находим радиус второй окружности: $R_2 = \frac{a}{\sqrt{2}}$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle O_2MA$. Гипотенуза $O_2A$ равна радиусу $R_2$, катет $AM = \frac{a}{2}$. Второй катет $O_2M$ — расстояние от центра до хорды. По теореме Пифагора: $O_2M^2 = R_2^2 - AM^2$ $O_2M^2 = \left(\frac{a}{\sqrt{2}}\right)^2 - \left(\frac{a}{2}\right)^2 = \frac{a^2}{2} - \frac{a^2}{4} = \frac{2a^2 - a^2}{4} = \frac{a^2}{4}$ $O_2M = \sqrt{\frac{a^2}{4}} = \frac{a}{2}$.

3. Найдем расстояние между центрами окружностей.

Так как центры лежат по разные стороны от хорды, расстояние между ними равно сумме расстояний от каждого центра до хорды: $O_1O_2 = O_1M + O_2M = \frac{a\sqrt{3}}{6} + \frac{a}{2}$ Приведем к общему знаменателю: $O_1O_2 = \frac{a\sqrt{3}}{6} + \frac{3a}{6} = \frac{a\sqrt{3} + 3a}{6} = \frac{a(3 + \sqrt{3})}{6}$.

Ответ: $\frac{a(3 + \sqrt{3})}{6}$.

22.113. Общая хорда двух пересекающихся окружностей является стороной правильного треугольника, вписанного в одну окружность, и стороной правильного шестиугольника, вписанного в другую окружность. Длина этой хорды равна $a$. Найдите расстояние между центрами окружностей, если они лежат по одну сторону от хорды.

Пусть $O_1$ и $R_1$ — центр и радиус первой окружности, а $O_2$ и $R_2$ — центр и радиус второй окружности. Пусть их общая хорда имеет длину $a$.

Для первой окружности эта хорда является стороной вписанного правильного треугольника. Длина стороны такого треугольника связана с радиусом $R_1$ соотношением $a = R_1\sqrt{3}$. Отсюда находим радиус первой окружности: $R_1 = \frac{a}{\sqrt{3}}$. Расстояние $d_1$ от центра $O_1$ до хорды найдем из прямоугольного треугольника, образованного радиусом $R_1$ (гипотенуза), половиной хорды $\frac{a}{2}$ (катет) и самим расстоянием $d_1$ (второй катет). По теореме Пифагора:$d_1 = \sqrt{R_1^2 - (\frac{a}{2})^2} = \sqrt{(\frac{a}{\sqrt{3}})^2 - \frac{a^2}{4}} = \sqrt{\frac{a^2}{3} - \frac{a^2}{4}} = \sqrt{\frac{4a^2 - 3a^2}{12}} = \sqrt{\frac{a^2}{12}} = \frac{a}{2\sqrt{3}}$.

Для второй окружности эта же хорда является стороной вписанного правильного шестиугольника. Сторона правильного шестиугольника, вписанного в окружность, равна ее радиусу, поэтому $R_2 = a$. Найдем расстояние $d_2$ от центра $O_2$ до хорды аналогичным образом:$d_2 = \sqrt{R_2^2 - (\frac{a}{2})^2} = \sqrt{a^2 - \frac{a^2}{4}} = \sqrt{\frac{3a^2}{4}} = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.

Линия, соединяющая центры окружностей, перпендикулярна их общей хорде. Поскольку по условию центры $O_1$ и $O_2$ лежат по одну сторону от общей хорды, расстояние между ними равно модулю разности расстояний от каждого центра до этой хорды.$d = |d_2 - d_1| = |\frac{a\sqrt{3}}{2} - \frac{a}{2\sqrt{3}}|$. Приведем выражения к общему знаменателю $2\sqrt{3}$:$d = |\frac{a\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{2\sqrt{3}} - \frac{a}{2\sqrt{3}}| = |\frac{3a-a}{2\sqrt{3}}| = \frac{2a}{2\sqrt{3}} = \frac{a}{\sqrt{3}}$. Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$:$d = \frac{a\sqrt{3}}{3}$.

Ответ: $\frac{a\sqrt{3}}{3}$.

22.114. Диагональ выпуклого четырёхугольника делит пополам отрезок, соединяющий середины двух его противолежащих сторон. Докажите, что эта диагональ делит четырёхугольник на два равновеликих треугольника.

Пусть дан выпуклый четырехугольник $ABCD$. Пусть $AC$ — его диагональ, $M$ — середина стороны $AB$, а $N$ — середина стороны $CD$. По условию, диагональ $AC$ делит отрезок $MN$ пополам. Это означает, что точка пересечения $AC$ и $MN$ является серединой отрезка $MN$. Требуется доказать, что площади треугольников $ABC$ и $ADC$ равны, то есть $S_{\triangle ABC} = S_{\triangle ADC}$.

Для доказательства воспользуемся методом координат. Введем прямоугольную систему координат так, чтобы диагональ $AC$ лежала на оси абсцисс ($Ox$). В такой системе координат ординаты точек $A$ и $C$ равны нулю. Пусть координаты вершин четырехугольника: $A(x_A, 0)$, $B(x_B, y_B)$, $C(x_C, 0)$ и $D(x_D, y_D)$.

Площадь треугольника $ABC$ с основанием $AC$ на оси $Ox$ вычисляется как половина произведения длины основания на высоту, опущенную из вершины $B$. Длина основания $AC$ равна $|x_C - x_A|$, а высота $h_B$ равна модулю ординаты точки $B$, то есть $h_B = |y_B|$. Таким образом, $S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2} |AC| \cdot h_B = \frac{1}{2} |x_C - x_A| \cdot |y_B|$.

Аналогично, площадь треугольника $ADC$ с тем же основанием $AC$ вычисляется через высоту $h_D$, опущенную из вершины $D$. Высота $h_D$ равна модулю ординаты точки $D$, то есть $h_D = |y_D|$. Таким образом, $S_{\triangle ADC} = \frac{1}{2} |AC| \cdot h_D = \frac{1}{2} |x_C - x_A| \cdot |y_D|$.

Для доказательства равенства площадей $S_{\triangle ABC} = S_{\triangle ADC}$ необходимо и достаточно показать, что высоты $h_B$ и $h_D$ равны, то есть $|y_B| = |y_D|$.

Найдем координаты середин сторон $AB$ и $CD$. Точка $M$ — середина $AB$, ее координаты: $M\left(\frac{x_A+x_B}{2}, \frac{0+y_B}{2}\right) = M\left(\frac{x_A+x_B}{2}, \frac{y_B}{2}\right)$. Точка $N$ — середина $CD$, ее координаты: $N\left(\frac{x_C+x_D}{2}, \frac{0+y_D}{2}\right) = N\left(\frac{x_C+x_D}{2}, \frac{y_D}{2}\right)$.

Согласно условию, диагональ $AC$ делит отрезок $MN$ пополам. Это значит, что середина отрезка $MN$ лежит на диагонали $AC$. Обозначим середину $MN$ как точку $O$. Найдем ее ординату $y_O$:

$y_O = \frac{y_M+y_N}{2} = \frac{\frac{y_B}{2}+\frac{y_D}{2}}{2} = \frac{y_B+y_D}{4}$.

Так как точка $O$ лежит на диагонали $AC$, которая совпадает с осью $Ox$, ее ордината равна нулю: $y_O = 0$.

Приравняем полученное выражение для $y_O$ к нулю:$\frac{y_B+y_D}{4} = 0 \implies y_B+y_D = 0 \implies y_B = -y_D$.

Это равенство означает, что ординаты вершин $B$ и $D$ равны по модулю и противоположны по знаку, что соответствует их расположению по разные стороны от диагонали $AC$ в выпуклом четырехугольнике. Из $y_B = -y_D$ следует, что $|y_B| = |y_D|$.

Поскольку высоты $h_B = |y_B|$ и $h_D = |y_D|$ равны, а основание $AC$ у треугольников $ABC$ и $ADC$ общее, их площади равны: $S_{\triangle ABC} = S_{\triangle ADC}$.

Утверждение доказано: диагональ делит четырехугольник на два равновеликих треугольника.

Ответ: Утверждение доказано. Диагональ делит четырехугольник на два равновеликих треугольника. Равенство площадей следует из того, что высоты треугольников, проведенные к этой диагонали как к общему основанию, равны. Равенство высот, в свою очередь, является прямым следствием того, что диагональ делит пополам отрезок, соединяющий середины двух противолежащих сторон.

22.115. Диагональ выпуклого четырёхугольника делит его на два равновеликих треугольника. Докажите, что эта диагональ делит пополам отрезок, соединяющий середины двух противолежащих сторон четырёхугольника.

Пусть дан выпуклый четырехугольник $ABCD$. По условию, диагональ $AC$ делит его на два равновеликих треугольника, $\triangle ABC$ и $\triangle ADC$. Это означает, что их площади равны:

$S_{ABC} = S_{ADC}$

Площадь треугольника вычисляется по формуле $S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h$, где $a$ — сторона, а $h$ — высота, проведенная к этой стороне. Выберем диагональ $AC$ в качестве общего основания для треугольников $\triangle ABC$ и $\triangle ADC$. Пусть $h_B$ — высота, опущенная из вершины $B$ на прямую, содержащую $AC$, а $h_D$ — высота, опущенная из вершины $D$ на ту же прямую.

Тогда площади треугольников равны:

$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot h_B$

$S_{ADC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot h_D$

Из условия равенства площадей $S_{ABC} = S_{ADC}$ следует, что высоты, проведенные к общему основанию, также равны:

$\frac{1}{2} \cdot AC \cdot h_B = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot h_D \implies h_B = h_D$

Таким образом, вершины $B$ и $D$ находятся на одинаковом расстоянии от прямой, содержащей диагональ $AC$. Поскольку четырехугольник $ABCD$ является выпуклым, вершины $B$ и $D$ лежат по разные стороны от прямой $AC$.

Пусть $M$ — середина стороны $AB$, а $N$ — середина стороны $CD$. Рассмотрим отрезок $MN$, соединяющий середины этих противолежащих сторон. Нам необходимо доказать, что диагональ $AC$ делит отрезок $MN$ пополам, то есть точка их пересечения является серединой $MN$.

Найдем расстояние от точек $M$ и $N$ до прямой $AC$. Расстояние от середины отрезка до некоторой прямой равно полусумме расстояний от концов этого отрезка до той же прямой.

Для точки $M$, которая является серединой $AB$, ее расстояние до прямой $AC$ (обозначим $h_M$) равно:

$h_M = \frac{\text{расстояние от A до AC} + \text{расстояние от B до AC}}{2}$

Поскольку точка $A$ лежит на прямой $AC$, расстояние от нее до прямой равно 0. Расстояние от точки $B$ до прямой $AC$ равно $h_B$. Следовательно:

$h_M = \frac{0 + h_B}{2} = \frac{h_B}{2}$

Аналогично для точки $N$, которая является серединой $CD$, ее расстояние до прямой $AC$ (обозначим $h_N$) равно:

$h_N = \frac{\text{расстояние от C до AC} + \text{расстояние от D до AC}}{2}$

Поскольку точка $C$ лежит на прямой $AC$, расстояние от нее до прямой равно 0. Расстояние от точки $D$ до прямой $AC$ равно $h_D$. Следовательно:

$h_N = \frac{0 + h_D}{2} = \frac{h_D}{2}$

Так как ранее мы установили, что $h_B = h_D$, то отсюда следует, что и расстояния от точек $M$ и $N$ до прямой $AC$ равны:

$h_M = h_N$

Пусть $P$ — точка пересечения отрезка $MN$ и диагонали $AC$. Поскольку $M$ и $N$ лежат по разные стороны от прямой $AC$ (так как $B$ и $D$ лежат по разные стороны), отрезок $MN$ обязательно пересекает прямую $AC$.

Опустим перпендикуляры $MM'$ и $NN'$ из точек $M$ и $N$ на прямую $AC$. Рассмотрим получившиеся прямоугольные треугольники $\triangle PMM'$ и $\triangle PNN'$:

1. $MM' = h_M$ и $NN' = h_N$. Мы доказали, что $h_M = h_N$, следовательно, катеты $MM'$ и $NN'$ равны.
2. $\angle PM'M = \angle PN'N = 90^\circ$ (по построению перпендикуляров).
3. $\angle MPM' = \angle NPN'$ (как вертикальные углы).

Следовательно, прямоугольные треугольники $\triangle PMM'$ и $\triangle PNN'$ равны по катету и противолежащему острому углу (или по стороне и двум прилежащим углам, если использовать признак ASA). Из равенства треугольников следует равенство их гипотенуз: $MP = NP$.

Это означает, что точка $P$ является серединой отрезка $MN$. Таким образом, диагональ $AC$ делит пополам отрезок, соединяющий середины противолежащих сторон $AB$ и $CD$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.

22.116. На сторонах $CD$ и $AD$ параллелограмма $ABCD$ отметили соответственно точки $M$ и $N$ так, что $CM : MD = 1 : 1$ и $AN : ND = 1 : 2$. Отрезки $BM$ и $CN$ пересекаются в точке $K$. Найдите отношение $BK : KM$.

Пусть дан параллелограмм $ABCD$. На сторонах $CD$ и $AD$ отмечены точки $M$ и $N$ соответственно, так что $CM:MD = 1:1$ (т.е. $M$ — середина $CD$) и $AN:ND = 1:2$. Отрезки $BM$ и $CN$ пересекаются в точке $K$.

Для решения задачи используем метод подобных треугольников. Продлим отрезок $BM$ до пересечения с продолжением стороны $AD$ в точке $P$. Так как $ABCD$ — параллелограмм, то $BC \parallel AD$, а значит $BC \parallel AP$.

Рассмотрим треугольники $\triangle BCM$ и $\triangle PDM$.

• $\angle CMB = \angle PMD$ как вертикальные углы.
• $\angle CBM = \angle DPM$ как накрест лежащие углы при параллельных прямых $BC$ и $AP$ и секущей $BP$.

Следовательно, $\triangle BCM \sim \triangle PDM$ по двум углам. Из подобия треугольников следует равенство отношений соответствующих сторон:$$ \frac{BC}{PD} = \frac{CM}{MD} = \frac{BM}{PM} $$По условию $CM:MD=1:1$, значит $CM=MD$, и отношение $\frac{CM}{MD} = 1$. Тогда $\frac{BC}{PD} = 1$, откуда $BC = PD$. Также из $\frac{BM}{PM} = 1$ следует, что $BM = PM$.

По условию $AN:ND = 1:2$. Примем длину отрезка $AN$ за $x$, тогда $ND = 2x$. Длина стороны $AD = AN + ND = x + 2x = 3x$. В параллелограмме противолежащие стороны равны, поэтому $BC = AD = 3x$. Из ранее доказанного $PD = BC$, следует, что $PD = 3x$. Точка $P$ лежит на продолжении $AD$ за точкой $D$, поэтому длина отрезка $PN$ равна сумме длин отрезков $PD$ и $ND$:$PN = PD + ND = 3x + 2x = 5x$.

Теперь рассмотрим треугольники $\triangle BKC$ и $\triangle PKN$.

• $\angle BKC = \angle PKN$ как вертикальные углы.
• $\angle KBC = \angle KPN$ как накрест лежащие углы при параллельных прямых $BC$ и $AP$ и секущей $BP$.

Следовательно, $\triangle BKC \sim \triangle PKN$ по двум углам. Из подобия следует отношение сторон:$$ \frac{BK}{PK} = \frac{CK}{NK} = \frac{BC}{PN} $$Подставим найденные выражения для длин $BC$ и $PN$:$$ \frac{BC}{PN} = \frac{3x}{5x} = \frac{3}{5} $$Таким образом, получаем отношение $\frac{BK}{PK} = \frac{3}{5}$.

Нам нужно найти отношение $BK:KM$. Выразим отрезок $PK$ через отрезки, связанные с точкой $M$. Точки $P, M, K, B$ лежат на одной прямой.$PK = PM + MK$. Ранее мы установили, что $PM = BM$. В свою очередь, отрезок $BM$ состоит из отрезков $BK$ и $KM$: $BM = BK + KM$. Следовательно, $PM = BK + KM$. Подставим это в выражение для $PK$:$PK = (BK + KM) + KM = BK + 2KM$.

Теперь вернемся к отношению $\frac{BK}{PK} = \frac{3}{5}$ и подставим в него полученное выражение для $PK$:$$ \frac{BK}{BK + 2KM} = \frac{3}{5} $$Воспользуемся основным свойством пропорции:$5 \cdot BK = 3 \cdot (BK + 2KM)$$5 \cdot BK = 3 \cdot BK + 6 \cdot KM$$5 \cdot BK - 3 \cdot BK = 6 \cdot KM$$2 \cdot BK = 6 \cdot KM$Разделим обе части равенства на $2 \cdot KM$ (поскольку длина отрезка не равна нулю):$$ \frac{BK}{KM} = \frac{6}{2} = 3 $$Следовательно, искомое отношение $BK : KM = 3:1$.

Ответ: $3:1$.

2.117. Диагонали выпуклого четырёхугольника ABCD пересекаются в точке O. Известно, что $S_{BCO} = 1 \text{ см}^2$, $S_{AOD} = 9 \text{ см}^2$, $S_{ABCD} \le 16 \text{ см}^2$. Найдите площади треугольников ABO и COD.

Пусть диагонали $AC$ и $BD$ выпуклого четырехугольника $ABCD$ пересекаются в точке $O$. Обозначим искомые площади как $S_{ABO} = x$ и $S_{COD} = y$.

Для любого выпуклого четырехугольника, разделенного диагоналями на четыре треугольника, справедливо свойство: произведение площадей треугольников, прилежащих к противоположным сторонам, равны. То есть $S_{ABO} \cdot S_{COD} = S_{BCO} \cdot S_{AOD}$.

Докажем это свойство. Треугольники $\triangle ABO$ и $\triangle BCO$ имеют общую высоту, проведенную из вершины $B$ к диагонали $AC$. Следовательно, отношение их площадей равно отношению их оснований:
$\frac{S_{ABO}}{S_{BCO}} = \frac{AO}{CO}$

Аналогично, треугольники $\triangle ADO$ и $\triangle CDO$ имеют общую высоту из вершины $D$ к диагонали $AC$, поэтому:
$\frac{S_{AOD}}{S_{COD}} = \frac{AO}{CO}$

Приравнивая правые части, получаем:
$\frac{S_{ABO}}{S_{BCO}} = \frac{S_{AOD}}{S_{COD}} \implies S_{ABO} \cdot S_{COD} = S_{BCO} \cdot S_{AOD}$

Подставим известные значения $S_{BCO} = 1$ см² и $S_{AOD} = 9$ см² в это равенство:
$x \cdot y = 1 \cdot 9 = 9$

Площадь всего четырехугольника $ABCD$ равна сумме площадей четырех треугольников:
$S_{ABCD} = S_{ABO} + S_{BCO} + S_{COD} + S_{AOD} = x + 1 + y + 9 = x + y + 10$

По условию задачи, $S_{ABCD} \le 16$ см². Таким образом, мы получаем неравенство:
$x + y + 10 \le 16$
$x + y \le 6$

Теперь у нас есть система из уравнения и неравенства для положительных величин $x$ и $y$:
1) $xy = 9$
2) $x + y \le 6$

Из первого уравнения выразим $y = \frac{9}{x}$ и подставим во второе неравенство:
$x + \frac{9}{x} \le 6$

Поскольку площадь $x$ является положительной величиной ($x > 0$), мы можем умножить обе части неравенства на $x$, не меняя знака неравенства:
$x^2 + 9 \le 6x$

Перенесем все члены в левую часть:
$x^2 - 6x + 9 \le 0$

Левая часть является полным квадратом:
$(x - 3)^2 \le 0$

Квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным, то есть $(x - 3)^2 \ge 0$. Единственный способ удовлетворить обоим условиям — это равенство нулю:
$(x - 3)^2 = 0$
$x - 3 = 0$
$x = 3$

Следовательно, $S_{ABO} = 3$ см².

Теперь найдем $y$:
$y = \frac{9}{x} = \frac{9}{3} = 3$

Следовательно, $S_{COD} = 3$ см².

Проверим сумму: $x+y=3+3=6$, что удовлетворяет условию $x+y \le 6$. Площадь четырехугольника в этом случае равна $S_{ABCD} = x+y+10 = 3+3+10 = 16$ см², что также удовлетворяет условию $S_{ABCD} \le 16$ см².

Ответ: $S_{ABO} = 3$ см², $S_{COD} = 3$ см².

22.118. Найдите градусную меру дуги окружности, длина которой равна $\pi$ см, если радиус окружности равен 12 см.

Для нахождения градусной меры дуги окружности воспользуемся формулой длины дуги:
$l = \frac{\pi R \alpha}{180^{\circ}}$
где $l$ – длина дуги, $R$ – радиус окружности, а $\alpha$ – искомая градусная мера дуги.

Из условия задачи известны следующие значения:
Длина дуги $l = \pi$ см.
Радиус окружности $R = 12$ см.

Подставим эти значения в формулу:
$\pi = \frac{\pi \cdot 12 \cdot \alpha}{180^{\circ}}$

Теперь необходимо решить полученное уравнение относительно $\alpha$.
Разделим обе части уравнения на $\pi$:
$1 = \frac{12 \cdot \alpha}{180^{\circ}}$

Умножим обе части на $180^{\circ}$:
$180^{\circ} = 12 \cdot \alpha$

Теперь найдем $\alpha$, разделив $180^{\circ}$ на $12$:
$\alpha = \frac{180^{\circ}}{12}$
$\alpha = 15^{\circ}$

Ответ: 15°.

22.119. Длина дуги окружности равна $2\pi$ см, а её градусная мера — $60^\circ$. Найдите радиус окружности.

Для нахождения радиуса окружности воспользуемся формулой длины дуги:

$L = \frac{\pi R \alpha}{180°}$

где $L$ — это длина дуги, $R$ — радиус окружности, а $\alpha$ — градусная мера дуги.

Из условия задачи нам известно, что:

$L = 2\pi$ см

$\alpha = 60°$

Подставим эти значения в формулу:

$2\pi = \frac{\pi \cdot R \cdot 60}{180}$

Теперь нам нужно решить это уравнение относительно $R$. Сначала упростим правую часть, сократив дробь $\frac{60}{180}$:

$\frac{60}{180} = \frac{1}{3}$

Тогда уравнение примет вид:

$2\pi = \frac{\pi \cdot R}{3}$

Чтобы найти $R$, разделим обе части уравнения на $\pi$:

$2 = \frac{R}{3}$

Теперь умножим обе части уравнения на 3:

$R = 2 \cdot 3$

$R = 6$

Следовательно, радиус окружности равен 6 см.

Ответ: 6 см.