Номер 5, страница 224 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

К § 5 «Скалярное произведение векторов»

Добавьте к набору подпрограмм для работы с векторами подпрограммы:

1) нахождения скалярного произведения двух векторов;

2) нахождения угла между двумя векторами.

Для добавления в набор подпрограмм для работы с векторами можно реализовать следующие две подпрограммы, основываясь на математических определениях скалярного произведения и угла между векторами.

1) нахождения скалярного произведения двух векторов;

Скалярное произведение (или точечное произведение) двух векторов является скалярной величиной (числом), которое характеризует, как два вектора соотносятся друг с другом по направлению.

Для двух векторов $\vec{a} = (a_1, a_2, \dots, a_n)$ и $\vec{b} = (b_1, b_2, \dots, b_n)$ в n-мерном пространстве их скалярное произведение $\vec{a} \cdot \vec{b}$ вычисляется как сумма произведений их соответствующих координат.

Формула для вычисления скалярного произведения:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2 + \dots + a_n b_n = \sum_{i=1}^{n} a_i b_i$

Например, для трехмерного пространства с векторами $\vec{a} = (a_x, a_y, a_z)$ и $\vec{b} = (b_x, b_y, b_z)$ формула выглядит так:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z$

Алгоритм подпрограммы:

1. Получить на вход два вектора (например, в виде массивов их координат).
2. Проверить, что векторы имеют одинаковую размерность. В случае несоответствия, обработать ошибку.
3. Инициализировать переменную, хранящую результат, нулевым значением.
4. В цикле перебрать все компоненты векторов, на каждом шаге умножая соответствующие координаты ($a_i$ на $b_i$) и добавляя результат к итоговой сумме.
5. Вернуть вычисленную сумму.

Ответ: Подпрограмма для нахождения скалярного произведения двух векторов должна принимать на вход их координаты, поэлементно их перемножать и возвращать сумму этих произведений, используя формулу $\vec{a} \cdot \vec{b} = \sum_{i=1}^{n} a_i b_i$.

2) нахождения угла между двумя векторами.

Угол между двумя ненулевыми векторами можно найти, используя определение скалярного произведения через модули векторов и косинус угла между ними.

Геометрическое определение скалярного произведения:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos(\theta)$

где $|\vec{a}|$ и $|\vec{b}|$ — это модули (длины) векторов, а $\theta$ — угол между ними.

Модуль вектора $\vec{a} = (a_1, a_2, \dots, a_n)$ вычисляется по формуле:

$|\vec{a}| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + \dots + a_n^2} = \sqrt{\sum_{i=1}^{n} a_i^2}$

Из геометрического определения можно выразить косинус угла $\theta$:

$\cos(\theta) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|}$

Сам угол $\theta$ находится путем взятия арккосинуса от полученного значения:

$\theta = \arccos\left(\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|}\right)$

Результат обычно получается в радианах. Для перевода в градусы можно использовать формулу: $\text{градусы} = \text{радианы} \times \frac{180}{\pi}$.

Алгоритм подпрограммы:

1. Получить на вход два вектора.
2. Вычислить скалярное произведение векторов $\vec{a} \cdot \vec{b}$ (можно использовать подпрограмму из пункта 1).
3. Вычислить модуль вектора $\vec{a}$ и модуль вектора $\vec{b}$.
4. Проверить, не равен ли какой-либо из модулей нулю. Если один из векторов нулевой, угол между ними не определен, и следует обработать эту ситуацию (например, вернуть ошибку), чтобы избежать деления на ноль.
5. Вычислить косинус угла, разделив скалярное произведение на произведение модулей.
6. Применить к результату математическую функцию арккосинуса (`acos`) для нахождения угла в радианах.
7. Вернуть полученное значение угла.

Ответ: Подпрограмма для нахождения угла между двумя векторами должна вычислить их скалярное произведение и модули, а затем найти угол по формуле $\theta = \arccos\left(\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|}\right)$, предварительно убедившись, что модули векторов не равны нулю.