Номер 22.185, страница 221 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

22.185. Точки $A$ и $B$ лежат в одной полуплоскости относительно прямой $a$. Найдите на прямой $a$ такую точку $X$, чтобы лучи $XA$ и $XB$ образовывали с этой прямой равные углы.

Условие "лучи XA и XB образовывали с этой прямой равные углы" можно трактовать двумя способами. Это приводит к двум разным геометрическим построениям и, соответственно, двум возможным решениям задачи.

Этот способ основан на физическом принципе отражения света, согласно которому угол падения равен углу отражения. В данном контексте это означает, что углы, образованные лучами XA и XB с прямой a, расположены по разные стороны от перпендикуляров, опущенных из точек A и B на прямую a.

Построение:

1. Построим точку A', симметричную точке A относительно прямой a. Для этого из точки A опустим перпендикуляр AH на прямую a и на его продолжении отложим отрезок HA', равный отрезку AH.
2. Соединим полученную точку A' с точкой B прямой линией.
3. Точка пересечения прямой A'B с прямой a и будет искомой точкой X.

Доказательство:

Пусть X — точка пересечения прямой A'B и прямой a. Нам нужно доказать, что угол, образованный лучом XA с прямой a, равен углу, образованному лучом XB с прямой a.

По построению, точка A' симметрична точке A относительно прямой a. Это означает, что для любой точки X, лежащей на прямой a, треугольник AXA' является равнобедренным (XA = XA'). Следовательно, углы, которые лучи XA и XA' образуют с прямой a, равны. Обозначим эти углы $\angle(XA, a)$ и $\angle(XA', a)$. Таким образом, $\angle(XA, a) = \angle(XA', a)$.

Поскольку точки A', X и B лежат на одной прямой, угол, который образует луч XB с прямой a, и угол, который образует луч XA' с прямой a, равны как вертикальные углы. То есть, $\angle(XB, a) = \angle(XA', a)$.

Из этих двух равенств следует, что $\angle(XA, a) = \angle(XB, a)$, что и требовалось доказать.

Такое решение существует всегда и является единственным. Так как точки A и B лежат в одной полуплоскости относительно прямой a, точка A' будет лежать в другой полуплоскости. Следовательно, прямая A'B всегда пересекает прямую a в одной-единственной точке.

Ответ: Искомая точка X является точкой пересечения прямой a и прямой, соединяющей одну из данных точек (например, B) с точкой, симметричной другой данной точке (A) относительно прямой a.

Этот способ основан на трактовке, при которой искомая точка X лежит на одной прямой с точками A и B. В этом случае лучи XA и XB являются частями одной прямой и, очевидно, образуют равные углы с любой другой прямой.

Построение:

1. Провести прямую через точки A и B.
2. Точка пересечения прямой AB с прямой a и будет искомой точкой X.

Доказательство:

Если точка X лежит на прямой AB, то лучи XA и XB также лежат на этой прямой. Следовательно, они образуют с прямой a один и тот же угол, а именно угол между прямой AB и прямой a. Таким образом, условие задачи выполняется.

Такое решение существует и единственно только в том случае, если прямая AB не параллельна прямой a. Прямая AB параллельна прямой a тогда и только тогда, когда точки A и B находятся на одинаковом расстоянии от прямой a. Если расстояния различны, то прямая AB пересекает прямую a, и решение существует. Если расстояния одинаковы, то прямая AB параллельна прямой a и не пересекает ее (так как A и B в одной полуплоскости), и в этом случае такого решения нет.

Ответ: Искомая точка X является точкой пересечения прямой a и прямой, проходящей через точки A и B. Это решение существует, только если точки A и B находятся на разном расстоянии от прямой a.