Номер 15, страница 226 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

§ 15 «Многогранники, описанные около сферы», § 16 --Тела вращения, описанные около сферы...

Проанализируйте задания, которые вы выполняли в предыдущих параграфах, и определите, какие аналогичные задачи вы можете решить для сферы и многогранников, конуса и цилиндра, вписанных в неё и описанных около неё.

Анализируя задачи из предыдущих параграфов, можно выделить следующие типы аналогичных задач для сферы и многогранников, конуса и цилиндра, вписанных в неё и описанных около неё.

Задачи для многогранников, вписанных в сферу и описанных около неё

Основной тип задач для данной комбинации тел — нахождение соотношений между их элементами, а также вычисление объемов и площадей поверхностей.

• Нахождение радиуса сферы по элементам многогранника: Даны тип правильного многогранника (например, куб, правильный тетраэдр) и длина его ребра $a$. Требуется найти радиус вписанной ($r$) или описанной ($R$) сферы.
  Пример для куба: Диагональ куба $d=a\sqrt{3}$ является диаметром описанной сферы, следовательно, $R = \frac{a\sqrt{3}}{2}$. Центр куба равноудален от его граней на расстояние $\frac{a}{2}$, поэтому $r = \frac{a}{2}$.
  Ответ: Задачи на определение радиуса вписанной/описанной сферы по известным параметрам многогранника.

• Нахождение объема и площади поверхности многогранника по радиусу сферы: Обратная задача, где по известному радиусу $R$ или $r$ требуется найти объем или площадь поверхности вписанного/описанного многогранника.
  Пример: Объем любого многогранника, описанного около сферы радиуса $r$, вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3} S_{полн} \cdot r$, где $S_{полн}$ — площадь полной поверхности многогранника.
  Ответ: Задачи на вычисление характеристик многогранника по радиусу вписанной/описанной сферы.

Задачи для конуса, вписанного в сферу и описанного около неё

Для конуса и сферы, помимо задач на нахождение элементов, характерны задачи на оптимизацию.

• Нахождение элементов конуса и сферы: По известному радиусу сферы и одному из элементов конуса (высота $H$, радиус основания $r_k$, образующая $l$) найти остальные элементы, а также объем или площадь поверхности.
  Решение: Задачи решаются рассмотрением осевого сечения, которое представляет собой равнобедренный треугольник, вписанный в окружность (для вписанного конуса) или описанный около неё (для описанного конуса). Используя геометрические соотношения (теорема Пифагора, подобие треугольников), устанавливается связь между параметрами. Например, для конуса, вписанного в сферу радиуса $R$, радиус его основания $r_k$ и высота $H$ связаны соотношением $r_k^2 = H(2R-H)$.
  Ответ: Задачи на вычисление параметров конуса и сферы через рассмотрение осевого сечения.

• Задачи на оптимизацию: Нахождение конуса с экстремальными характеристиками (наибольший объем, наименьшая площадь боковой поверхности и т.д.) среди всех конусов, вписанных в данную сферу или описанных около неё.
  Пример: Найти конус наибольшего объема, вписанный в сферу радиуса $R$.
  Решение: Объем конуса $V(H) = \frac{1}{3}\pi r_k^2 H = \frac{1}{3}\pi H(2RH-H^2)$. Задача сводится к нахождению максимума этой функции от переменной $H$ на интервале $(0, 2R)$ с помощью производной.
  Ответ: Оптимизационные задачи на нахождение конуса с максимальным/минимальным объемом или площадью поверхности.

Задачи для цилиндра, вписанного в сферу и описанного около неё

Аналогично конусу, для цилиндра решаются как задачи на вычисление, так и на оптимизацию.

• Нахождение элементов и их отношений: Вычисление параметров цилиндра, его объема и площади поверхности. Особый интерес представляют задачи на нахождение отношений объемов и площадей.
  Пример: Найти отношение объема шара к объему описанного около него цилиндра. Цилиндр, описанный около сферы радиуса $r$, должен быть равносторонним (высота $H=2r$, радиус основания $r_ц=r$). Тогда $\frac{V_{шара}}{V_{цил}} = \frac{\frac{4}{3}\pi r^3}{\pi r^2(2r)} = \frac{2}{3}$.
  Ответ: Задачи на вычисление характеристик цилиндра и их отношений к характеристикам сферы.

• Задачи на оптимизацию: Поиск цилиндра с наибольшим объемом или наибольшей площадью боковой/полной поверхности, вписанного в данную сферу.
  Пример: Найти цилиндр с наибольшей боковой поверхностью, вписанный в сферу радиуса $R$.
  Решение: Площадь боковой поверхности $S_{бок}(H) = 2\pi r_ц H$. Из осевого сечения $r_ц = \sqrt{R^2 - (H/2)^2}$. Задача сводится к нахождению максимума функции $S_{бок}(H) = 2\pi H \sqrt{R^2 - H^2/4}$ на интервале $(0, 2R)$ с помощью производной.
  Ответ: Оптимизационные задачи на нахождение цилиндра с максимальным/минимальным объемом или площадью поверхности.