Номер 2, страница 223 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

К § 2 «Векторы в пространстве»

1. Создайте набор подпрограмм для работы с векторами:

1) по координатам начала и конца вектора найти координаты вектора;

2) по координатам вектора найти модуль вектора;

3) по координатам двух векторов определить, коллинеарны ли эти векторы;

4) по координатам двух векторов определить, равны ли эти векторы. Определите, какие ещё подпрограммы будут полезны для работы с векторами, и добавьте их в этот набор.

2. Напишите программу для решения какой-либо задачи данного параграфа с использованием подпрограмм из этого набора.

1. Создайте набор подпрограмм для работы с векторами:

1) по координатам начала и конца вектора найти координаты вектора;

Пусть даны координаты точки начала вектора $A(x_1, y_1, z_1)$ и точки конца вектора $B(x_2, y_2, z_2)$. Координаты вектора $\vec{AB} = (v_x, v_y, v_z)$ вычисляются как разность соответствующих координат конца и начала вектора.

Формулы для вычисления координат вектора:

$v_x = x_2 - x_1$

$v_y = y_2 - y_1$

$v_z = z_2 - z_1$

Таким образом, подпрограмма должна принимать на вход шесть чисел (координаты точек A и B) и возвращать три числа (координаты вектора $\vec{AB}$).

Ответ: Координаты вектора $\vec{AB}$ с началом в точке $A(x_1, y_1, z_1)$ и концом в точке $B(x_2, y_2, z_2)$ равны $(x_2 - x_1, y_2 - y_1, z_2 - z_1)$.

2) по координатам вектора найти модуль вектора;

Пусть дан вектор $\vec{v}$ с координатами $(v_x, v_y, v_z)$. Модуль (или длина) вектора $|\vec{v}|$ вычисляется как квадратный корень из суммы квадратов его координат. Это следует из теоремы Пифагора в трехмерном пространстве.

Формула для вычисления модуля вектора:

$|\vec{v}| = \sqrt{v_x^2 + v_y^2 + v_z^2}$

Подпрограмма принимает на вход три числа (координаты вектора) и возвращает одно число (модуль вектора).

Ответ: Модуль вектора $\vec{v} = (v_x, v_y, v_z)$ равен $\sqrt{v_x^2 + v_y^2 + v_z^2}$.

3) по координатам двух векторов определить, коллинеарны ли эти векторы;

Два ненулевых вектора $\vec{a} = (a_x, a_y, a_z)$ и $\vec{b} = (b_x, b_y, b_z)$ коллинеарны, если их соответствующие координаты пропорциональны, то есть существует такое число $k$, что $\vec{a} = k \cdot \vec{b}$. Это означает, что $a_x = k \cdot b_x$, $a_y = k \cdot b_y$ и $a_z = k \cdot b_z$.

Проверку можно выполнить, сравнив отношения координат (избегая деления на ноль) или проверив, равно ли их векторное произведение нулевому вектору. Векторное произведение $\vec{a} \times \vec{b}$ равно нулевому вектору тогда и только тогда, когда векторы коллинеарны.

Координаты векторного произведения: $\vec{a} \times \vec{b} = (a_y b_z - a_z b_y, a_z b_x - a_x b_z, a_x b_y - a_y b_x)$.

Условие коллинеарности:

$a_y b_z - a_z b_y = 0$

$a_z b_x - a_x b_z = 0$

$a_x b_y - a_y b_x = 0$

Подпрограмма принимает на вход шесть чисел (координаты двух векторов) и возвращает логическое значение (истина, если коллинеарны, и ложь в противном случае). Необходимо также учесть случай, когда один из векторов — нулевой (нулевой вектор коллинеарен любому вектору).

Ответ: Векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ коллинеарны, если их векторное произведение равно нулевому вектору, то есть все компоненты вектора $\vec{a} \times \vec{b}$ равны нулю.

4) по координатам двух векторов определить, равны ли эти векторы.

Два вектора $\vec{a} = (a_x, a_y, a_z)$ и $\vec{b} = (b_x, b_y, b_z)$ равны, если равны их соответствующие координаты.

Условие равенства:

$a_x = b_x$ и $a_y = b_y$ и $a_z = b_z$

Подпрограмма принимает на вход шесть чисел (координаты двух векторов) и возвращает логическое значение.

Ответ: Векторы $\vec{a} = (a_x, a_y, a_z)$ и $\vec{b} = (b_x, b_y, b_z)$ равны, если $a_x = b_x$, $a_y = b_y$ и $a_z = b_z$.

Определите, какие ещё подпрограммы будут полезны для работы с векторами, и добавьте их в этот набор.

В набор полезно добавить следующие подпрограммы, реализующие базовые операции над векторами:

• Сложение векторов: для $\vec{a} = (a_x, a_y, a_z)$ и $\vec{b} = (b_x, b_y, b_z)$, их сумма $\vec{a} + \vec{b} = (a_x + b_x, a_y + b_y, a_z + b_z)$.
• Вычитание векторов: для $\vec{a}$ и $\vec{b}$, их разность $\vec{a} - \vec{b} = (a_x - b_x, a_y - b_y, a_z - b_z)$.
• Умножение вектора на скаляр: для вектора $\vec{a}$ и числа $k$, произведение $k \cdot \vec{a} = (k \cdot a_x, k \cdot a_y, k \cdot a_z)$.
• Скалярное произведение векторов: для $\vec{a}$ и $\vec{b}$, их скалярное произведение $\vec{a} \cdot \vec{b} = a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z$. Результат — число. Эта операция полезна для нахождения угла между векторами и проверки их ортогональности.
• Векторное произведение векторов: для $\vec{a}$ и $\vec{b}$, их векторное произведение $\vec{a} \times \vec{b} = (a_y b_z - a_z b_y, a_z b_x - a_x b_z, a_x b_y - a_y b_x)$. Результат — вектор, перпендикулярный обоим исходным векторам.

Ответ: Полезными будут подпрограммы для сложения и вычитания векторов, умножения вектора на скаляр, а также для вычисления скалярного и векторного произведений.

2. Напишите программу для решения какой-либо задачи данного параграфа с использованием подпрограмм из этого набора.

Задача: Вычислить площадь треугольника по заданным координатам его трех вершин в пространстве.

Решение с использованием подпрограмм:

Площадь треугольника, построенного на векторах $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$, равна половине модуля их векторного произведения: $S_{ABC} = \frac{1}{2} |\vec{AB} \times \vec{AC}|$.

Программа для решения этой задачи будет выполнять следующие шаги:

1. Запросить у пользователя координаты трех вершин треугольника: $A(x_A, y_A, z_A)$, $B(x_B, y_B, z_B)$ и $C(x_C, y_C, z_C)$.
2. Используя подпрограмму (1), найти координаты векторов двух сторон треугольника, исходящих из одной вершины, например, $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$.
   $\vec{AB} = (x_B - x_A, y_B - y_A, z_B - z_A)$
   $\vec{AC} = (x_C - x_A, y_C - y_A, z_C - z_A)$
3. Используя подпрограмму для векторного произведения (добавленную в набор), вычислить вектор $\vec{p} = \vec{AB} \times \vec{AC}$.
4. Используя подпрограмму (2), найти модуль (длину) полученного вектора $|\vec{p}|$.
5. Вычислить площадь треугольника по формуле $S = \frac{1}{2} |\vec{p}|$ и вывести результат.

Примерный псевдокод программы:

// Подключение набора подпрограмм для работы с векторами// Основная программа// 1. Ввод координат вершинВвести xA, yA, zAВвести xB, yB, zBВвести xC, yC, zC// 2. Вычисление координат векторов сторонвектор AB = найти_координаты_вектора(xA, yA, zA, xB, yB, zB)вектор AC = найти_координаты_вектора(xA, yA, zA, xC, yC, zC)// 3. Вычисление векторного произведениявектор p = векторное_произведение(AB, AC)// 4. Вычисление модуля векторамодуль_p = найти_модуль_вектора(p)// 5. Вычисление и вывод площадиплощадь = 0.5 * модуль_pВывести "Площадь треугольника:", площадь

Ответ: Программа для нахождения площади треугольника по координатам вершин $A, B, C$ последовательно использует подпрограммы: 1) нахождения координат векторов $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$; 2) вычисления их векторного произведения $\vec{p} = \vec{AB} \times \vec{AC}$; 3) нахождения модуля вектора $|\vec{p}|$. Искомая площадь равна $S = 0.5 \cdot |\vec{p}|$.