Страница 221 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

22.180. Квадрат CDEF, изображённый на рисунке 22.13, является образом квадрата ABCD при повороте по часовой стрелке на угол $90^\circ$. Какая точка является центром поворота?

Рис. 22.13

Поворот — это геометрическое преобразование, при котором фигура поворачивается вокруг фиксированной точки, называемой центром поворота, на заданный угол. Для любой точки $P$ исходной фигуры и её образа $P'$ после поворота вокруг центра $O$ выполняются два условия: расстояние до центра сохраняется ($OP = OP'$) и угол $\angle POP'$ равен углу поворота.

В данной задаче квадрат CDEF является образом квадрата ABCD при повороте на $90^\circ$ по часовой стрелке. Из рисунка видно, что квадраты ABCD и CDEF имеют общую сторону CD. Это означает, что точки C и D принадлежат обоим квадратам.

Проверим, может ли одна из общих точек, например точка D, быть центром поворота. Для этого повернём все вершины квадрата ABCD на $90^\circ$ по часовой стрелке вокруг точки D и посмотрим, получатся ли в результате вершины квадрата CDEF.

1. Поворот точки D: Так как точка D является центром поворота, она отображается сама в себя. Таким образом, вершина D квадрата ABCD переходит в вершину D квадрата CDEF.
2. Поворот точки A: В квадрате ABCD сторона AD перпендикулярна стороне DC, то есть $\angle ADC = 90^\circ$. При повороте на $90^\circ$ по часовой стрелке вокруг точки D отрезок DA перейдёт в отрезок DC. Следовательно, вершина A переходит в вершину C.
3. Поворот точки C: Рассмотрим вершину C квадрата ABCD. Отрезок DC является стороной этого квадрата. Из рисунка видно, что в точке D сходятся стороны DC и DE, образуя прямой угол $\angle CDE = 90^\circ$. При повороте на $90^\circ$ по часовой стрелке вокруг точки D отрезок DC перейдёт в отрезок DE. Следовательно, вершина C квадрата ABCD переходит в вершину E квадрата CDEF.
4. Поворот точки B: Вершина B — последняя вершина квадрата ABCD. Поскольку поворот является движением и сохраняет форму фигуры, образ квадрата ABCD должен быть квадратом. Мы уже нашли образы трёх его вершин: A переходит в C, D переходит в D, C переходит в E. Четвёртая вершина B должна перейти в оставшуюся вершину квадрата CDEF, то есть в точку F.

Таким образом, при повороте квадрата ABCD на $90^\circ$ по часовой стрелке вокруг точки D его вершины A, B, C, D переходят в вершины C, F, E, D соответственно. Множество вершин-образов $\{C, F, E, D\}$ совпадает с множеством вершин квадрата CDEF. Это доказывает, что точка D является центром поворота.

Ответ: Центром поворота является точка D.

22.181. Прямоугольник AMKP, изображённый на рисунке 22.14, является образом прямоугольника ABCD при повороте против часовой стрелки на угол $90^\circ$. Какая точка является центром поворота?

Рис. 22.14

По определению, центр поворота — это точка, которая остаётся неподвижной при выполнении поворота. Все остальные точки фигуры перемещаются по дугам окружностей с центром в этой точке.

В условии задачи сказано, что прямоугольник $AMKP$ получен поворотом прямоугольника $ABCD$ на $90°$ против часовой стрелки. На рисунке видно, что точка $A$ является вершиной как исходного прямоугольника $ABCD$, так и полученного прямоугольника $AMKP$. Логично предположить, что вершина $A$ при повороте перешла сама в себя. Если точка при повороте отображается сама на себя, то она и является центром поворота.

Проверим это предположение. Если $A$ — центр поворота, то для любой точки $X$ прямоугольника $ABCD$ её образ $X'$ в прямоугольнике $AMKP$ должен удовлетворять двум условиям:
1. Расстояния до центра поворота равны: $|AX| = |AX'|$.
2. Угол, образованный отрезками $AX$ и $AX'$, равен углу поворота: $\angle XAX' = 90°$, причём поворот от луча $AX$ к лучу $AX'$ происходит против часовой стрелки.

Применим эти условия к вершинам прямоугольника $ABCD$:

- Вершина D: Отрезок $AD$ лежит на горизонтальной прямой. При повороте на $90°$ против часовой стрелки вокруг точки $A$ его образом станет вертикальный отрезок такой же длины. Из рисунка видно, что таким отрезком, выходящим из вершины $A$ нового прямоугольника, является отрезок $AP$. Угол $\angle DAP$ действительно равен $90°$, и направление поворота от $AD$ к $AP$ — против часовой стрелки. Следовательно, вершина $D$ переходит в вершину $P$. Это означает, что $|AD| = |AP|$.

- Вершина B: Отрезок $AB$ является вертикальным. При повороте на $90°$ против часовой стрелки вокруг точки $A$ его образом станет горизонтальный отрезок такой же длины, направленный влево. На рисунке таким отрезком является $AM$. Угол $\angle BAM$ равен $90°$, и направление поворота от $AB$ к $AM$ — против часовой стрелки. Следовательно, вершина $B$ переходит в вершину $M$. Это означает, что $|AB| = |AM|$.

Поскольку поворот является изометрией (движением), прямоугольники $ABCD$ и $AMKP$ равны. Длины сторон прямоугольника $ABCD$ — это $|AD|$ и $|AB|$. Длины сторон прямоугольника $AMKP$ — это $|AM|$ и $|AP|$. Наша проверка показала, что $|AD| = |AP|$ и $|AB| = |AM|$. Это означает, что длина одного прямоугольника равна ширине другого, и наоборот, что полностью соответствует их равенству.

Таким образом, предположение о том, что точка $A$ является центром поворота, полностью подтверждается.

Ответ: Центром поворота является точка A.

22.182. Медианы треугольника $ABC$, изображённого на рисунке 22.15, пересекаются в точке $M$. Найдите коэффициент:

1) гомотетии с центром $M$, при которой точка $C_1$ является образом точки $C$;

2) гомотетии с центром $B$, при которой точка $M$ является образом точки $B_1$.

Рис. 22.15

В треугольнике $ABC$ отрезки $AA_1$, $BB_1$ и $CC_1$ являются медианами, а точка $M$ — их точка пересечения (центроид).
Основное свойство точки пересечения медиан заключается в том, что она делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины.

1) Найдем коэффициент гомотетии с центром $M$, при которой точка $C_1$ является образом точки $C$.

По определению гомотетии с центром $M$ и коэффициентом $k$, для образа $C_1$ точки $C$ должно выполняться векторное равенство: $\vec{MC_1} = k \cdot \vec{MC}$.
Из свойства медиан для медианы $CC_1$ известно, что $CM : MC_1 = 2:1$.
Это означает, что длина отрезка $MC_1$ в два раза меньше длины отрезка $CM$, то есть $|MC_1| = \frac{1}{2} |MC|$.
Точки $C$, $M$, $C_1$ лежат на одной прямой (медиане $CC_1$). Вектор $\vec{MC_1}$ направлен от центра гомотетии $M$ к точке $C_1$, а вектор $\vec{MC}$ — от центра $M$ к точке $C$. Эти векторы противоположно направлены.
Следовательно, коэффициент гомотетии $k$ будет отрицательным.
Учитывая соотношение длин, получаем: $k = -\frac{|MC_1|}{|MC|} = -\frac{1}{2}$.
Ответ: $k = -1/2$.

2) Найдем коэффициент гомотетии с центром $B$, при которой точка $M$ является образом точки $B_1$.

По определению гомотетии с центром $B$ и коэффициентом $k$, для образа $M$ точки $B_1$ должно выполняться векторное равенство: $\vec{BM} = k \cdot \vec{BB_1}$.
Из свойства медиан для медианы $BB_1$ известно, что $BM : MB_1 = 2:1$.
Это значит, что вся медиана $BB_1$ состоит из $2+1=3$ частей. Длина отрезка $BM$ составляет 2 части от общей длины медианы. Таким образом, $BM = \frac{2}{3} BB_1$.
Точки $B$, $M$, $B_1$ лежат на одной прямой (медиане $BB_1$). Вектор $\vec{BM}$ направлен от центра гомотетии $B$ к точке $M$, а вектор $\vec{BB_1}$ — от центра $B$ к точке $B_1$. Эти векторы сонаправлены (направлены в одну и ту же сторону).
Следовательно, коэффициент гомотетии $k$ будет положительным.
Из соотношения длин отрезков получаем: $k = \frac{|BM|}{|BB_1|} = \frac{2}{3}$.
Ответ: $k = 2/3$.

22.183. Точка $A_1 (-1; 4)$ является образом точки $A (2; -8)$ при гомотетии с центром в начале координат. Чему равен коэффициент гомотетии?

Гомотетия (или преобразование подобия) с центром в начале координат $O(0; 0)$ и коэффициентом $k$ преобразует каждую точку $A(x; y)$ в точку $A_1(x_1; y_1)$ по следующим формулам:

$x_1 = k \cdot x$
$y_1 = k \cdot y$

В условии задачи даны координаты исходной точки $A(2; -8)$ и ее образа $A_1(-1; 4)$. Нам необходимо найти коэффициент гомотетии $k$.

Подставим координаты точек $A$ и $A_1$ в формулы.
Для координаты $x$:
$-1 = k \cdot 2$

Для координаты $y$:
$4 = k \cdot (-8)$

Решим любое из этих уравнений относительно $k$. Возьмем первое уравнение:
$k = \frac{-1}{2} = -0.5$

Для проверки можно решить и второе уравнение:
$k = \frac{4}{-8} = -\frac{1}{2} = -0.5$

Оба уравнения дают одинаковый результат, следовательно, коэффициент гомотетии найден верно.

Ответ: $-0.5$

22.184. Точки $A$ и $B$ лежат в различных полуплоскостях относительно прямой $a$. На прямой $a$ найдите такую точку $X$, чтобы прямая $a$ содержала биссектрису угла $AXB$.

Пусть нам даны прямая a и точки A и B, лежащие в разных полуплоскостях относительно этой прямой. Нам нужно найти такую точку X на прямой a, чтобы прямая a являлась биссектрисой угла AXB.

Анализ и решение

Обозначим через $ \theta_A $ угол между лучом $XA$ и прямой $a$, а через $ \theta_B $ — угол между лучом $XB$ и прямой $a$. Условие, что прямая $a$ является биссектрисой угла $AXB$, означает, что углы, которые лучи $XA$ и $XB$ образуют с прямой $a$, должны быть равны. Так как точки $A$ и $B$ находятся по разные стороны от прямой $a$, то лучи $XA$ и $XB$ также направлены в разные полуплоскости. В этом случае равенство углов означает, что луч $XA$ и луч $XB$ симметричны относительно прямой $a$.

Свойство симметрии означает, что если мы отразим один из лучей, например $XA$, относительно прямой $a$, то он должен совпасть с другим лучом, $XB$.

Построим точку $A'$, симметричную точке $A$ относительно прямой $a$. По определению осевой симметрии, для любой точки $X$, лежащей на оси симметрии (в нашем случае, на прямой $a$), луч $XA'$ является отражением луча $XA$.

Таким образом, условие задачи эквивалентно тому, что луч $XA'$ должен совпадать с лучом $XB$. Это возможно тогда и только тогда, когда точки $A'$, $X$ и $B$ лежат на одной прямой, причем точка $X$ является точкой пересечения прямой $A'B$ и прямой $a$.

Отсюда вытекает следующий способ построения искомой точки $X$:

1. Построить точку $A'$, симметричную точке $A$ относительно прямой $a$. Для этого нужно опустить перпендикуляр из $A$ на прямую $a$, пусть он пересечет ее в точке $M$. Затем на продолжении отрезка $AM$ за точку $M$ отложить отрезок $MA'$ такой, что $MA' = AM$.
2. Провести прямую через точки $A'$ и $B$.
3. Точка пересечения прямой $A'B$ и прямой $a$ и будет искомой точкой $X$.

Доказательство

Пусть точка $X$ найдена указанным способом. Поскольку $X$ лежит на прямой $a$, а $A'$ является отражением $A$ относительно $a$, то по свойству осевой симметрии, $XA = XA'$ и $\angle AXM = \angle A'XM$, где $M$ — проекция $A$ на $a$. Это означает, что угол между лучом $XA$ и прямой $a$ равен углу между лучом $XA'$ и прямой $a$.

По построению, точки $A'$, $X$, $B$ лежат на одной прямой. Так как $A$ и $B$ лежат в разных полуплоскостях, то $A'$ (отражение $A$) и $B$ лежат в одной полуплоскости. Следовательно, лучи $XA'$ и $XB$ совпадают. Значит, угол между лучом $XA'$ и прямой $a$ равен углу между лучом $XB$ и прямой $a$.

Таким образом, мы получаем цепочку равенств:$$ \angle(XA, a) = \angle(XA', a) = \angle(XB, a) $$Это и означает, что прямая $a$ содержит биссектрису угла $AXB$.

Исследование существования решения

Решение, найденное с помощью данного построения, существует и единственно, если прямая $A'B$ пересекает прямую $a$ в одной точке. Это происходит всегда, за исключением случая, когда прямая $A'B$ параллельна прямой $a$.

Прямая $A'B$ параллельна прямой $a$ тогда и только тогда, когда точки $A'$ и $B$ находятся на одинаковом расстоянии от прямой $a$. Поскольку расстояние от $A'$ до $a$ равно расстоянию от $A$ до $a$, это условие эквивалентно тому, что расстояния от точек $A$ и $B$ до прямой $a$ равны.

• Случай 1: Расстояния от $A$ и $B$ до $a$ не равны. В этом случае прямая $A'B$ не параллельна $a$ и пересекает ее в единственной точке $X$. Решение существует и единственно.
• Случай 2: Расстояния от $A$ и $B$ до $a$ равны. В этом случае прямая $A'B$ параллельна $a$, и предложенное построение не дает точки пересечения. Это означает, что решения, как правило, нет. Исключением является подслучай, когда прямая $AB$ перпендикулярна прямой $a$. Тогда точка $A'$ совпадает с точкой $B$, и любая точка $X$ на прямой $a$ будет являться решением, так как для любой такой точки треугольник $AXB$ будет равнобедренным ($AX=BX$), а прямая $a$ будет серединным перпендикуляром к отрезку $AB$, и, следовательно, будет содержать биссектрису угла $AXB$. В остальных ситуациях, когда расстояния равны, но $AB$ не перпендикулярна $a$, решения не существует.

Ответ:

Для нахождения точки $X$ необходимо:
1. Построить точку $A'$, симметричную точке $A$ относительно прямой $a$.
2. Провести прямую через точку $A'$ и точку $B$.
3. Искомая точка $X$ является точкой пересечения прямой $A'B$ и прямой $a$.
Если расстояния от точек $A$ и $B$ до прямой $a$ равны, то задача имеет решение (бесконечно много решений — любая точка на прямой $a$) только в том случае, если прямая $AB$ перпендикулярна прямой $a$. В противном случае, если расстояния равны, а $AB$ не перпендикулярна $a$, задача решения не имеет.

22.185. Точки $A$ и $B$ лежат в одной полуплоскости относительно прямой $a$. Найдите на прямой $a$ такую точку $X$, чтобы лучи $XA$ и $XB$ образовывали с этой прямой равные углы.

Условие "лучи XA и XB образовывали с этой прямой равные углы" можно трактовать двумя способами. Это приводит к двум разным геометрическим построениям и, соответственно, двум возможным решениям задачи.

Этот способ основан на физическом принципе отражения света, согласно которому угол падения равен углу отражения. В данном контексте это означает, что углы, образованные лучами XA и XB с прямой a, расположены по разные стороны от перпендикуляров, опущенных из точек A и B на прямую a.

Построение:

1. Построим точку A', симметричную точке A относительно прямой a. Для этого из точки A опустим перпендикуляр AH на прямую a и на его продолжении отложим отрезок HA', равный отрезку AH.
2. Соединим полученную точку A' с точкой B прямой линией.
3. Точка пересечения прямой A'B с прямой a и будет искомой точкой X.

Доказательство:

Пусть X — точка пересечения прямой A'B и прямой a. Нам нужно доказать, что угол, образованный лучом XA с прямой a, равен углу, образованному лучом XB с прямой a.

По построению, точка A' симметрична точке A относительно прямой a. Это означает, что для любой точки X, лежащей на прямой a, треугольник AXA' является равнобедренным (XA = XA'). Следовательно, углы, которые лучи XA и XA' образуют с прямой a, равны. Обозначим эти углы $\angle(XA, a)$ и $\angle(XA', a)$. Таким образом, $\angle(XA, a) = \angle(XA', a)$.

Поскольку точки A', X и B лежат на одной прямой, угол, который образует луч XB с прямой a, и угол, который образует луч XA' с прямой a, равны как вертикальные углы. То есть, $\angle(XB, a) = \angle(XA', a)$.

Из этих двух равенств следует, что $\angle(XA, a) = \angle(XB, a)$, что и требовалось доказать.

Такое решение существует всегда и является единственным. Так как точки A и B лежат в одной полуплоскости относительно прямой a, точка A' будет лежать в другой полуплоскости. Следовательно, прямая A'B всегда пересекает прямую a в одной-единственной точке.

Ответ: Искомая точка X является точкой пересечения прямой a и прямой, соединяющей одну из данных точек (например, B) с точкой, симметричной другой данной точке (A) относительно прямой a.

Этот способ основан на трактовке, при которой искомая точка X лежит на одной прямой с точками A и B. В этом случае лучи XA и XB являются частями одной прямой и, очевидно, образуют равные углы с любой другой прямой.

Построение:

1. Провести прямую через точки A и B.
2. Точка пересечения прямой AB с прямой a и будет искомой точкой X.

Доказательство:

Если точка X лежит на прямой AB, то лучи XA и XB также лежат на этой прямой. Следовательно, они образуют с прямой a один и тот же угол, а именно угол между прямой AB и прямой a. Таким образом, условие задачи выполняется.

Такое решение существует и единственно только в том случае, если прямая AB не параллельна прямой a. Прямая AB параллельна прямой a тогда и только тогда, когда точки A и B находятся на одинаковом расстоянии от прямой a. Если расстояния различны, то прямая AB пересекает прямую a, и решение существует. Если расстояния одинаковы, то прямая AB параллельна прямой a и не пересекает ее (так как A и B в одной полуплоскости), и в этом случае такого решения нет.

Ответ: Искомая точка X является точкой пересечения прямой a и прямой, проходящей через точки A и B. Это решение существует, только если точки A и B находятся на разном расстоянии от прямой a.