Страница 226 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

К § 10 «Усечённый конус»

Напишите программу, которая для данного усечённого конуса строит его развёртку и вычисляет площадь его полной поверхности. Какие нужны входные параметры для описания усечённого конуса?

Для решения задачи необходимо определить минимальный набор параметров, однозначно задающих усеченный конус, вывести формулы для расчета площади его полной поверхности и описать алгоритм построения развертки.

Усеченный конус — это тело вращения, полученное вращением прямоугольной трапеции вокруг ее боковой стороны, перпендикулярной основаниям. Для его однозначного описания достаточно трех параметров. Наиболее удобным набором являются:

• $R$ — радиус большего (нижнего) основания;
• $r$ — радиус меньшего (верхнего) основания;
• $h$ — высота усеченного конуса.

Альтернативно, можно использовать радиусы $R$ и $r$ и образующую $l$, но высота $h$ является более интуитивным параметром при построении. Зная $R, r, h$, всегда можно найти образующую $l$ по теореме Пифагора для прямоугольной трапеции в осевом сечении: $l = \sqrt{h^2 + (R-r)^2}$.

Ответ: Для описания усеченного конуса необходимы три входных параметра: радиус большего основания ($R$), радиус меньшего основания ($r$) и высота ($h$).

Площадь полной поверхности усеченного конуса ($S_{полн}$) складывается из площадей двух оснований (верхнего и нижнего) и площади боковой поверхности.

1. Площадь нижнего основания ($S_{нижн}$) — это площадь круга радиусом $R$: $S_{нижн} = \pi R^2$.
2. Площадь верхнего основания ($S_{верхн}$) — это площадь круга радиусом $r$: $S_{верхн} = \pi r^2$.
3. Площадь боковой поверхности ($S_{бок}$) вычисляется по формуле: $S_{бок} = \pi (R+r)l$, где $l$ — длина образующей.

Образующую $l$ находим из высоты $h$ и радиусов $R$ и $r$:

$l = \sqrt{h^2 + (R-r)^2}$

Итоговая формула для площади полной поверхности:

$S_{полн} = S_{нижн} + S_{верхн} + S_{бок} = \pi R^2 + \pi r^2 + \pi (R+r)l$

Подставляя выражение для $l$, получаем окончательную формулу через входные параметры:

$S_{полн} = \pi R^2 + \pi r^2 + \pi (R+r)\sqrt{h^2 + (R-r)^2}$

Ответ: Площадь полной поверхности усеченного конуса вычисляется по формуле $S_{полн} = \pi (R^2 + r^2 + (R+r)\sqrt{h^2 + (R-r)^2})$.

Развертка усеченного конуса состоит из трех частей:

• Два круга: один радиусом $R$ (нижнее основание) и второй радиусом $r$ (верхнее основание).
• Часть кольца (сектор кольца), которая является разверткой боковой поверхности.

Для построения сектора кольца нужно определить его параметры: внешний радиус $L$, внутренний радиус $L_1$ и центральный угол $\alpha$. Эти параметры соответствуют образующим полного конуса, из которого получен усеченный.

Рассмотрим осевое сечение. Из подобия треугольников получаем соотношение:

$\frac{L_1}{r} = \frac{L}{R} = \frac{L-L_1}{R-r}$

Так как $l = L - L_1$, то $L = l \frac{R}{R-r}$ и $L_1 = l \frac{r}{R-r}$. (Эти формулы не работают, если $R=r$, т.е. для цилиндра, этот случай нужно обработать отдельно).

Угол сектора $\alpha$ (в радианах) находится из условия, что длина дуги внешнего радиуса $L$ должна быть равна длине окружности нижнего основания конуса ($2\pi R$):

$\alpha L = 2\pi R \implies \alpha = \frac{2\pi R}{L} = \frac{2\pi(R-r)}{l}$

Таким образом, программа должна выполнять следующие шаги:

1. Получить на вход значения $R, r, h$.
2. Проверить корректность ввода ($R > 0, r > 0, h > 0, R \ge r$).
3. Вычислить образующую усеченного конуса: $l = \sqrt{h^2 + (R-r)^2}$.
4. Вычислить площадь полной поверхности по формуле: $S_{полн} = \pi (R^2 + r^2 + (R+r)l)$.
5. Вычислить параметры для построения развертки:
   • Радиусы кругов-оснований: $R$ и $r$.
   • Если $R=r$ (цилиндр), то боковая поверхность - это прямоугольник со сторонами $h$ и $2\pi R$.
   • Если $R>r$, вычислить параметры сектора кольца:
     • Внешний радиус: $L = l \cdot R / (R-r)$.
     • Внутренний радиус: $L_1 = l \cdot r / (R-r)$.
     • Угол сектора в радианах: $\alpha = 2\pi(R-r)/l$.
6. Вывести рассчитанную площадь и параметры для построения развертки.

Пример реализации на языке Python:

import mathdef calculate_truncated_cone(R, r, h): # Проверка на корректность входных данных if R <= 0 or r <= 0 or h <= 0 or R < r: print("Ошибка: неверные параметры. R и r должны быть больше 0, R должен быть >= r.") return # 1. Вычисление образующей l = math.sqrt(h**2 + (R - r)**2) # 2. Вычисление площади полной поверхности S_base1 = math.pi * R**2 S_base2 = math.pi * r**2 S_lateral = math.pi * (R + r) * l S_total = S_base1 + S_base2 + S_lateral print(f"--- Результаты для усеченного конуса (R={R}, r={r}, h={h}) ---") print(f"Образующая (l): {l:.4f}") print(f"Площадь полной поверхности (S_полн): {S_total:.4f}") print("\n--- Параметры для построения развёртки ---") print(f"1. Нижнее основание: круг радиусом {R}") print(f"2. Верхнее основание: круг радиусом {r}") # 3. Параметры боковой поверхности if R == r: # Это цилиндр print("3. Боковая поверхность: прямоугольник со сторонами " \ f"{h:.4f} (высота) и {2 * math.pi * R:.4f} (длина окружности основания)") else: # Это усеченный конус L_full = l * R / (R - r) L_cut = l * r / (R - r) alpha_rad = 2 * math.pi * (R - r) / l alpha_deg = math.degrees(alpha_rad) print("3. Боковая поверхность: сектор кольца со следующими параметрами:") print(f" - Внешний радиус (образующая полного конуса L): {L_full:.4f}") print(f" - Внутренний радиус (образующая отсеченного конуса L1): {L_cut:.4f}") print(f" - Угол сектора (alpha): {alpha_rad:.4f} радиан ({alpha_deg:.2f} градусов)")# Пример вызова функцииcalculate_truncated_cone(R=6, r=3, h=4)

Ответ: Программа должна запрашивать у пользователя радиусы оснований $R$ и $r$ и высоту $h$, затем по приведенным выше формулам вычислять площадь полной поверхности, а также параметры для графического построения развертки (радиусы двух кругов и параметры сектора кольца: внешний и внутренний радиусы и угол), после чего выводить эти данные пользователю.

K § 11 «Комбинации конуса и пирамиды»

Проанализируйте, из каких графических элементов состоит изображение конуса (усечённого конуса), вписанной в него и описанной около него пирамиды (усечённой пирамиды). Сделайте выводы о том, какая информация нужна для построения этих изображений на экране компьютера.

Анализ графических элементов, из которых состоит изображение

Изображения комбинаций конуса и пирамиды (в том числе усеченных) на плоскости (экране компьютера) состоят из базовых графических примитивов — отрезков и эллипсов (которые являются проекциями окружностей). Конкретный набор элементов зависит от фигуры:

• Конус: Изображение состоит из одного эллипса, представляющего собой проекцию круга в основании, и двух отрезков (образующих), которые являются касательными к эллипсу и сходятся в одной точке — вершине конуса. Часть эллипса, находящаяся за образующими (дальняя от наблюдателя), обычно изображается штриховой линией для наглядности.
• Усеченный конус: Изображение состоит из двух эллипсов разного размера (проекции верхнего и нижнего оснований) и двух отрезков (образующих), которые являются общими внешними касательными к этим эллипсам. Части обоих эллипсов, невидимые для наблюдателя, изображаются штриховыми линиями.
• Пирамида, вписанная в конус: К изображению конуса добавляется изображение пирамиды. Ее основание — это многоугольник, вершины которого лежат на эллипсе-основании конуса. Боковые ребра — это отрезки, соединяющие вершины этого многоугольника с вершиной конуса. Видимые и невидимые ребра и стороны основания изображаются сплошными и штриховыми линиями соответственно.
• Пирамида, описанная около конуса: К изображению конуса добавляется изображение пирамиды. Ее основание — это многоугольник, стороны которого касаются эллипса-основания конуса. Боковые ребра соединяют вершины многоугольника с вершиной конуса.
• Усеченная пирамида, вписанная в усеченный конус: К изображению усеченного конуса добавляется изображение усеченной пирамиды. Ее основаниями являются два подобных многоугольника, вершины которых лежат на эллипсах верхнего и нижнего оснований конуса. Боковые ребра — это отрезки, соединяющие соответствующие вершины этих многоугольников.
• Усеченная пирамида, описанная около усеченного конуса: К изображению усеченного конуса добавляется изображение усеченной пирамиды. Ее основаниями являются два подобных многоугольника, стороны которых касаются эллипсов верхнего и нижнего оснований конуса. Боковые ребра соединяют соответствующие вершины оснований.

Ответ: Изображения указанных геометрических тел состоят из комбинаций графических примитивов: эллипсов (для оснований конусов) и отрезков (для образующих конусов и ребер пирамид).

Выводы о том, какая информация нужна для построения этих изображений на экране компьютера

Для построения 3D-модели геометрического тела и последующего его проецирования на 2D-экран компьютера необходима следующая информация, задающая фигуру в трехмерном пространстве и параметры вида:

• Для конуса:
  1. Координаты центра основания: $O(x_c, y_c, z_c)$.
  2. Радиус основания: $R$.
  3. Высота конуса: $H$.
  4. Вектор нормали к плоскости основания, задающий ориентацию конуса в пространстве. Обычно для простоты ось конуса совмещают с одной из координатных осей (например, OZ).
• Для усеченного конуса:
  1. Координаты центра нижнего основания: $O_1(x_1, y_1, z_1)$.
  2. Радиус нижнего основания: $R$.
  3. Радиус верхнего основания: $r$, где $r < R$.
  4. Высота усеченного конуса: $H$.
  5. Вектор оси.
• Для пирамиды, вписанной в конус или описанной около него:
  1. Параметры конуса ($O, R, H$), в который вписывается или около которого описывается пирамида.
  2. Количество сторон многоугольника в основании пирамиды: $n$.
  3. Параметры ориентации основания пирамиды (например, угол поворота относительно оси или координаты одной из вершин). Это определяет положение всех остальных вершин на окружности основания конуса (для вписанной) или положение касательных (для описанной).
• Для усеченной пирамиды (вписанной или описанной):
  1. Параметры усеченного конуса ($O_1, R, r, H$).
  2. Количество сторон многоугольников в основаниях пирамиды: $n$.
  3. Параметры ориентации оснований. Ориентация верхнего и нижнего оснований должна быть согласована, чтобы боковые ребра соединяли соответствующие вершины.

Кроме того, для получения двумерного изображения на экране необходимо задать параметры проекции: положение наблюдателя (камеры), направление взгляда и тип проекции (чаще всего — перспективная), которые определяют, как трехмерные объекты будут преобразованы в двумерное изображение, включая ракурсы и видимость тех или иных элементов.

Ответ: Для построения изображений на компьютере необходимо задать геометрические параметры фигур (координаты центров, радиусы, высоты, количество вершин оснований пирамид, их ориентацию) и параметры камеры/проекции для преобразования 3D-модели в 2D-изображение.

K § 12 «Сфера и шар. Уравнение сферы»

Напишите программу, которая по заданному уравнению сферы и заданной точке определяет, как расположена точка по отношению к сфере: вне сферы, принадлежит сфере или внутри сферы.

Для решения этой задачи необходимо использовать каноническое уравнение сферы и сравнить расстояние от центра сферы до заданной точки с радиусом сферы.

Уравнение сферы с центром в точке $C(x_0, y_0, z_0)$ и радиусом $R$ имеет вид:

$(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z - z_0)^2 = R^2$

Чтобы определить положение точки $P(x_1, y_1, z_1)$ относительно этой сферы, нужно найти расстояние от центра сферы $C$ до точки $P$. Точнее, для удобства вычислений и избежания извлечения квадратного корня, мы будем сравнивать квадрат этого расстояния $d^2$ с квадратом радиуса $R^2$.

Квадрат расстояния от центра сферы до точки вычисляется по формуле:

$d^2 = (x_1 - x_0)^2 + (y_1 - y_0)^2 + (z_1 - z_0)^2$

Далее возможны три случая:

• Если $d^2 < R^2$, то расстояние от точки до центра меньше радиуса. Это означает, что точка находится внутри сферы.
• Если $d^2 = R^2$, то расстояние от точки до центра равно радиусу. Это означает, что точка принадлежит сфере (лежит на ее поверхности).
• Если $d^2 > R^2$, то расстояние от точки до центра больше радиуса. Это означает, что точка находится вне сферы.

Ответ: Алгоритм заключается в сравнении квадрата расстояния от центра сферы до точки с квадратом радиуса сферы.

На основе вышеописанного алгоритма напишем программу. Программа будет запрашивать у пользователя координаты центра сферы, ее радиус, а также координаты точки для проверки.

def check_point_position(sphere_center, sphere_radius, point): "" Определяет положение точки относительно сферы. :param sphere_center: Кортеж (x0, y0, z0) с координатами центра сферы. :param sphere_radius: Радиус сферы R. :param point: Кортеж (x, y, z) с координатами проверяемой точки. :return: Строка с описанием положения точки. "" x0, y0, z0 = sphere_center x, y, z = point # Вычисляем квадрат расстояния от центра сферы до точки. # Это левая часть уравнения сферы, подставленная с координатами точки. distance_squared = (x - x0)**2 + (y - y0)**2 + (z - z0)**2 # Вычисляем квадрат радиуса. radius_squared = sphere_radius**2 # Сравниваем полученные значения согласно алгоритму. # Для сравнения вещественных чисел (float) лучше использовать # проверку на малое отклонение (epsilon), но для учебной задачи # прямое сравнение допустимо. if distance_squared < radius_squared: return "Точка находится внутри сферы." elif distance_squared == radius_squared: return "Точка принадлежит сфере." else: # distance_squared > radius_squared return "Точка находится вне сферы."# --- Основная часть программы для взаимодействия с пользователем ---if __name__ == "__main__": try: # Ввод данных для сферы print("Введите параметры сферы:") cx = float(input(" Координата x центра (x0): ")) cy = float(input(" Координата y центра (y0): ")) cz = float(input(" Координата z центра (z0): ")) radius = float(input(" Радиус сферы (R): ")) if radius <= 0: print("Ошибка: Радиус должен быть положительным числом.") else: # Ввод данных для точки print("\nВведите координаты точки для проверки:") px = float(input(" Координата x точки: ")) py = float(input(" Координата y точки: ")) pz = float(input(" Координата z точки: ")) # Упаковываем данные в кортежи center_coords = (cx, cy, cz) point_coords = (px, py, pz) # Вызов функции и вывод результата result = check_point_position(center_coords, radius, point_coords) print(f"\nРезультат: {result}") except ValueError: print("\nОшибка: Введено некорректное значение. Пожалуйста, вводите только числа.")

Пример работы программы:

Допустим, у нас есть сфера с центром в точке $(1, 2, 3)$ и радиусом $R=5$.

Введите параметры сферы:
Координата x центра (x0): 1
Координата y центра (y0): 2
Координата z центра (z0): 3
Радиус сферы (R): 5

Введите координаты точки для проверки:
Координата x точки: 4
Координата y точки: 6
Координата z точки: 3

Результат: Точка принадлежит сфере.

Проверка для примера: $d^2 = (4-1)^2 + (6-2)^2 + (3-3)^2 = 3^2 + 4^2 + 0^2 = 9 + 16 = 25$. Квадрат радиуса $R^2 = 5^2 = 25$. Так как $d^2 = R^2$, точка действительно принадлежит сфере.

Ответ: Выше представлена программа на языке Python, которая запрашивает у пользователя параметры сферы и координаты точки, а затем выводит положение точки относительно сферы.

К § 13 «Взаимное расположение сферы и плоскости»

Напишите программу, которая по заданным уравнениям сферы и плоскости строит на экране компьютера изображение сферы и ГМТ пересечения сферы и плоскости.

Для решения этой задачи необходимо сначала разобрать математическую основу, затем составить алгоритм программы, и, наконец, реализовать его на языке программирования с использованием библиотеки для построения графиков. В качестве примера будет использован Python с библиотеками NumPy для вычислений и Matplotlib для 3D-визуализации.

1. Математическая основа

Взаимное расположение сферы и плоскости определяется расстоянием от центра сферы до плоскости.

Пусть уравнение сферы задано как:

$(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z - z_0)^2 = R^2$

где $C(x_0, y_0, z_0)$ — центр сферы, а $R$ — её радиус.

Уравнение плоскости задано как:

$Ax + By + Cz + D = 0$

где вектор нормали к плоскости $\vec{n} = (A, B, C)$.

Расстояние $d$ от центра сферы $C(x_0, y_0, z_0)$ до плоскости вычисляется по формуле:

$d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$

Возможны три случая:

1. Если $d > R$, плоскость и сфера не пересекаются.
2. Если $d = R$, плоскость касается сферы в одной точке. Эта точка является основанием перпендикуляра, опущенного из центра сферы на плоскость.
3. Если $d < R$, плоскость пересекает сферу. Геометрическое место точек (ГМТ) пересечения — это окружность.

В случае пересечения ( $d < R$ ) нам нужно найти параметры этой окружности:

• Центр окружности $C'$: Это проекция центра сферы $C$ на плоскость. Его координаты можно найти, сдвинувшись от точки $C$ вдоль вектора нормали $\vec{n}$ на расстояние $d$. Направление сдвига определяется знаком выражения $Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D$. Координаты центра окружности $C'(x_c, y_c, z_c)$ вычисляются так:
  $t = \frac{Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D}{A^2 + B^2 + C^2}$
  $x_c = x_0 - t \cdot A$
  $y_c = y_0 - t \cdot B$
  $z_c = z_0 - t \cdot C$
• Радиус окружности $r$: Его можно найти по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника, образованного радиусом сферы $R$, расстоянием $d$ и радиусом сечения $r$.
  $r = \sqrt{R^2 - d^2}$

2. Алгоритм программы

1. Задать параметры сферы (координаты центра $x_0, y_0, z_0$ и радиус $R$) и плоскости (коэффициенты $A, B, C, D$).
2. Вычислить расстояние $d$ от центра сферы до плоскости.
3. Построить 3D-график.
4. Нарисовать сферу. Для этого можно использовать параметрическое задание в сферических координатах.
5. Нарисовать плоскость. Для этого можно создать сетку (meshgrid) по осям X и Y, а для каждой точки сетки вычислить соответствующую координату Z из уравнения плоскости.
6. Проверить условие пересечения:
   • Если $d < R$, то вычислить параметры окружности сечения (центр $C'$ и радиус $r$).
   • Для построения окружности в 3D пространстве нужно задать её параметрически. Для этого необходимо найти два ортогональных единичных вектора $\vec{u}$ и $\vec{v}$, лежащих в секущей плоскости. Их можно получить, например, через векторное произведение вектора нормали $\vec{n}$ с одним из базисных векторов (если они не коллинеарны).
   • Точки окружности задаются уравнением: $P(\theta) = C' + r \cdot \cos(\theta) \cdot \vec{u} + r \cdot \sin(\theta) \cdot \vec{v}$, где $\theta$ изменяется от $0$ до $2\pi$.
   • Нарисовать полученную окружность.
   • Если $d = R$, вычислить координаты точки касания и отметить её на графике.
   • Если $d > R$, вывести сообщение об отсутствии пересечения.
7. Настроить и отобразить график.

3. Пример реализации на Python

Ниже приведен код, реализующий данный алгоритм.

import numpy as npimport matplotlib.pyplot as plt# --- 1. Входные данные ---# Параметры сферы: центр (x0, y0, z0) и радиус Rsphere_center = np.array([2, 3, 4])sphere_radius = 5.0# Параметры плоскости: Ax + By + Cz + D = 0# Вектор нормали (A, B, C) и смещение Dplane_normal = np.array([1, 1, 1])plane_d_coeff = -12 # D в уравнении Ax+By+Cz+D=0# --- 2. Математические вычисления ---# Расстояние от центра сферы до плоскостиA, B, C = plane_normalx0, y0, z0 = sphere_centerdistance = (np.abs(A*x0 + B*y0 + C*z0 + plane_d_coeff) / np.sqrt(A**2 + B**2 + C**2))# --- 3. Построение ---fig = plt.figure(figsize=(10, 8))ax = fig.add_subplot(111, projection='3d')# Построение сферыu = np.linspace(0, 2 * np.pi, 100)v = np.linspace(0, np.pi, 100)x_sphere = sphere_center[0] + sphere_radius * np.outer(np.cos(u), np.sin(v))y_sphere = sphere_center[1] + sphere_radius * np.outer(np.sin(u), np.sin(v))z_sphere = sphere_center[2] + sphere_radius * np.outer(np.ones(np.size(u)), np.cos(v))ax.plot_surface(x_sphere, y_sphere, z_sphere, color='b', alpha=0.2, rstride=5, cstride=5)# Построение плоскостиx_plane = np.linspace(-5, 10, 50)y_plane = np.linspace(-5, 10, 50)X_plane, Y_plane = np.meshgrid(x_plane, y_plane)Z_plane = (-A * X_plane - B * Y_plane - plane_d_coeff) / Cax.plot_surface(X_plane, Y_plane, Z_plane, color='g', alpha=0.3)# Построение ГМТ пересеченияif distance > sphere_radius: print("Сфера и плоскость не пересекаются.") title = "Нет пересечения"elif distance == sphere_radius: print("Сфера и плоскость касаются в одной точке.") # Координаты точки касания t = (A*x0 + B*y0 + C*z0 + plane_d_coeff) / (A**2 + B**2 + C**2) touch_point = sphere_center - t * plane_normal ax.scatter(*touch_point, color='r', s=100, label='Точка касания') title = "Касание в одной точке"else: # distance < sphere_radius print("Плоскость пересекает сферу по окружности.") # Радиус окружности сечения circle_radius = np.sqrt(sphere_radius**2 - distance**2) # Центр окружности сечения t = (A*x0 + B*y0 + C*z0 + plane_d_coeff) / (A**2 + B**2 + C**2) circle_center = sphere_center - t * plane_normal # Находим базисные векторы для плоскости окружности # Первый вектор u_vec if A != 0 or B != 0: u_vec_unnormalized = np.array([-B, A, 0]) else: # нормаль (0, 0, C) u_vec_unnormalized = np.array([1, 0, 0]) u_vec = u_vec_unnormalized / np.linalg.norm(u_vec_unnormalized) # Второй вектор v_vec (ортогональный u_vec и нормали) v_vec = np.cross(plane_normal, u_vec) v_vec = v_vec / np.linalg.norm(v_vec) # Параметризуем окружность theta = np.linspace(0, 2 * np.pi, 100) circle_points = (circle_center[:, np.newaxis] + circle_radius * np.cos(theta) * u_vec[:, np.newaxis] + circle_radius * np.sin(theta) * v_vec[:, np.newaxis]) ax.plot(circle_points[0,:], circle_points[1,:], circle_points[2,:], color='r', linewidth=3, label='Окружность пересечения') ax.scatter(*circle_center, color='k', s=50, label='Центр окружности') title = f"Пересечение по окружности (r={circle_radius:.2f})"# Настройка видаax.set_xlabel('Ось X')ax.set_ylabel('Ось Y')ax.set_zlabel('Ось Z')ax.set_title(title)ax.set_aspect('equal')plt.legend()plt.show()

4. Объяснение кода

• Блок 1 (Входные данные): Здесь определяются параметры сферы и плоскости. Их можно изменять для визуализации различных случаев.
• Блок 2 (Математические вычисления): Рассчитывается расстояние $d$ от центра сферы до плоскости по приведенной выше формуле. Это ключевой параметр, определяющий тип пересечения.
• Блок 3 (Построение):
  • Создается объект 3D-графика с помощью matplotlib.
  • Сфера строится с помощью функции plot_surface. Её точки генерируются на основе параметрического уравнения в сферических координатах. alpha отвечает за прозрачность.
  • Плоскость также строится с помощью plot_surface. Создается сетка в плоскости XY (meshgrid), и для каждой точки вычисляется координата Z, чтобы точка принадлежала плоскости.
  • ГМТ пересечения:
    - В условном операторе if/elif/else происходит проверка соотношения расстояния distance и радиуса sphere_radius.
    - В случае пересечения ($d < R$) вычисляются радиус и центр окружности. Затем создаются два ортогональных вектора u_vec и v_vec, лежащие в секущей плоскости. Они образуют базис, в котором легко задать уравнение окружности.
    - Точки окружности генерируются в цикле по углу $\theta$ и наносятся на график с помощью функции plot.
  • Настройка вида: Добавляются подписи осей, заголовок, легенда и устанавливается равный масштаб по осям (ax.set_aspect('equal')), чтобы сфера не выглядела как эллипсоид.

Ответ: Программа, написанная на языке Python с использованием библиотек NumPy и Matplotlib, позволяет наглядно визуализировать сферу, плоскость и их геометрическое место точек пересечения (окружность, точку или пустое множество) на основе заданных уравнений. Ключевыми этапами являются вычисление расстояния от центра сферы до плоскости и, в случае пересечения, нахождение параметров (центра и радиуса) окружности сечения для её последующего параметрического построения в 3D-пространстве.

K § 14 «Многогранники, вписанные в сферу», S. 15. Многогранники, описанные около сферы.

Проанализируйте задания, которые вы выполняли в предыдущих параграфах, и определите, какие аналогичные задачи вы можете решить для сферы и многогранников, конуса и цилиндра, вписанных в неё и описанных около неё.

Анализируя задачи, связанные с многоугольниками и окружностями (вписанными и описанными) в планиметрии, можно выделить несколько типов аналогичных задач для пространственных тел: сферы, многогранников, конусов и цилиндров. Эти задачи, как правило, сводятся к рассмотрению плоских сечений, в которых применяются уже известные планиметрические факты.

Основные типы задач, которые можно решать для комбинаций этих тел:

• Задачи на нахождение линейных размеров: определение радиуса сферы по известным размерам тела (и наоборот), нахождение высоты, ребра, радиуса основания и других элементов тела по радиусу сферы.
• Задачи на нахождение площадей и объемов: вычисление площади поверхности и объема одного тела, если известны параметры другого.
• Задачи на нахождение отношений: вычисление отношений объемов или площадей поверхностей тел.
• Задачи на оптимизацию: нахождение тела с наибольшим/наименьшим объемом или площадью поверхности, которое можно вписать в данную сферу или описать около нее.
• Задачи на определение условий: выяснение, при каких условиях можно вписать сферу в тело или описать сферу около него.

Рассмотрим эти типы задач на конкретных примерах для различных комбинаций тел.

Многогранники и сфера

1. Многогранник, вписанный в сферу (сфера описана около многогранника)

В этом случае все вершины многогранника лежат на поверхности сферы. Центр описанной сферы равноудален от всех вершин многогранника.

Пример задачи: Найти радиус $R$ сферы, описанной около куба с ребром $a$.

Решение: Центр сферы, описанной около куба, совпадает с центром куба – точкой пересечения его диагоналей. Диаметр сферы равен диагонали куба. Диагональ $d$ куба с ребром $a$ находится по формуле $d = \sqrt{a^2 + a^2 + a^2} = a\sqrt{3}$. Радиус сферы равен половине диагонали.

Ответ: $R = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.

2. Многогранник, описанный около сферы (сфера вписана в многогранник)

В этом случае все грани многогранника касаются поверхности сферы. Центр вписанной сферы равноудален от всех граней многогранника.

Пример задачи: Найти радиус $r$ сферы, вписанной в правильную четырехугольную пирамиду, сторона основания которой равна $a$, а высота – $H$.

Решение: Центр вписанной сферы лежит на высоте пирамиды. Задача сводится к планиметрической: нужно рассмотреть осевое сечение пирамиды, проходящее через апофему. Это сечение представляет собой равнобедренный треугольник, в который вписана окружность (большой круг сферы). Радиус этой окружности и есть искомый радиус сферы. Апофема основания равна $m = a/2$. Апофема боковой грани $L = \sqrt{H^2 + (a/2)^2}$. Радиус вписанной в треугольник окружности находится по формуле $r = \frac{S}{p}$, где $S$ – площадь треугольника, $p$ – его полупериметр. $S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot H$, $p = \frac{a + 2L}{2}$.

Ответ: $r = \frac{aH}{a + 2\sqrt{H^2 + a^2/4}} = \frac{aH}{a + \sqrt{4H^2 + a^2}}$.

Цилиндр и сфера

1. Цилиндр, вписанный в сферу

Окружности оснований цилиндра лежат на поверхности сферы.

Пример задачи: Найти объем цилиндра с высотой $h$, вписанного в сферу радиуса $R$.

Решение: Рассматриваем осевое сечение, которое представляет собой прямоугольник, вписанный в окружность радиуса $R$. Высота прямоугольника равна $h$, а ширина – $2r_{ц}$, где $r_{ц}$ – радиус основания цилиндра. Диагональ прямоугольника является диаметром окружности, то есть $2R$. По теореме Пифагора для половины прямоугольника: $R^2 = r_{ц}^2 + (\frac{h}{2})^2$. Отсюда находим квадрат радиуса основания цилиндра: $r_{ц}^2 = R^2 - \frac{h^2}{4}$. Объем цилиндра $V = \pi r_{ц}^2 h = \pi (R^2 - \frac{h^2}{4}) h$.

Ответ: $V = \pi h (R^2 - \frac{h^2}{4})$.

2. Цилиндр, описанный около сферы

Сфера касается обоих оснований цилиндра и его боковой поверхности. Такой цилиндр называется равносторонним.

Пример задачи: Найти отношение объема сферы к объему описанного около нее цилиндра.

Решение: Если сфера радиуса $R$ вписана в цилиндр, то радиус основания цилиндра равен $R$, а высота цилиндра равна диаметру сферы, то есть $2R$.
Объем сферы: $V_{сф} = \frac{4}{3}\pi R^3$.
Объем цилиндра: $V_{ц} = \pi r_{ц}^2 h_{ц} = \pi R^2 (2R) = 2\pi R^3$.
Отношение объемов: $\frac{V_{сф}}{V_{ц}} = \frac{\frac{4}{3}\pi R^3}{2\pi R^3} = \frac{4/3}{2} = \frac{2}{3}$.

Ответ: Отношение объемов равно $2:3$.

Конус и сфера

1. Конус, вписанный в сферу

Вершина конуса и окружность его основания лежат на поверхности сферы.

Пример задачи: Конус, радиус основания которого $r$, а высота $h$, вписан в сферу. Найти радиус сферы $R$.

Решение: Рассматриваем осевое сечение – равнобедренный треугольник, вписанный в окружность. Пусть центр сферы $O$ лежит на высоте конуса $SH$. В прямоугольном треугольнике, образованном радиусом сферы $R$ (гипотенуза), радиусом основания конуса $r$ (катет) и расстоянием от центра сферы до основания конуса $|h-R|$ (второй катет), по теореме Пифагора имеем: $R^2 = r^2 + (h-R)^2$. Раскрываем скобки: $R^2 = r^2 + h^2 - 2hR + R^2$. Отсюда $2hR = r^2 + h^2$.

Ответ: $R = \frac{r^2+h^2}{2h}$.

2. Конус, описанный около сферы

Сфера касается основания конуса и всех его образующих.

Пример задачи: Найти радиус $R$ сферы, вписанной в конус с радиусом основания $r$ и высотой $h$.

Решение: Задача сводится к нахождению радиуса окружности, вписанной в осевое сечение конуса – равнобедренный треугольник. Основание этого треугольника равно $2r$, высота $h$. Образующая конуса $l = \sqrt{h^2+r^2}$ является боковой стороной треугольника. Радиус вписанной окружности (и сферы) находится по формуле $R = \frac{S}{p}$, где $S$ – площадь треугольника, $p$ – его полупериметр.
$S = \frac{1}{2} \cdot (2r) \cdot h = rh$.
$p = \frac{2r + 2l}{2} = r+l = r+\sqrt{h^2+r^2}$.

Ответ: $R = \frac{rh}{r+\sqrt{h^2+r^2}}$.

§ 15 «Многогранники, описанные около сферы», § 16 --Тела вращения, описанные около сферы...

Проанализируйте задания, которые вы выполняли в предыдущих параграфах, и определите, какие аналогичные задачи вы можете решить для сферы и многогранников, конуса и цилиндра, вписанных в неё и описанных около неё.

Анализируя задачи из предыдущих параграфов, можно выделить следующие типы аналогичных задач для сферы и многогранников, конуса и цилиндра, вписанных в неё и описанных около неё.

Задачи для многогранников, вписанных в сферу и описанных около неё

Основной тип задач для данной комбинации тел — нахождение соотношений между их элементами, а также вычисление объемов и площадей поверхностей.

• Нахождение радиуса сферы по элементам многогранника: Даны тип правильного многогранника (например, куб, правильный тетраэдр) и длина его ребра $a$. Требуется найти радиус вписанной ($r$) или описанной ($R$) сферы.
  Пример для куба: Диагональ куба $d=a\sqrt{3}$ является диаметром описанной сферы, следовательно, $R = \frac{a\sqrt{3}}{2}$. Центр куба равноудален от его граней на расстояние $\frac{a}{2}$, поэтому $r = \frac{a}{2}$.
  Ответ: Задачи на определение радиуса вписанной/описанной сферы по известным параметрам многогранника.

• Нахождение объема и площади поверхности многогранника по радиусу сферы: Обратная задача, где по известному радиусу $R$ или $r$ требуется найти объем или площадь поверхности вписанного/описанного многогранника.
  Пример: Объем любого многогранника, описанного около сферы радиуса $r$, вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3} S_{полн} \cdot r$, где $S_{полн}$ — площадь полной поверхности многогранника.
  Ответ: Задачи на вычисление характеристик многогранника по радиусу вписанной/описанной сферы.

Задачи для конуса, вписанного в сферу и описанного около неё

Для конуса и сферы, помимо задач на нахождение элементов, характерны задачи на оптимизацию.

• Нахождение элементов конуса и сферы: По известному радиусу сферы и одному из элементов конуса (высота $H$, радиус основания $r_k$, образующая $l$) найти остальные элементы, а также объем или площадь поверхности.
  Решение: Задачи решаются рассмотрением осевого сечения, которое представляет собой равнобедренный треугольник, вписанный в окружность (для вписанного конуса) или описанный около неё (для описанного конуса). Используя геометрические соотношения (теорема Пифагора, подобие треугольников), устанавливается связь между параметрами. Например, для конуса, вписанного в сферу радиуса $R$, радиус его основания $r_k$ и высота $H$ связаны соотношением $r_k^2 = H(2R-H)$.
  Ответ: Задачи на вычисление параметров конуса и сферы через рассмотрение осевого сечения.

• Задачи на оптимизацию: Нахождение конуса с экстремальными характеристиками (наибольший объем, наименьшая площадь боковой поверхности и т.д.) среди всех конусов, вписанных в данную сферу или описанных около неё.
  Пример: Найти конус наибольшего объема, вписанный в сферу радиуса $R$.
  Решение: Объем конуса $V(H) = \frac{1}{3}\pi r_k^2 H = \frac{1}{3}\pi H(2RH-H^2)$. Задача сводится к нахождению максимума этой функции от переменной $H$ на интервале $(0, 2R)$ с помощью производной.
  Ответ: Оптимизационные задачи на нахождение конуса с максимальным/минимальным объемом или площадью поверхности.

Задачи для цилиндра, вписанного в сферу и описанного около неё

Аналогично конусу, для цилиндра решаются как задачи на вычисление, так и на оптимизацию.

• Нахождение элементов и их отношений: Вычисление параметров цилиндра, его объема и площади поверхности. Особый интерес представляют задачи на нахождение отношений объемов и площадей.
  Пример: Найти отношение объема шара к объему описанного около него цилиндра. Цилиндр, описанный около сферы радиуса $r$, должен быть равносторонним (высота $H=2r$, радиус основания $r_ц=r$). Тогда $\frac{V_{шара}}{V_{цил}} = \frac{\frac{4}{3}\pi r^3}{\pi r^2(2r)} = \frac{2}{3}$.
  Ответ: Задачи на вычисление характеристик цилиндра и их отношений к характеристикам сферы.

• Задачи на оптимизацию: Поиск цилиндра с наибольшим объемом или наибольшей площадью боковой/полной поверхности, вписанного в данную сферу.
  Пример: Найти цилиндр с наибольшей боковой поверхностью, вписанный в сферу радиуса $R$.
  Решение: Площадь боковой поверхности $S_{бок}(H) = 2\pi r_ц H$. Из осевого сечения $r_ц = \sqrt{R^2 - (H/2)^2}$. Задача сводится к нахождению максимума функции $S_{бок}(H) = 2\pi H \sqrt{R^2 - H^2/4}$ на интервале $(0, 2R)$ с помощью производной.
  Ответ: Оптимизационные задачи на нахождение цилиндра с максимальным/минимальным объемом или площадью поверхности.

§ 16 «Тела вращения, вписанные в сферу» § 17 «Тела вращения, описанные около сферы»

Проанализируйте задания, которые вы выполняли в предыдущих параграфах, и определите, какие аналогичные задачи вы можете решить для сферы и многогранников, конуса и цилиндра, вписанных в неё и описанных около неё.

Анализ задач, связанных с комбинациями тел (многогранников, цилиндров, конусов) и сфер, позволяет выделить следующие основные типы аналогичных задач.

Задачи на установление связи между геометрическими параметрами тел

Это базовый тип задач, в которых необходимо выразить линейные размеры (радиус, высоту, длину ребра, апофему) одного тела через параметры другого.

Пример 1: Найти ребро $a$ куба, вписанного в сферу радиуса $R$.

Решение: Центр сферы, описанной около куба, совпадает с точкой пересечения диагоналей куба. Диагональ куба $d$ является диаметром описанной сферы, т.е. $d=2R$. В то же время, диагональ куба связана с его ребром $a$ соотношением $d = a\sqrt{3}$. Приравнивая два выражения для диагонали, получаем: $a\sqrt{3} = 2R$. Отсюда находим ребро куба: $a = \frac{2R}{\sqrt{3}}$.
Ответ: $a = \frac{2R\sqrt{3}}{3}$.

Пример 2: Определить радиус $r$ и высоту $h$ цилиндра, описанного около сферы радиуса $R$.

Решение: Если цилиндр описан около сферы, то сфера касается его оснований и боковой поверхности. Это возможно только для равностороннего цилиндра, у которого высота равна диаметру основания ($h=2r$). Радиус сферы $R$ в этом случае равен радиусу основания цилиндра $r$, а высота цилиндра $h$ равна диаметру сферы $2R$. Таким образом, $r = R$ и $h = 2R$.
Ответ: $r=R, h=2R$.

Задачи на вычисление объемов и площадей поверхностей

В этих задачах, зная параметры одного тела, требуется вычислить объем или площадь поверхности другого. Обычно это является вторым шагом после нахождения связи между их размерами.

Пример 1: Найти объем $V$ конуса, вписанного в сферу радиуса $R$, если его образующая $l$ наклонена к плоскости основания под углом $\alpha$.

Решение: Рассмотрим осевое сечение комбинации тел. Это будет равнобедренный треугольник, вписанный в большую окружность сферы. Высота конуса $h = l \sin \alpha$, радиус основания $r = l \cos \alpha$. Известно, что квадрат стороны треугольника, вписанного в окружность, равен произведению его проекции на диаметр, проведенный из одного из его концов, на сам диаметр. В нашем случае, $l^2 = h \cdot 2R$. Подставив $h = l \sin \alpha$, получаем $l^2 = (l \sin \alpha) \cdot 2R$, откуда образующая $l = 2R \sin \alpha$. Теперь находим $h$ и $r$: $h = (2R \sin \alpha) \sin \alpha = 2R \sin^2 \alpha$, $r = (2R \sin \alpha) \cos \alpha = 2R \sin \alpha \cos \alpha$. Объем конуса: $V = \frac{1}{3}\pi r^2 h = \frac{1}{3}\pi (2R \sin \alpha \cos \alpha)^2 (2R \sin^2 \alpha) = \frac{8}{3}\pi R^3 \sin^4 \alpha \cos^2 \alpha$.
Ответ: $V = \frac{8}{3}\pi R^3 \sin^4 \alpha \cos^2 \alpha$.

Пример 2: Найти площадь полной поверхности $S$ правильной четырехугольной призмы, описанной около сферы радиуса $R$.

Решение: Если призма описана около сферы, то сфера вписана в призму. Это означает, что высота призмы $h$ равна диаметру сферы $2R$, а основанием призмы является квадрат, в который вписана окружность радиуса $R$. Сторона такого квадрата $a$ равна диаметру вписанной окружности, т.е. $a=2R$. Таким образом, призма является кубом с ребром $a=2R$. Площадь полной поверхности куба: $S = 6a^2 = 6(2R)^2 = 24R^2$.
Ответ: $S = 24R^2$.

Задачи на нахождение отношений объемов и площадей поверхностей

В таких задачах требуется найти отношение соответствующих характеристик (объемов, площадей) тел, составляющих комбинацию. Часто при вычислении отношений конкретные значения параметров (например, радиус сферы) сокращаются.

Пример: Найти отношение объема шара к объему описанного около него куба.

Решение: Пусть радиус шара равен $R$. Ребро $a$ куба, описанного около шара, равно диаметру вписанного шара, то есть $a = 2R$. Объем шара вычисляется по формуле: $V_{шара} = \frac{4}{3}\pi R^3$. Объем куба: $V_{куба} = a^3 = (2R)^3 = 8R^3$. Искомое отношение: $\frac{V_{шара}}{V_{куба}} = \frac{\frac{4}{3}\pi R^3}{8R^3} = \frac{4\pi}{3 \cdot 8} = \frac{\pi}{6}$.
Ответ: $\frac{\pi}{6}$.

Задачи на нахождение экстремальных значений (оптимизационные задачи)

Это задачи, в которых требуется найти такие параметры вписанного или описанного тела, при которых его объем, площадь поверхности или другой параметр принимает наибольшее или наименьшее значение.

Пример: В сферу радиуса $R$ вписан конус. При какой высоте $h$ объем конуса будет наибольшим?

Решение: Пусть $r$ — радиус основания конуса. Связь между параметрами (из прямоугольного треугольника в осевом сечении): $r^2 = R^2 - (h-R)^2 = 2hR - h^2$. (Здесь центр сферы находится на высоте конуса, расстояние от центра до основания равно $|h-R|$). Объем конуса $V(h) = \frac{1}{3}\pi r^2 h = \frac{1}{3}\pi (2hR - h^2)h = \frac{\pi}{3}(2Rh^2 - h^3)$. Для нахождения максимума исследуем функцию $V(h)$ на отрезке $h \in (0, 2R)$. Найдем производную: $V'(h) = \frac{\pi}{3}(4Rh - 3h^2) = \frac{\pi h}{3}(4R - 3h)$. Приравняем производную к нулю: $V'(h) = 0$. Так как $h \neq 0$, получаем $4R - 3h = 0$, откуда $h = \frac{4R}{3}$. Это точка максимума, так как при $h < \frac{4R}{3}$ производная положительна (функция возрастает), а при $h > \frac{4R}{3}$ — отрицательна (функция убывает).
Ответ: $h = \frac{4R}{3}$.

§ 17 «Тела вращения, описанные около сферы»

Проанализируйте задания, которые вы выполняли в предыдущих параграфах, и определите, какие аналогичные задачи вы можете решить для сферы и многогранников, конуса и цилиндра, вписанных в неё и описанных около неё.

Анализ задач из предыдущих параграфов, посвященных комбинациям окружностей и многоугольников, позволяет выявить общие подходы и принципы, которые можно применить к задачам со сферами и трехмерными телами. Основной метод решения — это переход от трехмерной задачи к двумерной путем рассмотрения характерных сечений (чаще всего осевых сечений для тел вращения).

Ниже представлены типы аналогичных задач, которые можно решить для сферы и других геометрических тел.

Сфера и многогранники

1. Многогранник, вписанный в сферу.

По определению, многогранник вписан в сферу, если все его вершины лежат на поверхности сферы. В этом случае сфера называется описанной около многогранника. Центр описанной сферы равноудален от всех вершин многогранника.

Аналогия: окружность, описанная около многоугольника.

Типичные задачи:

• Нахождение радиуса $R$ описанной сферы для правильных многогранников (куба, тетраэдра, октаэдра) по известной длине ребра $a$. Например, для куба диагональ является диаметром сферы, поэтому $2R = a\sqrt{3}$.
• Нахождение объема или площади поверхности многогранника, вписанного в сферу известного радиуса.
• Определение, можно ли описать сферу около данного многогранника (например, прямой призмы или правильной пирамиды).

2. Многогранник, описанный около сферы.

По определению, многогранник описан около сферы, если все его грани касаются сферы. В этом случае сфера называется вписанной в многогранник. Центр вписанной сферы равноудален от всех граней многогранника.

Аналогия: окружность, вписанная в многоугольник.

Типичные задачи:

• Нахождение радиуса $r$ вписанной сферы для правильных многогранников. Например, для куба с ребром $a$ диаметр вписанной сферы равен ребру: $2r = a$.
• Нахождение объема многогранника, если известны площадь его полной поверхности $S_{полн}$ и радиус вписанной сферы $r$. Объем вычисляется по формуле, аналогичной формуле для площади многоугольника: $V = \frac{1}{3}S_{полн} \cdot r$.
• Определение, можно ли вписать сферу в данный многогранник.

Ответ: можно решать задачи на нахождение радиусов вписанных и описанных сфер для многогранников (особенно правильных) по их элементам (например, ребру) и наоборот, а также находить их объемы и площади поверхностей, используя соотношения между их элементами, основанные на равноудаленности центра сферы от вершин или граней.

Сфера и цилиндр

1. Цилиндр, вписанный в сферу.

Цилиндр вписан в сферу, если окружности его оснований лежат на сфере.

Аналогия: прямоугольник, вписанный в окружность (осевое сечение).

Решение: Осевое сечение такой комбинации — это прямоугольник, вписанный в большую окружность сферы. Если $R$ — радиус сферы, $r$ — радиус основания цилиндра, а $H$ — его высота, то из прямоугольного треугольника, образованного радиусом сферы, половиной высоты и радиусом основания цилиндра, следует соотношение: $R^2 = r^2 + (\frac{H}{2})^2$.

Типичные задачи:

• Зная радиус сферы и один из параметров цилиндра (высоту или радиус основания), найти другой параметр, а также объем и площадь поверхности цилиндра.
• Задачи на оптимизацию: найти цилиндр наибольшего объема или наибольшей площади боковой поверхности, который можно вписать в данную сферу.

2. Цилиндр, описанный около сферы.

Цилиндр описан около сферы, если его основания и боковая поверхность касаются сферы. Это возможно только для равностороннего цилиндра, у которого высота равна диаметру основания.

Аналогия: квадрат, описанный около окружности (осевое сечение).

Решение: В осевом сечении получается квадрат, описанный около большой окружности сферы. Если $R$ — радиус сферы, то высота цилиндра $H = 2R$, а радиус его основания $r = R$.

Типичные задачи:

• Найти объем или площадь поверхности описанного цилиндра по известному радиусу сферы.
• Найти отношение объемов или площадей поверхностей сферы и описанного около нее цилиндра (например, отношение объемов равно $V_{сферы}/V_{цил} = (\frac{4}{3}\pi R^3) / (\pi R^2 \cdot 2R) = 2/3$).

Ответ: можно решать задачи на нахождение параметров (радиуса, высоты), объемов и площадей поверхностей вписанных и описанных цилиндров, используя связь между их элементами через теорему Пифагора в осевом сечении, а также решать задачи на нахождение отношений их объемов и площадей.

Сфера и конус

1. Конус, вписанный в сферу.

Конус вписан в сферу, если его вершина и окружность основания лежат на сфере.

Аналогия: равнобедренный треугольник, вписанный в окружность (осевое сечение).

Решение: Осевое сечение — равнобедренный треугольник, вписанный в большую окружность сферы. Если $R$ — радиус сферы, $r$ — радиус основания конуса, $H$ — его высота, то выполняется соотношение $r^2 = H(2R-H)$. Оно получается из свойства пересекающихся хорд или из теоремы Пифагора для треугольника с вершинами в центре сферы, центре основания конуса и точке на окружности основания: $R^2 = r^2 + (H-R)^2$.

Типичные задачи:

• Зная радиус сферы и один из параметров конуса ($H$, $r$ или образующую $l$), найти другие его параметры, объем и площадь поверхности.
• Задачи на оптимизацию: найти конус наибольшего объема, который можно вписать в данную сферу.

2. Конус, описанный около сферы.

Конус описан около сферы, если его основание и боковая поверхность касаются сферы.

Аналогия: равнобедренный треугольник, описанный около окружности (осевое сечение).

Решение: Осевое сечение — равнобедренный треугольник, описанный около большой окружности сферы. Радиус сферы является радиусом вписанной в этот треугольник окружности. Если $R$ — радиус сферы, $r$ — радиус основания конуса, $H$ — его высота, $l$ — образующая, то из подобия прямоугольных треугольников в сечении или через формулу площади треугольника ($S = p \cdot R$) можно получить соотношения, связывающие эти величины, например: $R = \frac{rH}{r+l}$.

Типичные задачи:

• По двум известным элементам конуса (например, $H$ и $r$) найти радиус вписанной сферы.
• Зная радиус сферы и один из параметров конуса, найти его объем.
• Задачи на оптимизацию: найти конус наименьшего объема, описанный около данной сферы.

Ответ: можно решать задачи на нахождение параметров, объемов и площадей поверхностей вписанных и описанных конусов, сводя их к планиметрическим задачам для вписанных и описанных равнобедренных треугольников в осевом сечении и используя теорему Пифагора, подобие треугольников и тригонометрические соотношения.