Номер 10, страница 226 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

К § 10 «Усечённый конус»

Напишите программу, которая для данного усечённого конуса строит его развёртку и вычисляет площадь его полной поверхности. Какие нужны входные параметры для описания усечённого конуса?

Для решения задачи необходимо определить минимальный набор параметров, однозначно задающих усеченный конус, вывести формулы для расчета площади его полной поверхности и описать алгоритм построения развертки.

Усеченный конус — это тело вращения, полученное вращением прямоугольной трапеции вокруг ее боковой стороны, перпендикулярной основаниям. Для его однозначного описания достаточно трех параметров. Наиболее удобным набором являются:

• $R$ — радиус большего (нижнего) основания;
• $r$ — радиус меньшего (верхнего) основания;
• $h$ — высота усеченного конуса.

Альтернативно, можно использовать радиусы $R$ и $r$ и образующую $l$, но высота $h$ является более интуитивным параметром при построении. Зная $R, r, h$, всегда можно найти образующую $l$ по теореме Пифагора для прямоугольной трапеции в осевом сечении: $l = \sqrt{h^2 + (R-r)^2}$.

Ответ: Для описания усеченного конуса необходимы три входных параметра: радиус большего основания ($R$), радиус меньшего основания ($r$) и высота ($h$).

Площадь полной поверхности усеченного конуса ($S_{полн}$) складывается из площадей двух оснований (верхнего и нижнего) и площади боковой поверхности.

1. Площадь нижнего основания ($S_{нижн}$) — это площадь круга радиусом $R$: $S_{нижн} = \pi R^2$.
2. Площадь верхнего основания ($S_{верхн}$) — это площадь круга радиусом $r$: $S_{верхн} = \pi r^2$.
3. Площадь боковой поверхности ($S_{бок}$) вычисляется по формуле: $S_{бок} = \pi (R+r)l$, где $l$ — длина образующей.

Образующую $l$ находим из высоты $h$ и радиусов $R$ и $r$:

$l = \sqrt{h^2 + (R-r)^2}$

Итоговая формула для площади полной поверхности:

$S_{полн} = S_{нижн} + S_{верхн} + S_{бок} = \pi R^2 + \pi r^2 + \pi (R+r)l$

Подставляя выражение для $l$, получаем окончательную формулу через входные параметры:

$S_{полн} = \pi R^2 + \pi r^2 + \pi (R+r)\sqrt{h^2 + (R-r)^2}$

Ответ: Площадь полной поверхности усеченного конуса вычисляется по формуле $S_{полн} = \pi (R^2 + r^2 + (R+r)\sqrt{h^2 + (R-r)^2})$.

Развертка усеченного конуса состоит из трех частей:

• Два круга: один радиусом $R$ (нижнее основание) и второй радиусом $r$ (верхнее основание).
• Часть кольца (сектор кольца), которая является разверткой боковой поверхности.

Для построения сектора кольца нужно определить его параметры: внешний радиус $L$, внутренний радиус $L_1$ и центральный угол $\alpha$. Эти параметры соответствуют образующим полного конуса, из которого получен усеченный.

Рассмотрим осевое сечение. Из подобия треугольников получаем соотношение:

$\frac{L_1}{r} = \frac{L}{R} = \frac{L-L_1}{R-r}$

Так как $l = L - L_1$, то $L = l \frac{R}{R-r}$ и $L_1 = l \frac{r}{R-r}$. (Эти формулы не работают, если $R=r$, т.е. для цилиндра, этот случай нужно обработать отдельно).

Угол сектора $\alpha$ (в радианах) находится из условия, что длина дуги внешнего радиуса $L$ должна быть равна длине окружности нижнего основания конуса ($2\pi R$):

$\alpha L = 2\pi R \implies \alpha = \frac{2\pi R}{L} = \frac{2\pi(R-r)}{l}$

Таким образом, программа должна выполнять следующие шаги:

1. Получить на вход значения $R, r, h$.
2. Проверить корректность ввода ($R > 0, r > 0, h > 0, R \ge r$).
3. Вычислить образующую усеченного конуса: $l = \sqrt{h^2 + (R-r)^2}$.
4. Вычислить площадь полной поверхности по формуле: $S_{полн} = \pi (R^2 + r^2 + (R+r)l)$.
5. Вычислить параметры для построения развертки:
   • Радиусы кругов-оснований: $R$ и $r$.
   • Если $R=r$ (цилиндр), то боковая поверхность - это прямоугольник со сторонами $h$ и $2\pi R$.
   • Если $R>r$, вычислить параметры сектора кольца:
     • Внешний радиус: $L = l \cdot R / (R-r)$.
     • Внутренний радиус: $L_1 = l \cdot r / (R-r)$.
     • Угол сектора в радианах: $\alpha = 2\pi(R-r)/l$.
6. Вывести рассчитанную площадь и параметры для построения развертки.

Пример реализации на языке Python:

import mathdef calculate_truncated_cone(R, r, h): # Проверка на корректность входных данных if R <= 0 or r <= 0 or h <= 0 or R < r: print("Ошибка: неверные параметры. R и r должны быть больше 0, R должен быть >= r.") return # 1. Вычисление образующей l = math.sqrt(h**2 + (R - r)**2) # 2. Вычисление площади полной поверхности S_base1 = math.pi * R**2 S_base2 = math.pi * r**2 S_lateral = math.pi * (R + r) * l S_total = S_base1 + S_base2 + S_lateral print(f"--- Результаты для усеченного конуса (R={R}, r={r}, h={h}) ---") print(f"Образующая (l): {l:.4f}") print(f"Площадь полной поверхности (S_полн): {S_total:.4f}") print("\n--- Параметры для построения развёртки ---") print(f"1. Нижнее основание: круг радиусом {R}") print(f"2. Верхнее основание: круг радиусом {r}") # 3. Параметры боковой поверхности if R == r: # Это цилиндр print("3. Боковая поверхность: прямоугольник со сторонами " \ f"{h:.4f} (высота) и {2 * math.pi * R:.4f} (длина окружности основания)") else: # Это усеченный конус L_full = l * R / (R - r) L_cut = l * r / (R - r) alpha_rad = 2 * math.pi * (R - r) / l alpha_deg = math.degrees(alpha_rad) print("3. Боковая поверхность: сектор кольца со следующими параметрами:") print(f" - Внешний радиус (образующая полного конуса L): {L_full:.4f}") print(f" - Внутренний радиус (образующая отсеченного конуса L1): {L_cut:.4f}") print(f" - Угол сектора (alpha): {alpha_rad:.4f} радиан ({alpha_deg:.2f} градусов)")# Пример вызова функцииcalculate_truncated_cone(R=6, r=3, h=4)

Ответ: Программа должна запрашивать у пользователя радиусы оснований $R$ и $r$ и высоту $h$, затем по приведенным выше формулам вычислять площадь полной поверхности, а также параметры для графического построения развертки (радиусы двух кругов и параметры сектора кольца: внешний и внутренний радиусы и угол), после чего выводить эти данные пользователю.