Номер 2, страница 228 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

2. Объём шара и принцип Кавальери

1. Мамикон М. Объём шара // Квант. — 1977. — № 5.

2. Мамикон М. Центр тяжести полушария // Квант. — 1978. — № 11.

3. Шевелёв Л. Объём тел вращения // Квант. — 1973. — № 8.

4. Рабинович В. Вычисление объёма с помощью принципа Кавальери // Квант. — 1972. — № 6.

5. Болтянский В. О понятиях площади и объёма // Квант. — 1977. — № 5.

6. Терешин Д. Обращение принципа Кавальери // Квант. — 1994. — № 2.

7. Лурье С. Математический эпос Кавальери // Квант. — 1994. — № 2.

Изображение представляет собой список литературы по теме «Объём шара и принцип Кавальери». Поскольку конкретной задачи для решения не представлено, ниже приводится подробный вывод формулы объёма шара с использованием принципа Кавальери, который является центральной темой указанных статей.

Формулировка принципа Кавальери

Принцип Кавальери гласит: если два пространственных тела расположены между двумя параллельными плоскостями, и всякая плоскость, параллельная данным, пересекает оба тела по фигурам равной площади, то объёмы этих тел равны.

Постановка задачи и построение тел для сравнения

Наша цель — найти объём шара радиуса $R$. Для удобства сначала найдём объём полушара, а затем удвоим полученный результат.

Рассмотрим полушар радиуса $R$. Для сравнения с ним, согласно принципу Кавальери, построим вспомогательное тело, объём которого легко вычислить. Таким телом будет цилиндр с радиусом основания $R$ и высотой $R$, из которого «вырезан» конус с тем же основанием и той же высотой.

Сравнение площадей поперечных сечений

Рассмотрим сечение обоих тел (полушара и вспомогательного тела) плоскостью, параллельной их основаниям и находящейся на расстоянии $h$ от основания ($0 \le h \le R$).

Сечение полушара:
Сечением полушара является круг. Обозначим его радиус как $r$. Из прямоугольного треугольника, образованного радиусом шара $R$ (гипотенуза), высотой сечения $h$ и радиусом сечения $r$ (катеты), по теореме Пифагора имеем: $R^2 = h^2 + r^2$.
Отсюда, $r^2 = R^2 - h^2$.
Площадь этого сечения $S_{полушара}$ равна:
$S_{полушара} = \pi r^2 = \pi(R^2 - h^2)$.

Сечение вспомогательного тела (цилиндр минус конус):
Сечением вспомогательного тела является кольцо. Его площадь равна разности площадей сечений цилиндра и конуса на той же высоте $h$.
Площадь сечения цилиндра — это круг радиуса $R$, его площадь равна $\pi R^2$.
Для конуса, вершина которого находится в центре основания цилиндра, радиус сечения $r_{конуса}$ на высоте $h$ находится из подобия треугольников: $\frac{r_{конуса}}{h} = \frac{R}{R} = 1$, откуда $r_{конуса} = h$.
Площадь сечения конуса равна $\pi r_{конуса}^2 = \pi h^2$.
Таким образом, площадь сечения вспомогательного тела $S_{вспом}$ равна:
$S_{вспом} = \pi R^2 - \pi h^2 = \pi(R^2 - h^2)$.

Применение принципа Кавальери и вычисление объёма

Мы видим, что для любой высоты $h$ в пределах от $0$ до $R$ площади поперечных сечений полушара и вспомогательного тела равны: $S_{полушара} = S_{вспом}$.
Поскольку оба тела имеют одинаковую высоту $R$, согласно принципу Кавальери, их объёмы также равны.
$V_{полушара} = V_{вспом. тела}$.

Теперь найдём объём вспомогательного тела. Он равен разности объёмов цилиндра и конуса.
Объём цилиндра: $V_{цил} = (\text{площадь основания}) \times (\text{высота}) = \pi R^2 \cdot R = \pi R^3$.
Объём конуса: $V_{кон} = \frac{1}{3}(\text{площадь основания}) \times (\text{высота}) = \frac{1}{3}\pi R^2 \cdot R = \frac{1}{3}\pi R^3$.
Объём вспомогательного тела:
$V_{вспом. тела} = V_{цил} - V_{кон} = \pi R^3 - \frac{1}{3}\pi R^3 = \frac{2}{3}\pi R^3$.

Следовательно, объём полушара также равен $V_{полушара} = \frac{2}{3}\pi R^3$.
Объём всего шара в два раза больше объёма полушара:
$V_{шара} = 2 \cdot V_{полушара} = 2 \cdot \frac{2}{3}\pi R^3 = \frac{4}{3}\pi R^3$.

Ответ: Объём шара радиуса $R$ вычисляется по формуле $V = \frac{4}{3}\pi R^3$.