Номер 22.184, страница 221 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

22.184. Точки $A$ и $B$ лежат в различных полуплоскостях относительно прямой $a$. На прямой $a$ найдите такую точку $X$, чтобы прямая $a$ содержала биссектрису угла $AXB$.

Пусть нам даны прямая a и точки A и B, лежащие в разных полуплоскостях относительно этой прямой. Нам нужно найти такую точку X на прямой a, чтобы прямая a являлась биссектрисой угла AXB.

Анализ и решение

Обозначим через $ \theta_A $ угол между лучом $XA$ и прямой $a$, а через $ \theta_B $ — угол между лучом $XB$ и прямой $a$. Условие, что прямая $a$ является биссектрисой угла $AXB$, означает, что углы, которые лучи $XA$ и $XB$ образуют с прямой $a$, должны быть равны. Так как точки $A$ и $B$ находятся по разные стороны от прямой $a$, то лучи $XA$ и $XB$ также направлены в разные полуплоскости. В этом случае равенство углов означает, что луч $XA$ и луч $XB$ симметричны относительно прямой $a$.

Свойство симметрии означает, что если мы отразим один из лучей, например $XA$, относительно прямой $a$, то он должен совпасть с другим лучом, $XB$.

Построим точку $A'$, симметричную точке $A$ относительно прямой $a$. По определению осевой симметрии, для любой точки $X$, лежащей на оси симметрии (в нашем случае, на прямой $a$), луч $XA'$ является отражением луча $XA$.

Таким образом, условие задачи эквивалентно тому, что луч $XA'$ должен совпадать с лучом $XB$. Это возможно тогда и только тогда, когда точки $A'$, $X$ и $B$ лежат на одной прямой, причем точка $X$ является точкой пересечения прямой $A'B$ и прямой $a$.

Отсюда вытекает следующий способ построения искомой точки $X$:

1. Построить точку $A'$, симметричную точке $A$ относительно прямой $a$. Для этого нужно опустить перпендикуляр из $A$ на прямую $a$, пусть он пересечет ее в точке $M$. Затем на продолжении отрезка $AM$ за точку $M$ отложить отрезок $MA'$ такой, что $MA' = AM$.
2. Провести прямую через точки $A'$ и $B$.
3. Точка пересечения прямой $A'B$ и прямой $a$ и будет искомой точкой $X$.

Доказательство

Пусть точка $X$ найдена указанным способом. Поскольку $X$ лежит на прямой $a$, а $A'$ является отражением $A$ относительно $a$, то по свойству осевой симметрии, $XA = XA'$ и $\angle AXM = \angle A'XM$, где $M$ — проекция $A$ на $a$. Это означает, что угол между лучом $XA$ и прямой $a$ равен углу между лучом $XA'$ и прямой $a$.

По построению, точки $A'$, $X$, $B$ лежат на одной прямой. Так как $A$ и $B$ лежат в разных полуплоскостях, то $A'$ (отражение $A$) и $B$ лежат в одной полуплоскости. Следовательно, лучи $XA'$ и $XB$ совпадают. Значит, угол между лучом $XA'$ и прямой $a$ равен углу между лучом $XB$ и прямой $a$.

Таким образом, мы получаем цепочку равенств:$$ \angle(XA, a) = \angle(XA', a) = \angle(XB, a) $$Это и означает, что прямая $a$ содержит биссектрису угла $AXB$.

Исследование существования решения

Решение, найденное с помощью данного построения, существует и единственно, если прямая $A'B$ пересекает прямую $a$ в одной точке. Это происходит всегда, за исключением случая, когда прямая $A'B$ параллельна прямой $a$.

Прямая $A'B$ параллельна прямой $a$ тогда и только тогда, когда точки $A'$ и $B$ находятся на одинаковом расстоянии от прямой $a$. Поскольку расстояние от $A'$ до $a$ равно расстоянию от $A$ до $a$, это условие эквивалентно тому, что расстояния от точек $A$ и $B$ до прямой $a$ равны.

• Случай 1: Расстояния от $A$ и $B$ до $a$ не равны. В этом случае прямая $A'B$ не параллельна $a$ и пересекает ее в единственной точке $X$. Решение существует и единственно.
• Случай 2: Расстояния от $A$ и $B$ до $a$ равны. В этом случае прямая $A'B$ параллельна $a$, и предложенное построение не дает точки пересечения. Это означает, что решения, как правило, нет. Исключением является подслучай, когда прямая $AB$ перпендикулярна прямой $a$. Тогда точка $A'$ совпадает с точкой $B$, и любая точка $X$ на прямой $a$ будет являться решением, так как для любой такой точки треугольник $AXB$ будет равнобедренным ($AX=BX$), а прямая $a$ будет серединным перпендикуляром к отрезку $AB$, и, следовательно, будет содержать биссектрису угла $AXB$. В остальных ситуациях, когда расстояния равны, но $AB$ не перпендикулярна $a$, решения не существует.

Ответ:

Для нахождения точки $X$ необходимо:
1. Построить точку $A'$, симметричную точке $A$ относительно прямой $a$.
2. Провести прямую через точку $A'$ и точку $B$.
3. Искомая точка $X$ является точкой пересечения прямой $A'B$ и прямой $a$.
Если расстояния от точек $A$ и $B$ до прямой $a$ равны, то задача имеет решение (бесконечно много решений — любая точка на прямой $a$) только в том случае, если прямая $AB$ перпендикулярна прямой $a$. В противном случае, если расстояния равны, а $AB$ не перпендикулярна $a$, задача решения не имеет.