Страница 227 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

К § 18 «Объём тела. Формулы для вычисления объёма призмы»

1. Напишите программу для вычисления объёма правильной $n$-угольной призмы со стороной основания $a$ и высотой $h$.

2. Воспользовавшись классификацией призм, напишите программу для вычисления объёма как можно большего количества разных видов призм. Учтите, что в зависимости от вида призмы могут понадобиться разные параметры для её описания. Выбор призмы осуществляйте через меню для пользователя программы.

1. Напишите программу для вычисления объёма правильной n-угольной призмы со стороной основания a и высотой h.

Объём любой призмы вычисляется по формуле: $V = S_{осн} \cdot h$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $h$ — высота призмы.

В данном случае основанием является правильный n-угольник со стороной $a$. Площадь правильного n-угольника можно найти по формуле:

$S_{осн} = \frac{n \cdot a^2}{4 \cdot \tan(\frac{\pi}{n})}$

где $n$ — количество сторон (и углов) многоугольника, $a$ — длина стороны.

Таким образом, итоговая формула для объёма правильной n-угольной призмы будет выглядеть так:

$V = \frac{n \cdot a^2 \cdot h}{4 \cdot \tan(\frac{\pi}{n})}$

Ниже представлена программа на языке Python, которая реализует вычисление по этой формуле. Программа запрашивает у пользователя количество сторон основания $n$, длину стороны $a$ и высоту призмы $h$, после чего выводит результат.

import mathdef calculate_regular_prism_volume(n, a, h): "" Вычисляет объём правильной n-угольной призмы. :param n: Количество сторон основания (int) :param a: Длина стороны основания (float) :param h: Высота призмы (float) :return: Объём призмы (float) "" if n < 3: return None # Многоугольник должен иметь как минимум 3 стороны if a <= 0 or h <= 0: return None # Длина стороны и высота должны быть положительными # Вычисление площади основания по формуле base_area = (n * a**2) / (4 * math.tan(math.pi / n)) # Вычисление объёма призмы volume = base_area * h return volume# --- Основная часть программы ---if __name__ == "__main__": try: print("Программа для вычисления объёма правильной n-угольной призмы.") n_input = int(input("Введите количество сторон основания (n): ")) a_input = float(input("Введите длину стороны основания (a): ")) h_input = float(input("Введите высоту призмы (h): ")) volume = calculate_regular_prism_volume(n_input, a_input, h_input) if volume is not None: print(f"Объём призмы: {volume:.4f}") else: print("Ошибка: введены некорректные данные. Убедитесь, что n >= 3, a > 0, h > 0.") except ValueError: print("Ошибка ввода. Пожалуйста, вводите числовые значения.") except Exception as e: print(f"Произошла непредвиденная ошибка: {e}")

Ответ: Представленная выше программа на Python позволяет вычислить объём правильной n-угольной призмы на основе введённых пользователем параметров: количества сторон основания $n$, длины стороны $a$ и высоты призмы $h$.

2. Воспользовавшись классификацией призм, напишите программу для вычисления объёма как можно большего количества разных видов призм. Учтите, что в зависимости от вида призмы могут понадобиться разные параметры для её описания. Выбор призмы осуществляйте через меню для пользователя программы.

Для решения этой задачи создадим программу с текстовым меню, которая позволит пользователю выбрать тип призмы и ввести необходимые для расчёта её объёма параметры. Призмы можно классифицировать по форме основания (треугольные, четырехугольные и т.д.) и по наклону боковых рёбер (прямые и наклонные). Для простоты и охвата наиболее частых случаев, программа будет вычислять объёмы для следующих видов прямых призм:

• Правильная n-угольная призма: основание — правильный n-угольник. Параметры: $n$, $a$ (сторона основания), $h$ (высота). Формула: $V = \frac{n \cdot a^2 \cdot h}{4 \cdot \tan(\frac{\pi}{n})}$.
• Прямоугольный параллелепипед (кубоид): основание — прямоугольник. Параметры: $l, w$ (длина и ширина основания), $h$ (высота). Формула: $V = l \cdot w \cdot h$.
• Куб: частный случай прямоугольного параллелепипеда, все рёбра равны. Параметр: $a$ (длина ребра). Формула: $V = a^3$.
• Прямая треугольная призма: основание — произвольный треугольник. Для универсальности будем вычислять площадь основания по формуле Герона. Параметры: $s_1, s_2, s_3$ (стороны треугольника), $h$ (высота). Формула: $V = \sqrt{p(p-s_1)(p-s_2)(p-s_3)} \cdot h$, где $p = \frac{s_1+s_2+s_3}{2}$.
• Прямая призма с основанием-трапецией: основание — трапеция. Параметры: $b_1, b_2$ (основания трапеции), $h_{trap}$ (высота трапеции), $h_{prism}$ (высота призмы). Формула: $V = \frac{b_1+b_2}{2} \cdot h_{trap} \cdot h_{prism}$.

Программа на Python, реализующая данный функционал:

import math# --- Функции для вычисления объёма ---def calc_regular_prism(): ""Расчёт объёма правильной n-угольной призмы."" try: n = int(input("Введите количество сторон основания (n): ")) a = float(input("Введите длину стороны основания (a): ")) h = float(input("Введите высоту призмы (h): ")) if n < 3 or a <= 0 or h <= 0: print("\nОшибка: n >= 3, a > 0, h > 0.") return base_area = (n * a**2) / (4 * math.tan(math.pi / n)) volume = base_area * h print(f"\nРезультат: Объём призмы = {volume:.4f}") except ValueError: print("\nОшибка ввода. Вводите числа.")def calc_cuboid(): ""Расчёт объёма прямоугольного параллелепипеда."" try: l = float(input("Введите длину основания (l): ")) w = float(input("Введите ширину основания (w): ")) h = float(input("Введите высоту (h): ")) if l <= 0 or w <= 0 or h <= 0: print("\nОшибка: все размеры должны быть положительными.") return volume = l * w * h print(f"\nРезультат: Объём параллелепипеда = {volume:.4f}") except ValueError: print("\nОшибка ввода. Вводите числа.")def calc_cube(): ""Расчёт объёма куба."" try: a = float(input("Введите длину ребра куба (a): ")) if a <= 0: print("\nОшибка: длина ребра должна быть положительной.") return volume = a**3 print(f"\nРезультат: Объём куба = {volume:.4f}") except ValueError: print("\nОшибка ввода. Вводите числа.")def calc_triangular_prism(): ""Расчёт объёма прямой треугольной призмы по трём сторонам основания."" try: s1 = float(input("Введите длину стороны 1 основания: ")) s2 = float(input("Введите длину стороны 2 основания: ")) s3 = float(input("Введите длину стороны 3 основания: ")) h = float(input("Введите высоту призмы: ")) # Проверка неравенства треугольника if not (s1 + s2 > s3 and s1 + s3 > s2 and s2 + s3 > s1 and h > 0): print("\nОшибка: треугольник с такими сторонами не существует или высота некорректна.") return # Формула Герона для площади основания p = (s1 + s2 + s3) / 2 base_area = math.sqrt(p * (p - s1) * (p - s2) * (p - s3)) volume = base_area * h print(f"\nРезультат: Объём треугольной призмы = {volume:.4f}") except ValueError: print("\nОшибка ввода. Вводите числа.")def calc_trapezoidal_prism(): ""Расчёт объёма прямой призмы с основанием-трапецией."" try: b1 = float(input("Введите длину первого основания трапеции (b1): ")) b2 = float(input("Введите длину второго основания трапеции (b2): ")) h_trap = float(input("Введите высоту трапеции (h_trap): ")) h_prism = float(input("Введите высоту призмы (h_prism): ")) if b1 <= 0 or b2 <= 0 or h_trap <= 0 or h_prism <= 0: print("\nОшибка: все размеры должны быть положительными.") return base_area = ((b1 + b2) / 2) * h_trap volume = base_area * h_prism print(f"\nРезультат: Объём призмы = {volume:.4f}") except ValueError: print("\nОшибка ввода. Вводите числа.")# --- Основной цикл программы с меню ---def main(): while True: print("\n--- Калькулятор объёма призмы ---") print("Выберите тип призмы:") print("1. Правильная n-угольная призма") print("2. Прямоугольный параллелепипед (кубоид)") print("3. Куб") print("4. Прямая треугольная призма (по трем сторонам основания)") print("5. Прямая призма с основанием-трапецией") print("0. Выход") choice = input("Ваш выбор: ") if choice == '1': calc_regular_prism() elif choice == '2': calc_cuboid() elif choice == '3': calc_cube() elif choice == '4': calc_triangular_prism() elif choice == '5': calc_trapezoidal_prism() elif choice == '0': print("Завершение работы программы.") break else: print("\nНеверный выбор. Пожалуйста, введите число от 0 до 5.")if __name__ == "__main__": main()

Ответ: Представленная программа с текстовым меню позволяет вычислять объёмы для пяти различных видов призм: правильной n-угольной, прямоугольного параллелепипеда, куба, прямой треугольной и прямой призмы с трапециевидным основанием. Для каждого вида призмы программа запрашивает у пользователя соответствующий набор параметров, необходимый для расчёта по своей уникальной формуле.

К § 19 «Формулы для вычисления объёмов пирамиды и усечённой пирамиды»

1. Проанализируйте задачи, приведённые в этом параграфе. Напишите программу для вычисления объёма пирамиды (усечённой пирамиды) с использованием различных исходных данных, описывающих саму пирамиду и её элементы. Выбор имеющихся данных осуществляйте через меню для пользователя программы.

2. Попробуйте составить алгоритм, по которому можно вычислить объём произвольного выпуклого многогранника с помощью разбиения его на пирамиды. Какой шаг этого алгоритма наиболее сложный?

1.

Для решения этой задачи необходимо написать программу, которая будет вычислять объем пирамиды и усеченной пирамиды на основе различных наборов входных данных, предоставляемых пользователем через меню. Основные формулы, которые будут использоваться:

• Объем пирамиды: $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота.
• Объем усеченной пирамиды: $V = \frac{1}{3} H (S_1 + \sqrt{S_1 S_2} + S_2)$, где $H$ — высота, $S_1$ и $S_2$ — площади верхнего и нижнего оснований.

Программа может предлагать пользователю следующие варианты для вычислений через меню:

Для полной пирамиды:

1. Вычисление объема по известной площади основания и высоте. Это самый прямой способ.
2. Вычисление объема правильной пирамиды, в основании которой лежит правильный n-угольник. Пользователь вводит количество сторон основания $n$, длину стороны $a$ и высоту пирамиды $H$. Программа сначала вычисляет площадь основания по формуле: $S_{осн} = \frac{n \cdot a^2}{4 \cdot \tan(\frac{\pi}{n})}$, а затем находит объем.

Для усеченной пирамиды:

1. Вычисление объема по известным площадям двух оснований и высоте.
2. Вычисление объема правильной усеченной пирамиды. Пользователь вводит количество сторон оснований $n$, длины сторон нижнего ($a_1$) и верхнего ($a_2$) оснований, а также высоту $H$. Программа вычисляет площади $S_1$ и $S_2$ по формуле для правильного n-угольника и затем подставляет их в формулу объема усеченной пирамиды.

Ниже приведен пример такой программы на языке Python, демонстрирующий реализацию меню и вычислений.

import mathdef regular_polygon_area(n, a): ""Вычисляет площадь правильного n-угольника со стороной a."" if n < 3 or a <= 0: return None return (n * a**2) / (4 * math.tan(math.pi / n))def pyramid_volume_by_area_height(): try: area = float(input("Введите площадь основания: ")) height = float(input("Введите высоту пирамиды: ")) if area <= 0 or height <= 0: print("Площадь и высота должны быть положительными числами.") return volume = (1/3) * area * height print(f"Объем пирамиды: {volume:.4f}") except ValueError: print("Ошибка: введите корректные числовые значения.")def regular_pyramid_volume(): try: n = int(input("Введите количество сторон правильного многоугольника в основании: ")) a = float(input("Введите длину стороны основания: ")) height = float(input("Введите высоту пирамиды: ")) area = regular_polygon_area(n, a) if area is None or height <= 0: print("Некорректные данные для основания или высоты.") return volume = (1/3) * area * height print(f"Объем правильной пирамиды: {volume:.4f}") except ValueError: print("Ошибка: введите корректные числовые значения.")def truncated_pyramid_volume_by_areas_height(): try: s1 = float(input("Введите площадь нижнего основания (S1): ")) s2 = float(input("Введите площадь верхнего основания (S2): ")) height = float(input("Введите высоту усеченной пирамиды: ")) if s1 <= 0 or s2 <= 0 or height <= 0: print("Площади и высота должны быть положительными числами.") return volume = (1/3) * height * (s1 + s2 + math.sqrt(s1 * s2)) print(f"Объем усеченной пирамиды: {volume:.4f}") except ValueError: print("Ошибка: введите корректные числовые значения.")def regular_truncated_pyramid_volume(): try: n = int(input("Введите количество сторон оснований: ")) a1 = float(input("Введите длину стороны нижнего основания: ")) a2 = float(input("Введите длину стороны верхнего основания: ")) height = float(input("Введите высоту усеченной пирамиды: ")) s1 = regular_polygon_area(n, a1) s2 = regular_polygon_area(n, a2) if s1 is None or s2 is None or height <= 0: print("Некорректные данные для оснований или высоты.") return volume = (1/3) * height * (s1 + s2 + math.sqrt(s1 * s2)) print(f"Объем правильной усеченной пирамиды: {volume:.4f}") except ValueError: print("Ошибка: введите корректные числовые значения.")def main(): while True: print("\n--- Меню вычисления объема ---") print("1. Объем пирамиды (по площади основания и высоте)") print("2. Объем правильной n-угольной пирамиды") print("3. Объем усеченной пирамиды (по площадям оснований и высоте)") print("4. Объем правильной n-угольной усеченной пирамиды") print("5. Выход") choice = input("Выберите пункт меню: ") if choice == '1': pyramid_volume_by_area_height() elif choice == '2': regular_pyramid_volume() elif choice == '3': truncated_pyramid_volume_by_areas_height() elif choice == '4': regular_truncated_pyramid_volume() elif choice == '5': print("Завершение работы программы.") break else: print("Неверный выбор. Пожалуйста, введите число от 1 до 5.")if __name__ == "__main__": main() 

Ответ: Представлена концепция и пример реализации программы на Python для вычисления объемов пирамиды и усеченной пирамиды с использованием различных исходных данных, выбираемых пользователем через меню. Программа включает функции для расчета на основе как готовых площадей, так и параметров правильных многоугольников в основаниях.

2.

Алгоритм для вычисления объёма произвольного выпуклого многогранника с помощью разбиения его на пирамиды может быть следующим:

1. Выбор внутренней точки. Внутри выпуклого многогранника выбирается произвольная точка $P$. Чтобы гарантировать, что точка находится внутри, можно взять, например, центр масс вершин многогранника. Если вершины имеют координаты $(x_i, y_i, z_i)$, то координаты точки $P$ можно вычислить как среднее арифметическое координат всех вершин: $P = (\frac{\sum x_i}{N}, \frac{\sum y_i}{N}, \frac{\sum z_i}{N})$, где $N$ — количество вершин.
2. Разбиение на пирамиды. Каждая грань многогранника принимается за основание отдельной пирамиды. Общей вершиной (апексом) для всех этих пирамид будет выбранная внутренняя точка $P$. Таким образом, многогранник разбивается на столько пирамид, сколько у него граней.
3. Вычисление объема каждой пирамиды. Для каждой пирамиды, образованной гранью $F_i$ и вершиной $P$, необходимо вычислить её объем по формуле $V_i = \frac{1}{3} S_i \cdot H_i$.
   • $S_i$ — это площадь грани $F_i$.
   • $H_i$ — это высота пирамиды, то есть перпендикулярное расстояние от точки $P$ до плоскости, содержащей грань $F_i$.
4. Суммирование объемов. Общий объем многогранника $V$ равен сумме объемов всех полученных пирамид: $V = \sum V_i$.

Наиболее сложным шагом этого алгоритма является шаг 3: вычисление объема каждой отдельной пирамиды. Сложность этого шага заключается в двух подзадачах, требующих знаний аналитической геометрии в трехмерном пространстве:

1. Вычисление площади $S_i$ произвольной плоской грани в 3D-пространстве. Грань может быть многоугольником с любым числом вершин, расположенным под произвольным углом к осям координат. Для этого обычно грань триангулируют (разбивают на треугольники) и суммируют их площади, либо используют векторные методы (например, обобщение метода Гаусса на 3D).
2. Вычисление высоты $H_i$. Для этого необходимо:
   • Определить уравнение плоскости, в которой лежит грань $F_i$. Это можно сделать, зная координаты как минимум трех её вершин.
   • Вычислить расстояние от точки $P$ до этой плоскости по формуле расстояния от точки до плоскости.

Остальные шаги (выбор точки, итерация по граням, суммирование) являются вычислительно более простыми по сравнению с комплексными геометрическими расчетами на шаге 3.

Ответ: Алгоритм заключается в выборе внутренней точки многогранника, рассмотрении каждой грани как основания пирамиды с вершиной в этой точке и суммировании объемов полученных пирамид. Наиболее сложным шагом является вычисление объема каждой такой пирамиды, что включает в себя определение площади произвольно ориентированной в пространстве грани и вычисление расстояния от внутренней точки до плоскости этой грани.

К § 20 «Объёмы тел вращения»

Проанализируйте задачи, приведённые в этом параграфе. Напишите программу для вычисления объёмов тел вращения с выбором вида тела (конус, цилиндр, усечённый конус, шар) и имеющихся о нём сведений через меню для пользователя программы.

Для решения задачи по созданию программы для вычисления объёмов тел вращения необходимо выполнить следующие шаги: провести анализ математических формул, спроектировать структуру программы и написать код. Ниже представлено развёрнутое решение.

Математические формулы

Программа должна вычислять объём для четырёх тел вращения: цилиндра, конуса, усечённого конуса и шара. Для каждого тела следует предусмотреть возможность расчёта по разным наборам исходных данных, предоставляя пользователю соответствующий выбор в меню.

Основные формулы для вычисления объёмов:

• Цилиндр
  • Через радиус основания $r$ и высоту $h$: $V = \pi r^2 h$
  • Через диаметр основания $d$ и высоту $h$: $V = \frac{1}{4} \pi d^2 h$, где $r = d/2$
• Конус
  • Через радиус основания $r$ и высоту $h$: $V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$
  • Через радиус основания $r$ и образующую $l$: высота вычисляется по теореме Пифагора $h = \sqrt{l^2 - r^2}$, тогда $V = \frac{1}{3} \pi r^2 \sqrt{l^2 - r^2}$ (при условии $l > r$)
• Усечённый конус
  • Через радиусы оснований $R$ (больший) и $r$ (меньший) и высоту $h$: $V = \frac{1}{3} \pi h (R^2 + Rr + r^2)$
• Шар
  • Через радиус $r$: $V = \frac{4}{3} \pi r^3$
  • Через диаметр $d$: $V = \frac{1}{6} \pi d^3$, где $r = d/2$

Ответ: Определены математические формулы для вычисления объёмов цилиндра, конуса, усечённого конуса и шара на основе различных наборов исходных данных.

Структура программы

Программа будет построена на основе консольного меню для взаимодействия с пользователем. Логика работы программы следующая:

1. Запускается главный цикл программы, который отображает основное меню.
2. Основное меню предлагает пользователю выбрать одно из тел вращения (цилиндр, конус, усечённый конус, шар) или выйти из программы.
3. После выбора тела вращения, программа отображает подменю, в котором пользователь выбирает, на основе каких известных параметров будет производиться расчёт (например, для цилиндра - по радиусу и высоте или по диаметру и высоте).
4. Программа запрашивает у пользователя ввод необходимых числовых значений.
5. Реализована проверка введённых данных: значения длин, радиусов, высот должны быть положительными. Для расчёта по образующей также проверяется выполнимость геометрических условий (например, образующая конуса должна быть больше радиуса основания). В случае неверного ввода, пользователю выводится сообщение об ошибке.
6. Если данные корректны, программа выполняет вычисление объёма по соответствующей формуле.
7. Результат вычислений выводится на экран в удобном для чтения формате с округлением до 4 знаков после запятой.
8. После вывода результата программа возвращается в основное меню, позволяя пользователю выполнить новый расчёт или завершить работу.

Ответ: Спроектирована структура консольной программы с иерархическим меню для выбора тела вращения, набора параметров, ввода данных и вывода результата.

Реализация программы на Python

Ниже приведён полный код программы на языке Python, реализующий описанный выше алгоритм. Для работы кода не требуются сторонние библиотеки, кроме встроенного модуля `math`.

import mathdef get_positive_float(prompt): "" Запрашивает у пользователя ввод положительного числа с плавающей точкой. Проверяет корректность ввода и повторяет запрос до получения верного значения. "" while True: try: value = float(input(prompt)) if value > 0: return value else: print("Ошибка: значение должно быть положительным числом.") except ValueError: print("Ошибка: введите корректное число.")def calculate_cylinder_volume(): ""Рассчитывает объем цилиндра по выбору пользователя."" print("\n--- Вычисление объема цилиндра ---") print("Выберите набор исходных данных:") print("1. По радиусу основания и высоте") print("2. По диаметру основания и высоте") choice = input("Ваш выбор (1-2): ") if choice == '1': r = get_positive_float("Введите радиус основания (r): ") h = get_positive_float("Введите высоту (h): ") volume = math.pi * r**2 * h print(f"\nОбъем цилиндра равен {volume:.4f}") elif choice == '2': d = get_positive_float("Введите диаметр основания (d): ") h = get_positive_float("Введите высоту (h): ") r = d / 2 volume = math.pi * r**2 * h print(f"\nОбъем цилиндра равен {volume:.4f}") else: print("Неверный выбор. Возврат в главное меню.")def calculate_cone_volume(): ""Рассчитывает объем конуса по выбору пользователя."" print("\n--- Вычисление объема конуса ---") print("Выберите набор исходных данных:") print("1. По радиусу основания и высоте") print("2. По радиусу основания и образующей") choice = input("Ваш выбор (1-2): ") if choice == '1': r = get_positive_float("Введите радиус основания (r): ") h = get_positive_float("Введите высоту (h): ") volume = (1/3) * math.pi * r**2 * h print(f"\nОбъем конуса равен {volume:.4f}") elif choice == '2': r = get_positive_float("Введите радиус основания (r): ") l = get_positive_float("Введите образующую (l): ") if l <= r: print("Ошибка: образующая должна быть строго больше радиуса основания.") return h = math.sqrt(l**2 - r**2) volume = (1/3) * math.pi * r**2 * h print(f"\nОбъем конуса равен {volume:.4f}") else: print("Неверный выбор. Возврат в главное меню.")def calculate_truncated_cone_volume(): ""Рассчитывает объем усеченного конуса."" print("\n--- Вычисление объема усеченного конуса ---") print("Для расчета введите радиусы оснований и высоту.") R = get_positive_float("Введите радиус большего основания (R): ") r = get_positive_float("Введите радиус меньшего основания (r): ") h = get_positive_float("Введите высоту (h): ") # Для удобства пользователя, если r > R, меняем их местами if r > R: R, r = r, R volume = (1/3) * math.pi * h * (R**2 + R*r + r**2) print(f"\nОбъем усеченного конуса равен {volume:.4f}")def calculate_sphere_volume(): ""Рассчитывает объем шара по выбору пользователя."" print("\n--- Вычисление объема шара ---") print("Выберите набор исходных данных:") print("1. По радиусу") print("2. По диаметру") choice = input("Ваш выбор (1-2): ") if choice == '1': r = get_positive_float("Введите радиус (r): ") volume = (4/3) * math.pi * r**3 print(f"\nОбъем шара равен {volume:.4f}") elif choice == '2': d = get_positive_float("Введите диаметр (d): ") r = d / 2 volume = (4/3) * math.pi * r**3 print(f"\nОбъем шара равен {volume:.4f}") else: print("Неверный выбор. Возврат в главное меню.")def main(): ""Главная функция с основным меню программы."" while True: print("\n===== Калькулятор объемов тел вращения =====") print("1. Цилиндр") print("2. Конус") print("3. Усеченный конус") print("4. Шар") print("0. Выход из программы") choice = input("Выберите тело вращения (введите номер): ") if choice == '1': calculate_cylinder_volume() elif choice == '2': calculate_cone_volume() elif choice == '3': calculate_truncated_cone_volume() elif choice == '4': calculate_sphere_volume() elif choice == '0': print("Завершение работы. До свидания!") break else: print("Неверный выбор. Пожалуйста, введите число от 0 до 4.")# Запуск основной функции программыif __name__ == "__main__": main()

Ответ: Представленный код является готовой программой, решающей поставленную задачу. Он позволяет пользователю в интерактивном режиме выбирать тело вращения и известные параметры, после чего вычисляет и выводит на экран его объём.

K § 21 «Площадь сферы»

1. Напишите программу, которая по заданному радиусу шара и толщине атмосферы вычисляет объём шара и объём его атмосферы.

2. Постройте с помощью редактора диаграмм Word или Excel столбчатую диаграмму. Выберите представление ряда данных в виде различных геометрических фигур (призм, конусов и т. п.). Используя полученные знания об объёмах тел, определите, какие из этих фигур дают наиболее адекватное представление о соотношении числовых величин.

1.

Для решения этой задачи нужно использовать формулу объёма шара. Объём шара (V) с радиусом (R) вычисляется по формуле:

$V_{шара} = \frac{4}{3}\pi R^3$

Объём атмосферы можно найти как разность объёмов двух шаров: большого шара (планета вместе с атмосферой) и малого шара (сама планета).

Пусть $R$ — радиус шара (планеты), а $h$ — толщина атмосферы. Тогда радиус большого шара будет $R_{общий} = R + h$.

Объём большого шара:

$V_{общий} = \frac{4}{3}\pi (R+h)^3$

Объём атмосферы будет равен:

$V_{атмосферы} = V_{общий} - V_{шара} = \frac{4}{3}\pi (R+h)^3 - \frac{4}{3}\pi R^3 = \frac{4}{3}\pi ((R+h)^3 - R^3)$

Ниже представлена программа на языке Python, которая реализует эти вычисления.

import mathdef calculate_volumes(radius, thickness): "" Вычисляет объём шара и объём его атмосферы. :param radius: радиус шара :param thickness: толщина атмосферы :return: кортеж (объём шара, объём атмосферы) "" if radius <= 0 or thickness <= 0: return None, None # Вычисление объёма шара (планеты) volume_sphere = (4/3) * math.pi * (radius ** 3) # Вычисление общего радиуса (шар + атмосфера) total_radius = radius + thickness # Вычисление общего объёма total_volume = (4/3) * math.pi * (total_radius ** 3) # Вычисление объёма атмосферы volume_atmosphere = total_volume - volume_sphere return volume_sphere, volume_atmosphereif __name__ == "__main__": try: # Получение данных от пользователя r = float(input("Введите радиус шара: ")) h = float(input("Введите толщину атмосферы: ")) # Вызов функции для вычислений v_sphere, v_atmosphere = calculate_volumes(r, h) if v_sphere is not None: # Вывод результатов print(f"\nОбъём шара: {v_sphere:.2f}") print(f"Объём атмосферы: {v_atmosphere:.2f}") else: print("Ошибка: радиус и толщина должны быть положительными числами.") except ValueError: print("Ошибка: введите корректные числовые значения.") 

Пример работы программы:

Введите радиус шара: 6371Введите толщину атмосферы: 100Объём шара: 1083207054235.33Объём атмосферы: 51525287313.39 

Ответ: Программа для вычисления объёма шара и его атмосферы, основанная на формулах $V_{шара} = \frac{4}{3}\pi R^3$ и $V_{атмосферы} = \frac{4}{3}\pi ((R+h)^3 - R^3)$, приведена выше.

2.

Для построения диаграммы в Word или Excel необходимо сначала получить данные. Воспользуемся результатами из предыдущего пункта для примера, где радиус Земли $R \approx 6371$ км, а условная толщина атмосферы $h = 100$ км.

Полученные значения:

• Объём шара (Земли): $V_{шара} \approx 1,083 \cdot 10^{12}$ км³
• Объём атмосферы: $V_{атмосферы} \approx 0,052 \cdot 10^{12}$ км³

Эти два значения можно внести в таблицу в Excel и построить по ним столбчатую диаграмму. В настройках ряда данных (или в параметрах формата ряда данных) можно изменить форму столбцов на различные трехмерные фигуры: призмы (параллелепипед), цилиндры, конусы, пирамиды.

Теперь проанализируем, какие фигуры наиболее адекватно представляют соотношение числовых величин.

Основной принцип столбчатой диаграммы заключается в том, что величина значения прямо пропорциональна высоте столбца. Чтобы визуальное восприятие было корректным, объём фигуры, представляющей столбец, также должен быть прямо пропорционален её высоте.

1. Призма (прямоугольный параллелепипед) и цилиндр.

Объём этих фигур вычисляется по формуле $V = S_{основания} \cdot H$, где $H$ — высота. В столбчатой диаграмме площадь основания $S_{основания}$ для всех столбцов одинакова. Следовательно, объём фигуры $V$ прямо пропорционален её высоте $H$. Визуальное сравнение высот столбцов точно соответствует соотношению представленных ими числовых величин. Это наиболее адекватное и неискаженное представление.

2. Конус и пирамида.

Объём этих фигур вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3} S_{основания} \cdot H$. Здесь, при постоянной площади основания $S_{основания}$, объём $V$ также прямо пропорционален высоте $H$. С математической точки зрения, соотношение сохраняется. Однако с точки зрения визуального восприятия, сужающаяся кверху форма может вносить искажения. Более высокий конус или пирамида выглядят "стройнее" и могут восприниматься как менее массивные, чем призма той же высоты. Это может привести к тому, что зритель недооценит разницу между большим и малым значениями. Например, соотношение объемов 20:1 может визуально не ощущаться столь значительным, если оно представлено конусами.

Вывод:

Наиболее адекватное представление о соотношении числовых величин дают фигуры с постоянным поперечным сечением по всей высоте — призма (стандартный столбец) и цилиндр. Они обеспечивают прямое и интуитивно понятное соответствие между высотой столбца и представляемой им величиной, избегая оптических искажений восприятия объёма, которые могут возникнуть при использовании конусов и пирамид.

Ответ: Наиболее адекватное представление о соотношении числовых величин дают призмы и цилиндры, так как их объём прямо пропорционален высоте при постоянной площади основания, что соответствует принципу построения столбчатых диаграмм и не искажает визуальное восприятие. Конусы и пирамиды, хотя и сохраняют математическую пропорциональность, могут вносить визуальные искажения из-за своей сужающейся формы.