Номер 22.182, страница 221 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

22.182. Медианы треугольника $ABC$, изображённого на рисунке 22.15, пересекаются в точке $M$. Найдите коэффициент:

1) гомотетии с центром $M$, при которой точка $C_1$ является образом точки $C$;

2) гомотетии с центром $B$, при которой точка $M$ является образом точки $B_1$.

Рис. 22.15

В треугольнике $ABC$ отрезки $AA_1$, $BB_1$ и $CC_1$ являются медианами, а точка $M$ — их точка пересечения (центроид).
Основное свойство точки пересечения медиан заключается в том, что она делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины.

1) Найдем коэффициент гомотетии с центром $M$, при которой точка $C_1$ является образом точки $C$.

По определению гомотетии с центром $M$ и коэффициентом $k$, для образа $C_1$ точки $C$ должно выполняться векторное равенство: $\vec{MC_1} = k \cdot \vec{MC}$.
Из свойства медиан для медианы $CC_1$ известно, что $CM : MC_1 = 2:1$.
Это означает, что длина отрезка $MC_1$ в два раза меньше длины отрезка $CM$, то есть $|MC_1| = \frac{1}{2} |MC|$.
Точки $C$, $M$, $C_1$ лежат на одной прямой (медиане $CC_1$). Вектор $\vec{MC_1}$ направлен от центра гомотетии $M$ к точке $C_1$, а вектор $\vec{MC}$ — от центра $M$ к точке $C$. Эти векторы противоположно направлены.
Следовательно, коэффициент гомотетии $k$ будет отрицательным.
Учитывая соотношение длин, получаем: $k = -\frac{|MC_1|}{|MC|} = -\frac{1}{2}$.
Ответ: $k = -1/2$.

2) Найдем коэффициент гомотетии с центром $B$, при которой точка $M$ является образом точки $B_1$.

По определению гомотетии с центром $B$ и коэффициентом $k$, для образа $M$ точки $B_1$ должно выполняться векторное равенство: $\vec{BM} = k \cdot \vec{BB_1}$.
Из свойства медиан для медианы $BB_1$ известно, что $BM : MB_1 = 2:1$.
Это значит, что вся медиана $BB_1$ состоит из $2+1=3$ частей. Длина отрезка $BM$ составляет 2 части от общей длины медианы. Таким образом, $BM = \frac{2}{3} BB_1$.
Точки $B$, $M$, $B_1$ лежат на одной прямой (медиане $BB_1$). Вектор $\vec{BM}$ направлен от центра гомотетии $B$ к точке $M$, а вектор $\vec{BB_1}$ — от центра $B$ к точке $B_1$. Эти векторы сонаправлены (направлены в одну и ту же сторону).
Следовательно, коэффициент гомотетии $k$ будет положительным.
Из соотношения длин отрезков получаем: $k = \frac{|BM|}{|BB_1|} = \frac{2}{3}$.
Ответ: $k = 2/3$.