Номер 18, страница 227 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

К § 18 «Объём тела. Формулы для вычисления объёма призмы»

1. Напишите программу для вычисления объёма правильной $n$-угольной призмы со стороной основания $a$ и высотой $h$.

2. Воспользовавшись классификацией призм, напишите программу для вычисления объёма как можно большего количества разных видов призм. Учтите, что в зависимости от вида призмы могут понадобиться разные параметры для её описания. Выбор призмы осуществляйте через меню для пользователя программы.

1. Напишите программу для вычисления объёма правильной n-угольной призмы со стороной основания a и высотой h.

Объём любой призмы вычисляется по формуле: $V = S_{осн} \cdot h$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $h$ — высота призмы.

В данном случае основанием является правильный n-угольник со стороной $a$. Площадь правильного n-угольника можно найти по формуле:

$S_{осн} = \frac{n \cdot a^2}{4 \cdot \tan(\frac{\pi}{n})}$

где $n$ — количество сторон (и углов) многоугольника, $a$ — длина стороны.

Таким образом, итоговая формула для объёма правильной n-угольной призмы будет выглядеть так:

$V = \frac{n \cdot a^2 \cdot h}{4 \cdot \tan(\frac{\pi}{n})}$

Ниже представлена программа на языке Python, которая реализует вычисление по этой формуле. Программа запрашивает у пользователя количество сторон основания $n$, длину стороны $a$ и высоту призмы $h$, после чего выводит результат.

import mathdef calculate_regular_prism_volume(n, a, h): "" Вычисляет объём правильной n-угольной призмы. :param n: Количество сторон основания (int) :param a: Длина стороны основания (float) :param h: Высота призмы (float) :return: Объём призмы (float) "" if n < 3: return None # Многоугольник должен иметь как минимум 3 стороны if a <= 0 or h <= 0: return None # Длина стороны и высота должны быть положительными # Вычисление площади основания по формуле base_area = (n * a**2) / (4 * math.tan(math.pi / n)) # Вычисление объёма призмы volume = base_area * h return volume# --- Основная часть программы ---if __name__ == "__main__": try: print("Программа для вычисления объёма правильной n-угольной призмы.") n_input = int(input("Введите количество сторон основания (n): ")) a_input = float(input("Введите длину стороны основания (a): ")) h_input = float(input("Введите высоту призмы (h): ")) volume = calculate_regular_prism_volume(n_input, a_input, h_input) if volume is not None: print(f"Объём призмы: {volume:.4f}") else: print("Ошибка: введены некорректные данные. Убедитесь, что n >= 3, a > 0, h > 0.") except ValueError: print("Ошибка ввода. Пожалуйста, вводите числовые значения.") except Exception as e: print(f"Произошла непредвиденная ошибка: {e}")

Ответ: Представленная выше программа на Python позволяет вычислить объём правильной n-угольной призмы на основе введённых пользователем параметров: количества сторон основания $n$, длины стороны $a$ и высоты призмы $h$.

2. Воспользовавшись классификацией призм, напишите программу для вычисления объёма как можно большего количества разных видов призм. Учтите, что в зависимости от вида призмы могут понадобиться разные параметры для её описания. Выбор призмы осуществляйте через меню для пользователя программы.

Для решения этой задачи создадим программу с текстовым меню, которая позволит пользователю выбрать тип призмы и ввести необходимые для расчёта её объёма параметры. Призмы можно классифицировать по форме основания (треугольные, четырехугольные и т.д.) и по наклону боковых рёбер (прямые и наклонные). Для простоты и охвата наиболее частых случаев, программа будет вычислять объёмы для следующих видов прямых призм:

• Правильная n-угольная призма: основание — правильный n-угольник. Параметры: $n$, $a$ (сторона основания), $h$ (высота). Формула: $V = \frac{n \cdot a^2 \cdot h}{4 \cdot \tan(\frac{\pi}{n})}$.
• Прямоугольный параллелепипед (кубоид): основание — прямоугольник. Параметры: $l, w$ (длина и ширина основания), $h$ (высота). Формула: $V = l \cdot w \cdot h$.
• Куб: частный случай прямоугольного параллелепипеда, все рёбра равны. Параметр: $a$ (длина ребра). Формула: $V = a^3$.
• Прямая треугольная призма: основание — произвольный треугольник. Для универсальности будем вычислять площадь основания по формуле Герона. Параметры: $s_1, s_2, s_3$ (стороны треугольника), $h$ (высота). Формула: $V = \sqrt{p(p-s_1)(p-s_2)(p-s_3)} \cdot h$, где $p = \frac{s_1+s_2+s_3}{2}$.
• Прямая призма с основанием-трапецией: основание — трапеция. Параметры: $b_1, b_2$ (основания трапеции), $h_{trap}$ (высота трапеции), $h_{prism}$ (высота призмы). Формула: $V = \frac{b_1+b_2}{2} \cdot h_{trap} \cdot h_{prism}$.

Программа на Python, реализующая данный функционал:

import math# --- Функции для вычисления объёма ---def calc_regular_prism(): ""Расчёт объёма правильной n-угольной призмы."" try: n = int(input("Введите количество сторон основания (n): ")) a = float(input("Введите длину стороны основания (a): ")) h = float(input("Введите высоту призмы (h): ")) if n < 3 or a <= 0 or h <= 0: print("\nОшибка: n >= 3, a > 0, h > 0.") return base_area = (n * a**2) / (4 * math.tan(math.pi / n)) volume = base_area * h print(f"\nРезультат: Объём призмы = {volume:.4f}") except ValueError: print("\nОшибка ввода. Вводите числа.")def calc_cuboid(): ""Расчёт объёма прямоугольного параллелепипеда."" try: l = float(input("Введите длину основания (l): ")) w = float(input("Введите ширину основания (w): ")) h = float(input("Введите высоту (h): ")) if l <= 0 or w <= 0 or h <= 0: print("\nОшибка: все размеры должны быть положительными.") return volume = l * w * h print(f"\nРезультат: Объём параллелепипеда = {volume:.4f}") except ValueError: print("\nОшибка ввода. Вводите числа.")def calc_cube(): ""Расчёт объёма куба."" try: a = float(input("Введите длину ребра куба (a): ")) if a <= 0: print("\nОшибка: длина ребра должна быть положительной.") return volume = a**3 print(f"\nРезультат: Объём куба = {volume:.4f}") except ValueError: print("\nОшибка ввода. Вводите числа.")def calc_triangular_prism(): ""Расчёт объёма прямой треугольной призмы по трём сторонам основания."" try: s1 = float(input("Введите длину стороны 1 основания: ")) s2 = float(input("Введите длину стороны 2 основания: ")) s3 = float(input("Введите длину стороны 3 основания: ")) h = float(input("Введите высоту призмы: ")) # Проверка неравенства треугольника if not (s1 + s2 > s3 and s1 + s3 > s2 and s2 + s3 > s1 and h > 0): print("\nОшибка: треугольник с такими сторонами не существует или высота некорректна.") return # Формула Герона для площади основания p = (s1 + s2 + s3) / 2 base_area = math.sqrt(p * (p - s1) * (p - s2) * (p - s3)) volume = base_area * h print(f"\nРезультат: Объём треугольной призмы = {volume:.4f}") except ValueError: print("\nОшибка ввода. Вводите числа.")def calc_trapezoidal_prism(): ""Расчёт объёма прямой призмы с основанием-трапецией."" try: b1 = float(input("Введите длину первого основания трапеции (b1): ")) b2 = float(input("Введите длину второго основания трапеции (b2): ")) h_trap = float(input("Введите высоту трапеции (h_trap): ")) h_prism = float(input("Введите высоту призмы (h_prism): ")) if b1 <= 0 or b2 <= 0 or h_trap <= 0 or h_prism <= 0: print("\nОшибка: все размеры должны быть положительными.") return base_area = ((b1 + b2) / 2) * h_trap volume = base_area * h_prism print(f"\nРезультат: Объём призмы = {volume:.4f}") except ValueError: print("\nОшибка ввода. Вводите числа.")# --- Основной цикл программы с меню ---def main(): while True: print("\n--- Калькулятор объёма призмы ---") print("Выберите тип призмы:") print("1. Правильная n-угольная призма") print("2. Прямоугольный параллелепипед (кубоид)") print("3. Куб") print("4. Прямая треугольная призма (по трем сторонам основания)") print("5. Прямая призма с основанием-трапецией") print("0. Выход") choice = input("Ваш выбор: ") if choice == '1': calc_regular_prism() elif choice == '2': calc_cuboid() elif choice == '3': calc_cube() elif choice == '4': calc_triangular_prism() elif choice == '5': calc_trapezoidal_prism() elif choice == '0': print("Завершение работы программы.") break else: print("\nНеверный выбор. Пожалуйста, введите число от 0 до 5.")if __name__ == "__main__": main()

Ответ: Представленная программа с текстовым меню позволяет вычислять объёмы для пяти различных видов призм: правильной n-угольной, прямоугольного параллелепипеда, куба, прямой треугольной и прямой призмы с трапециевидным основанием. Для каждого вида призмы программа запрашивает у пользователя соответствующий набор параметров, необходимый для расчёта по своей уникальной формуле.