Номер 9, страница 225 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

К § 9 «Конус»

1. Напишите программу, которая по данным радиусу основания и высоте конуса:

1) вычисляет площадь его боковой поверхности и площадь его полной поверхности;

2) строит на экране компьютера изображение развёртки конуса и подписывает соответствующие размеры.

2. Пользуясь подпрограммой, созданной в задании 2 к § 7, напишите программу для построения «каркасного» изображения конуса в декартовой системе координат на экране компьютера. Предусмотрите как можно больше вариантов расположения конуса.

1.

Программа, которая по данным радиусу основания $R$ и высоте $H$ конуса выполняет требуемые действия.

1) вычисляет площадь его боковой поверхности и площадь его полной поверхности;

Для вычисления площадей конуса необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти длину образующей конуса $L$. Образующая, высота и радиус основания образуют прямоугольный треугольник, где $L$ является гипотенузой. По теореме Пифагора: $L = \sqrt{R^2 + H^2}$
2. Вычислить площадь боковой поверхности $S_{бок}$. Формула для площади боковой поверхности конуса: $S_{бок} = \pi R L$
3. Вычислить площадь полной поверхности $S_{полн}$. Она равна сумме площади боковой поверхности и площади основания ($S_{осн} = \pi R^2$): $S_{полн} = S_{бок} + S_{осн} = \pi R L + \pi R^2 = \pi R (L + R)$

Ниже приведена программа на языке Python, реализующая эти вычисления.

Ответ:

import mathdef calculate_cone_areas(radius, height): "" Вычисляет площади боковой и полной поверхностей конуса. Аргументы: radius (float): Радиус основания конуса. height (float): Высота конуса. Возвращает: tuple: (Площадь боковой поверхности, Площадь полной поверхности) "" if radius <= 0 or height <= 0: print("Радиус и высота должны быть положительными числами.") return None, None # 1. Вычисляем образующую (L) slant_height = math.sqrt(radius**2 + height**2) # 2. Вычисляем площадь боковой поверхности lateral_area = math.pi * radius * slant_height # 3. Вычисляем площадь полной поверхности total_area = lateral_area + (math.pi * radius**2) print(f"Для конуса с радиусом R = {radius} и высотой H = {height}:") print(f"Образующая L = {slant_height:.4f}") print(f"Площадь боковой поверхности S_бок = {lateral_area:.4f}") print(f"Площадь полной поверхности S_полн = {total_area:.4f}") return lateral_area, total_area# --- Пример использования ---R = 3.0H = 4.0calculate_cone_areas(R, H) 

2) строит на экране компьютера изображение развёртки конуса и подписывает соответствующие размеры.

Развёртка конуса состоит из двух геометрических фигур:

• Круг — это основание конуса. Его радиус равен радиусу основания конуса $R$.
• Круговой сектор — это развёртка боковой поверхности. Радиус этого сектора равен образующей конуса $L$, а длина дуги сектора равна длине окружности основания конуса $C = 2 \pi R$.

Угол сектора $\alpha$ (в радианах) можно найти по формуле длины дуги: $C = L \cdot \alpha$. Отсюда: $\alpha = \frac{2 \pi R}{L}$

Программа ниже, написанная на Python с использованием библиотеки matplotlib, строит развёртку и подписывает ключевые размеры: радиус основания $R$, образующую $L$ и угол сектора $\alpha$.

Ответ:

import mathimport matplotlib.pyplot as pltfrom matplotlib.patches import Circle, Wedge, Arcimport numpy as npdef draw_cone_net(radius, height): "" Строит на экране изображение развёртки конуса с размерами. "" if radius <= 0 or height <= 0: print("Радиус и высота должны быть положительными числами.") return # Вычисляем параметры развёртки slant_height = math.sqrt(radius**2 + height**2) # Угол сектора в радианах angle_rad = (2 * math.pi * radius) / slant_height # Угол сектора в градусах для отрисовки angle_deg = math.degrees(angle_rad) fig, ax = plt.subplots(figsize=(12, 7)) ax.set_aspect('equal', adjustable='box') ax.set_title(f'Развёртка конуса (R={radius}, H={height})') ax.axis('off') # --- 1. Рисуем основание (круг) --- base_center_x = 0 base_center_y = 0 base = Circle((base_center_x, base_center_y), radius, fill=False, edgecolor='blue', lw=2) ax.add_patch(base) # Подписываем радиус R ax.plot([base_center_x, base_center_x + radius], [base_center_y, base_center_y], 'r--') ax.text(base_center_x + radius / 2, base_center_y + 0.1 * radius, f'R = {radius:.2f}', color='red', ha='center', fontsize=12) # --- 2. Рисуем боковую поверхность (сектор) --- # Располагаем сектор справа от круга для наглядности sector_center_x = radius + slant_height + 1 sector_center_y = 0 # Рисуем сектор (клин) с центром в (sector_center_x, sector_center_y) # theta1 и theta2 - начальный и конечный углы в градусах sector = Wedge((sector_center_x, sector_center_y), slant_height, -angle_deg / 2, angle_deg / 2, fill=False, edgecolor='green', lw=2) ax.add_patch(sector) # Подписываем образующую L line_x = sector_center_x + slant_height * np.cos(np.deg2rad(-angle_deg/4)) line_y = sector_center_y + slant_height * np.sin(np.deg2rad(-angle_deg/4)) ax.plot([sector_center_x, line_x], [sector_center_y, line_y], 'r--') ax.text(sector_center_x + slant_height/2 * np.cos(np.deg2rad(-angle_deg/4)), sector_center_y + slant_height/2 * np.sin(np.deg2rad(-angle_deg/4)) + 0.1*slant_height, f'L = {slant_height:.2f}', color='red', ha='center', fontsize=12) # Подписываем угол сектора alpha angle_arc_radius = slant_height * 0.4 angle_arc = Arc((sector_center_x, sector_center_y), angle_arc_radius, angle_arc_radius, theta1=-angle_deg / 2, theta2=angle_deg / 2, color='purple', ls=':') ax.add_patch(angle_arc) ax.text(sector_center_x + angle_arc_radius * 0.7, sector_center_y, f'α = {angle_deg:.1f}°', color='purple', ha='center', va='center', fontsize=12) # Настраиваем пределы отображения ax.set_xlim(-radius - 1, sector_center_x + slant_height + 1) ax.set_ylim(-max(radius, slant_height*np.sin(angle_rad/2)) - 1, max(radius, slant_height) + 1) plt.show()# --- Пример использования ---R = 3.0H = 4.0draw_cone_net(R, H) 

2.

Для построения «каркасного» изображения конуса в декартовой системе координат необходимо нарисовать его основные элементы: эллипс основания (проекция окружности) и несколько образующих, соединяющих точки на окружности основания с вершиной конуса.

В задании упоминается подпрограмма, созданная в "задании 2 к § 7". Так как содержание этой подпрограммы неизвестно, мы будем исходить из предположения, что она решала задачу проекции трёхмерных объектов на двумерный экран. В современном программировании для этого используются готовые графические библиотеки, которые инкапсулируют эту логику. Мы воспользуемся библиотекой matplotlib и её модулем для 3D-графики mplot3d.

Чтобы предусмотреть как можно больше вариантов расположения конуса, программа должна быть параметризована. Основные параметры, определяющие положение и форму конуса в пространстве:

• Размеры: радиус основания $R$ и высота $H$.
• Положение: координаты центра основания base_center = (x_c, y_c, z_c).
• Ориентация: вектор, задающий направление оси конуса от центра основания к вершине, axis_vector = (dx, dy, dz).

Программа ниже определяет функцию, которая принимает эти параметры и строит соответствующий конус. В основной части программы демонстрируется вызов этой функции с различными параметрами для отображения конусов в разных положениях и ориентациях.

Ответ:

import numpy as npimport matplotlib.pyplot as pltdef draw_cone_wireframe(ax, radius, height, base_center, axis_vector): "" Рисует каркасное изображение конуса в 3D. :param ax: Объект осей matplotlib 3D. :param radius: Радиус основания конуса. :param height: Высота конуса. :param base_center: Координаты центра основания (numpy array [x, y, z]). :param axis_vector: Вектор оси конуса от основания к вершине (numpy array [dx, dy, dz]). "" # Нормализуем вектор оси, чтобы его длина была равна 1 axis_vector_norm = axis_vector / np.linalg.norm(axis_vector) # Координаты вершины конуса apex = base_center + height * axis_vector_norm # Для построения окружности основания нам нужны два ортогональных вектора в плоскости основания. # Находим любой вектор, не коллинеарный оси конуса. not_axis = np.array([1, 0, 0]) if (axis_vector_norm == not_axis).all() or (axis_vector_norm == -not_axis).all(): not_axis = np.array([0, 1, 0]) # С помощью векторного произведения находим первый ортогональный вектор u u_vec = np.cross(axis_vector_norm, not_axis) u_vec /= np.linalg.norm(u_vec) # Второй ортогональный вектор v находим через еще одно векторное произведение v_vec = np.cross(axis_vector_norm, u_vec) # Генерируем точки на окружности основания в 3D t = np.linspace(0, 2 * np.pi, 100) base_circle_points = base_center + radius * np.outer(np.cos(t), u_vec) + radius * np.outer(np.sin(t), v_vec) # Рисуем основание (эллипс в проекции) ax.plot(base_circle_points[:, 0], base_circle_points[:, 1], base_circle_points[:, 2], color='blue') # Рисуем образующие num_generators = 12 t_gen = np.linspace(0, 2 * np.pi, num_generators, endpoint=False) generator_points_on_base = base_center + radius * np.outer(np.cos(t_gen), u_vec) + radius * np.outer(np.sin(t_gen), v_vec) for point in generator_points_on_base: ax.plot([apex[0], point[0]], [apex[1], point[1]], [apex[2], point[2]], color='gray', linestyle='--') # Рисуем ось конуса для наглядности ax.plot([base_center[0], apex[0]], [base_center[1], apex[1]], [base_center[2], apex[2]], color='red', linestyle=':') ax.scatter(apex[0], apex[1], apex[2], color='red', s=25, label='Вершина')# --- Основная часть программы для демонстрации различных вариантов ---fig = plt.figure(figsize=(14, 12))fig.suptitle('Примеры расположения каркаса конуса', fontsize=16)# Вариант 1: Стандартный конус, ось вдоль Zax1 = fig.add_subplot(2, 2, 1, projection='3d')ax1.set_title("Ось вдоль Z")draw_cone_wireframe(ax=ax1, radius=2, height=4, base_center=np.array([0, 0, 0]), axis_vector=np.array([0, 0, 1]))# Вариант 2: Конус смещен в пространстве, ось вдоль Yax2 = fig.add_subplot(2, 2, 2, projection='3d')ax2.set_title("Смещенный, ось вдоль Y")draw_cone_wireframe(ax=ax2, radius=1.5, height=3, base_center=np.array([2, 2, 1]), axis_vector=np.array([0, 1, 0]))# Вариант 3: Конус с произвольной ориентацией осиax3 = fig.add_subplot(2, 2, 3, projection='3d')ax3.set_title("Произвольная ориентация")draw_cone_wireframe(ax=ax3, radius=2.5, height=5, base_center=np.array([-1, -1, -1]), axis_vector=np.array([1, 1, 1]))# Вариант 4: "Лежащий на боку" конус, перевернутыйax4 = fig.add_subplot(2, 2, 4, projection='3d')ax4.set_title("Ось вдоль X (перевернут)")draw_cone_wireframe(ax=ax4, radius=3, height=4, base_center=np.array([4, 0, 0]), axis_vector=np.array([-1, 0, 0])) # Вектор направлен в отрицательную сторону X# Настройка общего вида графиковfor ax in [ax1, ax2, ax3, ax4]: ax.set_xlabel('X') ax.set_ylabel('Y') ax.set_zlabel('Z') ax.set_box_aspect([1,1,1]) # Равные масштабы по осям # Установка пределов для сопоставимости ax.set_xlim(-5, 5) ax.set_ylim(-5, 5) ax.set_zlim(-5, 5) ax.view_init(elev=20, azim=40) # Настраиваем угол обзораplt.tight_layout(rect=[0, 0, 1, 0.96])plt.show()