Номер 22.180, страница 221 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

22.180. Квадрат CDEF, изображённый на рисунке 22.13, является образом квадрата ABCD при повороте по часовой стрелке на угол $90^\circ$. Какая точка является центром поворота?

Рис. 22.13

Поворот — это геометрическое преобразование, при котором фигура поворачивается вокруг фиксированной точки, называемой центром поворота, на заданный угол. Для любой точки $P$ исходной фигуры и её образа $P'$ после поворота вокруг центра $O$ выполняются два условия: расстояние до центра сохраняется ($OP = OP'$) и угол $\angle POP'$ равен углу поворота.

В данной задаче квадрат CDEF является образом квадрата ABCD при повороте на $90^\circ$ по часовой стрелке. Из рисунка видно, что квадраты ABCD и CDEF имеют общую сторону CD. Это означает, что точки C и D принадлежат обоим квадратам.

Проверим, может ли одна из общих точек, например точка D, быть центром поворота. Для этого повернём все вершины квадрата ABCD на $90^\circ$ по часовой стрелке вокруг точки D и посмотрим, получатся ли в результате вершины квадрата CDEF.

1. Поворот точки D: Так как точка D является центром поворота, она отображается сама в себя. Таким образом, вершина D квадрата ABCD переходит в вершину D квадрата CDEF.
2. Поворот точки A: В квадрате ABCD сторона AD перпендикулярна стороне DC, то есть $\angle ADC = 90^\circ$. При повороте на $90^\circ$ по часовой стрелке вокруг точки D отрезок DA перейдёт в отрезок DC. Следовательно, вершина A переходит в вершину C.
3. Поворот точки C: Рассмотрим вершину C квадрата ABCD. Отрезок DC является стороной этого квадрата. Из рисунка видно, что в точке D сходятся стороны DC и DE, образуя прямой угол $\angle CDE = 90^\circ$. При повороте на $90^\circ$ по часовой стрелке вокруг точки D отрезок DC перейдёт в отрезок DE. Следовательно, вершина C квадрата ABCD переходит в вершину E квадрата CDEF.
4. Поворот точки B: Вершина B — последняя вершина квадрата ABCD. Поскольку поворот является движением и сохраняет форму фигуры, образ квадрата ABCD должен быть квадратом. Мы уже нашли образы трёх его вершин: A переходит в C, D переходит в D, C переходит в E. Четвёртая вершина B должна перейти в оставшуюся вершину квадрата CDEF, то есть в точку F.

Таким образом, при повороте квадрата ABCD на $90^\circ$ по часовой стрелке вокруг точки D его вершины A, B, C, D переходят в вершины C, F, E, D соответственно. Множество вершин-образов $\{C, F, E, D\}$ совпадает с множеством вершин квадрата CDEF. Это доказывает, что точка D является центром поворота.

Ответ: Центром поворота является точка D.