Номер 12, страница 226 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

K § 12 «Сфера и шар. Уравнение сферы»

Напишите программу, которая по заданному уравнению сферы и заданной точке определяет, как расположена точка по отношению к сфере: вне сферы, принадлежит сфере или внутри сферы.

Для решения этой задачи необходимо использовать каноническое уравнение сферы и сравнить расстояние от центра сферы до заданной точки с радиусом сферы.

Уравнение сферы с центром в точке $C(x_0, y_0, z_0)$ и радиусом $R$ имеет вид:

$(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z - z_0)^2 = R^2$

Чтобы определить положение точки $P(x_1, y_1, z_1)$ относительно этой сферы, нужно найти расстояние от центра сферы $C$ до точки $P$. Точнее, для удобства вычислений и избежания извлечения квадратного корня, мы будем сравнивать квадрат этого расстояния $d^2$ с квадратом радиуса $R^2$.

Квадрат расстояния от центра сферы до точки вычисляется по формуле:

$d^2 = (x_1 - x_0)^2 + (y_1 - y_0)^2 + (z_1 - z_0)^2$

Далее возможны три случая:

• Если $d^2 < R^2$, то расстояние от точки до центра меньше радиуса. Это означает, что точка находится внутри сферы.
• Если $d^2 = R^2$, то расстояние от точки до центра равно радиусу. Это означает, что точка принадлежит сфере (лежит на ее поверхности).
• Если $d^2 > R^2$, то расстояние от точки до центра больше радиуса. Это означает, что точка находится вне сферы.

Ответ: Алгоритм заключается в сравнении квадрата расстояния от центра сферы до точки с квадратом радиуса сферы.

На основе вышеописанного алгоритма напишем программу. Программа будет запрашивать у пользователя координаты центра сферы, ее радиус, а также координаты точки для проверки.

def check_point_position(sphere_center, sphere_radius, point): "" Определяет положение точки относительно сферы. :param sphere_center: Кортеж (x0, y0, z0) с координатами центра сферы. :param sphere_radius: Радиус сферы R. :param point: Кортеж (x, y, z) с координатами проверяемой точки. :return: Строка с описанием положения точки. "" x0, y0, z0 = sphere_center x, y, z = point # Вычисляем квадрат расстояния от центра сферы до точки. # Это левая часть уравнения сферы, подставленная с координатами точки. distance_squared = (x - x0)**2 + (y - y0)**2 + (z - z0)**2 # Вычисляем квадрат радиуса. radius_squared = sphere_radius**2 # Сравниваем полученные значения согласно алгоритму. # Для сравнения вещественных чисел (float) лучше использовать # проверку на малое отклонение (epsilon), но для учебной задачи # прямое сравнение допустимо. if distance_squared < radius_squared: return "Точка находится внутри сферы." elif distance_squared == radius_squared: return "Точка принадлежит сфере." else: # distance_squared > radius_squared return "Точка находится вне сферы."# --- Основная часть программы для взаимодействия с пользователем ---if __name__ == "__main__": try: # Ввод данных для сферы print("Введите параметры сферы:") cx = float(input(" Координата x центра (x0): ")) cy = float(input(" Координата y центра (y0): ")) cz = float(input(" Координата z центра (z0): ")) radius = float(input(" Радиус сферы (R): ")) if radius <= 0: print("Ошибка: Радиус должен быть положительным числом.") else: # Ввод данных для точки print("\nВведите координаты точки для проверки:") px = float(input(" Координата x точки: ")) py = float(input(" Координата y точки: ")) pz = float(input(" Координата z точки: ")) # Упаковываем данные в кортежи center_coords = (cx, cy, cz) point_coords = (px, py, pz) # Вызов функции и вывод результата result = check_point_position(center_coords, radius, point_coords) print(f"\nРезультат: {result}") except ValueError: print("\nОшибка: Введено некорректное значение. Пожалуйста, вводите только числа.")

Пример работы программы:

Допустим, у нас есть сфера с центром в точке $(1, 2, 3)$ и радиусом $R=5$.

Введите параметры сферы:
Координата x центра (x0): 1
Координата y центра (y0): 2
Координата z центра (z0): 3
Радиус сферы (R): 5

Введите координаты точки для проверки:
Координата x точки: 4
Координата y точки: 6
Координата z точки: 3

Результат: Точка принадлежит сфере.

Проверка для примера: $d^2 = (4-1)^2 + (6-2)^2 + (3-3)^2 = 3^2 + 4^2 + 0^2 = 9 + 16 = 25$. Квадрат радиуса $R^2 = 5^2 = 25$. Так как $d^2 = R^2$, точка действительно принадлежит сфере.

Ответ: Выше представлена программа на языке Python, которая запрашивает у пользователя параметры сферы и координаты точки, а затем выводит положение точки относительно сферы.