Номер 17, страница 226 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

§ 17 «Тела вращения, описанные около сферы»

Проанализируйте задания, которые вы выполняли в предыдущих параграфах, и определите, какие аналогичные задачи вы можете решить для сферы и многогранников, конуса и цилиндра, вписанных в неё и описанных около неё.

Анализ задач из предыдущих параграфов, посвященных комбинациям окружностей и многоугольников, позволяет выявить общие подходы и принципы, которые можно применить к задачам со сферами и трехмерными телами. Основной метод решения — это переход от трехмерной задачи к двумерной путем рассмотрения характерных сечений (чаще всего осевых сечений для тел вращения).

Ниже представлены типы аналогичных задач, которые можно решить для сферы и других геометрических тел.

Сфера и многогранники

1. Многогранник, вписанный в сферу.

По определению, многогранник вписан в сферу, если все его вершины лежат на поверхности сферы. В этом случае сфера называется описанной около многогранника. Центр описанной сферы равноудален от всех вершин многогранника.

Аналогия: окружность, описанная около многоугольника.

Типичные задачи:

• Нахождение радиуса $R$ описанной сферы для правильных многогранников (куба, тетраэдра, октаэдра) по известной длине ребра $a$. Например, для куба диагональ является диаметром сферы, поэтому $2R = a\sqrt{3}$.
• Нахождение объема или площади поверхности многогранника, вписанного в сферу известного радиуса.
• Определение, можно ли описать сферу около данного многогранника (например, прямой призмы или правильной пирамиды).

2. Многогранник, описанный около сферы.

По определению, многогранник описан около сферы, если все его грани касаются сферы. В этом случае сфера называется вписанной в многогранник. Центр вписанной сферы равноудален от всех граней многогранника.

Аналогия: окружность, вписанная в многоугольник.

Типичные задачи:

• Нахождение радиуса $r$ вписанной сферы для правильных многогранников. Например, для куба с ребром $a$ диаметр вписанной сферы равен ребру: $2r = a$.
• Нахождение объема многогранника, если известны площадь его полной поверхности $S_{полн}$ и радиус вписанной сферы $r$. Объем вычисляется по формуле, аналогичной формуле для площади многоугольника: $V = \frac{1}{3}S_{полн} \cdot r$.
• Определение, можно ли вписать сферу в данный многогранник.

Ответ: можно решать задачи на нахождение радиусов вписанных и описанных сфер для многогранников (особенно правильных) по их элементам (например, ребру) и наоборот, а также находить их объемы и площади поверхностей, используя соотношения между их элементами, основанные на равноудаленности центра сферы от вершин или граней.

Сфера и цилиндр

1. Цилиндр, вписанный в сферу.

Цилиндр вписан в сферу, если окружности его оснований лежат на сфере.

Аналогия: прямоугольник, вписанный в окружность (осевое сечение).

Решение: Осевое сечение такой комбинации — это прямоугольник, вписанный в большую окружность сферы. Если $R$ — радиус сферы, $r$ — радиус основания цилиндра, а $H$ — его высота, то из прямоугольного треугольника, образованного радиусом сферы, половиной высоты и радиусом основания цилиндра, следует соотношение: $R^2 = r^2 + (\frac{H}{2})^2$.

Типичные задачи:

• Зная радиус сферы и один из параметров цилиндра (высоту или радиус основания), найти другой параметр, а также объем и площадь поверхности цилиндра.
• Задачи на оптимизацию: найти цилиндр наибольшего объема или наибольшей площади боковой поверхности, который можно вписать в данную сферу.

2. Цилиндр, описанный около сферы.

Цилиндр описан около сферы, если его основания и боковая поверхность касаются сферы. Это возможно только для равностороннего цилиндра, у которого высота равна диаметру основания.

Аналогия: квадрат, описанный около окружности (осевое сечение).

Решение: В осевом сечении получается квадрат, описанный около большой окружности сферы. Если $R$ — радиус сферы, то высота цилиндра $H = 2R$, а радиус его основания $r = R$.

Типичные задачи:

• Найти объем или площадь поверхности описанного цилиндра по известному радиусу сферы.
• Найти отношение объемов или площадей поверхностей сферы и описанного около нее цилиндра (например, отношение объемов равно $V_{сферы}/V_{цил} = (\frac{4}{3}\pi R^3) / (\pi R^2 \cdot 2R) = 2/3$).

Ответ: можно решать задачи на нахождение параметров (радиуса, высоты), объемов и площадей поверхностей вписанных и описанных цилиндров, используя связь между их элементами через теорему Пифагора в осевом сечении, а также решать задачи на нахождение отношений их объемов и площадей.

Сфера и конус

1. Конус, вписанный в сферу.

Конус вписан в сферу, если его вершина и окружность основания лежат на сфере.

Аналогия: равнобедренный треугольник, вписанный в окружность (осевое сечение).

Решение: Осевое сечение — равнобедренный треугольник, вписанный в большую окружность сферы. Если $R$ — радиус сферы, $r$ — радиус основания конуса, $H$ — его высота, то выполняется соотношение $r^2 = H(2R-H)$. Оно получается из свойства пересекающихся хорд или из теоремы Пифагора для треугольника с вершинами в центре сферы, центре основания конуса и точке на окружности основания: $R^2 = r^2 + (H-R)^2$.

Типичные задачи:

• Зная радиус сферы и один из параметров конуса ($H$, $r$ или образующую $l$), найти другие его параметры, объем и площадь поверхности.
• Задачи на оптимизацию: найти конус наибольшего объема, который можно вписать в данную сферу.

2. Конус, описанный около сферы.

Конус описан около сферы, если его основание и боковая поверхность касаются сферы.

Аналогия: равнобедренный треугольник, описанный около окружности (осевое сечение).

Решение: Осевое сечение — равнобедренный треугольник, описанный около большой окружности сферы. Радиус сферы является радиусом вписанной в этот треугольник окружности. Если $R$ — радиус сферы, $r$ — радиус основания конуса, $H$ — его высота, $l$ — образующая, то из подобия прямоугольных треугольников в сечении или через формулу площади треугольника ($S = p \cdot R$) можно получить соотношения, связывающие эти величины, например: $R = \frac{rH}{r+l}$.

Типичные задачи:

• По двум известным элементам конуса (например, $H$ и $r$) найти радиус вписанной сферы.
• Зная радиус сферы и один из параметров конуса, найти его объем.
• Задачи на оптимизацию: найти конус наименьшего объема, описанный около данной сферы.

Ответ: можно решать задачи на нахождение параметров, объемов и площадей поверхностей вписанных и описанных конусов, сводя их к планиметрическим задачам для вписанных и описанных равнобедренных треугольников в осевом сечении и используя теорему Пифагора, подобие треугольников и тригонометрические соотношения.