Номер 21, страница 227 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

K § 21 «Площадь сферы»

1. Напишите программу, которая по заданному радиусу шара и толщине атмосферы вычисляет объём шара и объём его атмосферы.

2. Постройте с помощью редактора диаграмм Word или Excel столбчатую диаграмму. Выберите представление ряда данных в виде различных геометрических фигур (призм, конусов и т. п.). Используя полученные знания об объёмах тел, определите, какие из этих фигур дают наиболее адекватное представление о соотношении числовых величин.

1.

Для решения этой задачи нужно использовать формулу объёма шара. Объём шара (V) с радиусом (R) вычисляется по формуле:

$V_{шара} = \frac{4}{3}\pi R^3$

Объём атмосферы можно найти как разность объёмов двух шаров: большого шара (планета вместе с атмосферой) и малого шара (сама планета).

Пусть $R$ — радиус шара (планеты), а $h$ — толщина атмосферы. Тогда радиус большого шара будет $R_{общий} = R + h$.

Объём большого шара:

$V_{общий} = \frac{4}{3}\pi (R+h)^3$

Объём атмосферы будет равен:

$V_{атмосферы} = V_{общий} - V_{шара} = \frac{4}{3}\pi (R+h)^3 - \frac{4}{3}\pi R^3 = \frac{4}{3}\pi ((R+h)^3 - R^3)$

Ниже представлена программа на языке Python, которая реализует эти вычисления.

import mathdef calculate_volumes(radius, thickness): "" Вычисляет объём шара и объём его атмосферы. :param radius: радиус шара :param thickness: толщина атмосферы :return: кортеж (объём шара, объём атмосферы) "" if radius <= 0 or thickness <= 0: return None, None # Вычисление объёма шара (планеты) volume_sphere = (4/3) * math.pi * (radius ** 3) # Вычисление общего радиуса (шар + атмосфера) total_radius = radius + thickness # Вычисление общего объёма total_volume = (4/3) * math.pi * (total_radius ** 3) # Вычисление объёма атмосферы volume_atmosphere = total_volume - volume_sphere return volume_sphere, volume_atmosphereif __name__ == "__main__": try: # Получение данных от пользователя r = float(input("Введите радиус шара: ")) h = float(input("Введите толщину атмосферы: ")) # Вызов функции для вычислений v_sphere, v_atmosphere = calculate_volumes(r, h) if v_sphere is not None: # Вывод результатов print(f"\nОбъём шара: {v_sphere:.2f}") print(f"Объём атмосферы: {v_atmosphere:.2f}") else: print("Ошибка: радиус и толщина должны быть положительными числами.") except ValueError: print("Ошибка: введите корректные числовые значения.") 

Пример работы программы:

Введите радиус шара: 6371Введите толщину атмосферы: 100Объём шара: 1083207054235.33Объём атмосферы: 51525287313.39 

Ответ: Программа для вычисления объёма шара и его атмосферы, основанная на формулах $V_{шара} = \frac{4}{3}\pi R^3$ и $V_{атмосферы} = \frac{4}{3}\pi ((R+h)^3 - R^3)$, приведена выше.

2.

Для построения диаграммы в Word или Excel необходимо сначала получить данные. Воспользуемся результатами из предыдущего пункта для примера, где радиус Земли $R \approx 6371$ км, а условная толщина атмосферы $h = 100$ км.

Полученные значения:

• Объём шара (Земли): $V_{шара} \approx 1,083 \cdot 10^{12}$ км³
• Объём атмосферы: $V_{атмосферы} \approx 0,052 \cdot 10^{12}$ км³

Эти два значения можно внести в таблицу в Excel и построить по ним столбчатую диаграмму. В настройках ряда данных (или в параметрах формата ряда данных) можно изменить форму столбцов на различные трехмерные фигуры: призмы (параллелепипед), цилиндры, конусы, пирамиды.

Теперь проанализируем, какие фигуры наиболее адекватно представляют соотношение числовых величин.

Основной принцип столбчатой диаграммы заключается в том, что величина значения прямо пропорциональна высоте столбца. Чтобы визуальное восприятие было корректным, объём фигуры, представляющей столбец, также должен быть прямо пропорционален её высоте.

1. Призма (прямоугольный параллелепипед) и цилиндр.

Объём этих фигур вычисляется по формуле $V = S_{основания} \cdot H$, где $H$ — высота. В столбчатой диаграмме площадь основания $S_{основания}$ для всех столбцов одинакова. Следовательно, объём фигуры $V$ прямо пропорционален её высоте $H$. Визуальное сравнение высот столбцов точно соответствует соотношению представленных ими числовых величин. Это наиболее адекватное и неискаженное представление.

2. Конус и пирамида.

Объём этих фигур вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3} S_{основания} \cdot H$. Здесь, при постоянной площади основания $S_{основания}$, объём $V$ также прямо пропорционален высоте $H$. С математической точки зрения, соотношение сохраняется. Однако с точки зрения визуального восприятия, сужающаяся кверху форма может вносить искажения. Более высокий конус или пирамида выглядят "стройнее" и могут восприниматься как менее массивные, чем призма той же высоты. Это может привести к тому, что зритель недооценит разницу между большим и малым значениями. Например, соотношение объемов 20:1 может визуально не ощущаться столь значительным, если оно представлено конусами.

Вывод:

Наиболее адекватное представление о соотношении числовых величин дают фигуры с постоянным поперечным сечением по всей высоте — призма (стандартный столбец) и цилиндр. Они обеспечивают прямое и интуитивно понятное соответствие между высотой столбца и представляемой им величиной, избегая оптических искажений восприятия объёма, которые могут возникнуть при использовании конусов и пирамид.

Ответ: Наиболее адекватное представление о соотношении числовых величин дают призмы и цилиндры, так как их объём прямо пропорционален высоте при постоянной площади основания, что соответствует принципу построения столбчатых диаграмм и не искажает визуальное восприятие. Конусы и пирамиды, хотя и сохраняют математическую пропорциональность, могут вносить визуальные искажения из-за своей сужающейся формы.