Номер 4, страница 224 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

К § 4 «Умножение вектора на число. Гомотетия»

1. Добавьте к набору подпрограмм для работы с векторами подпрограмму умножения вектора на число.

2. Напишите программу для нахождения образа данной точки при гомотетии с данным центром и данным коэффициентом. Используйте ранее созданные подпрограммы для работы с векторами.

1.

Умножение вектора $\vec{a} = (a_x, a_y)$ на число (скаляр) $k$ — это операция, результатом которой является новый вектор $\vec{b}$. Этот вектор коллинеарен исходному вектору $\vec{a}$, его длина равна $|\vec{a}| \cdot |k|$, а направление совпадает с направлением $\vec{a}$ при $k > 0$ и противоположно ему при $k < 0$. Координаты результирующего вектора вычисляются путем умножения каждой координаты исходного вектора на скаляр $k$:

$\vec{b} = k \cdot \vec{a} = (k \cdot a_x, k \cdot a_y)$

Подпрограмма для выполнения этой операции должна принимать на вход вектор и число, а возвращать новый вектор, являющийся их произведением. Ниже приведен пример реализации такой подпрограммы на языке Python, где вектор представлен в виде кортежа (tuple) из двух чисел.

# Вектор представлен как кортеж (x, y)# Скаляр - это число (int или float)def multiply_vector_by_scalar(vector, scalar): "" Умножает двумерный вектор на скаляр. :param vector: Кортеж (x, y), представляющий вектор. :param scalar: Число, на которое умножается вектор. :return: Новый кортеж, представляющий результирующий вектор. "" x, y = vector result_x = x * scalar result_y = y * scalar return (result_x, result_y)# Пример использования:# vec_a = (3, -5)# k = 2# vec_b = multiply_vector_by_scalar(vec_a, k)# print(f"Вектор {vec_a} умноженный на {k} равен {vec_b}")# Вывод: Вектор (3, -5) умноженный на 2 равен (6, -10) 

Ответ: Подпрограмма умножения вектора на число может быть реализована, как показано в коде выше. Она принимает вектор и скаляр, и возвращает новый вектор, каждая координата которого является произведением соответствующей координаты исходного вектора и скаляра.

2.

Гомотетия — это преобразование плоскости (или пространства), задаваемое центром $C$ и коэффициентом $k \neq 0$. При этом преобразовании любая точка $A$ переходит в точку $A'$ так, что выполняется векторное равенство:

$\vec{CA'} = k \cdot \vec{CA}$

Используя радиус-векторы точек (векторы, идущие из начала координат в данную точку), это равенство можно записать как $\vec{r}_{A'} - \vec{r}_C = k \cdot (\vec{r}_A - \vec{r}_C)$, где $\vec{r}_P$ — радиус-вектор точки $P$. Выразив отсюда радиус-вектор искомой точки $A'$, получим формулу для вычислений:

$\vec{r}_{A'} = \vec{r}_C + k \cdot (\vec{r}_A - \vec{r}_C)$

Эта формула показывает, что для нахождения координат точки $A'$ необходимо выполнить следующие векторные операции:

1. Вычитание векторов: найти вектор $\vec{CA}$, вычитая из радиус-вектора точки $A$ радиус-вектор центра $C$.
2. Умножение вектора на число: умножить полученный вектор $\vec{CA}$ на коэффициент $k$.
3. Сложение векторов: сложить радиус-вектор центра $C$ с вектором, полученным на предыдущем шаге.

Для написания программы необходимо использовать набор подпрограмм для работы с векторами. Предположим, что у нас есть следующие подпрограммы: сложение векторов, вычитание векторов и умножение вектора на число (реализованная в пункте 1). Ниже представлена полная программа на Python для нахождения образа точки при гомотетии.

# --- Набор подпрограмм для работы с векторами ---# Точки и векторы представляются как кортежи (x, y)def add_vectors(v1, v2): ""Складывает два вектора."" return (v1[0] + v2[0], v1[1] + v2[1])def subtract_vectors(v1, v2): ""Вычитает второй вектор из первого."" return (v1[0] - v2[0], v1[1] - v2[1])def multiply_vector_by_scalar(vector, scalar): ""Умножает вектор на скаляр."" return (vector[0] * scalar, vector[1] * scalar)# --- Основная программа для нахождения образа точки при гомотетии ---def find_homothety_image(point_A, center_C, k): "" Находит образ точки A при гомотетии с центром C и коэффициентом k. :param point_A: Кортеж (x, y) с координатами исходной точки. :param center_C: Кортеж (x, y) с координатами центра гомотетии. :param k: Коэффициент гомотетии (число). :return: Кортеж (x, y) с координатами образа точки. "" # Шаг 1: Найти вектор CA = A - C vector_CA = subtract_vectors(point_A, center_C) # Шаг 2: Умножить вектор CA на коэффициент k scaled_vector = multiply_vector_by_scalar(vector_CA, k) # Шаг 3: Найти образ A' = C + k * CA point_A_prime = add_vectors(center_C, scaled_vector) return point_A_prime# --- Пример использования программы ---# Входные данныеpoint = (4, 5)center = (1, 2)coefficient = 3# Вычислениеimage_point = find_homothety_image(point, center, coefficient)# Вывод результата# print(f"Исходная точка A: {point}")# print(f"Центр гомотетии C: {center}")# print(f"Коэффициент k: {coefficient}")# print(f"Образ точки A': {image_point}")# Ожидаемый результат:# vector_CA = (4-1, 5-2) = (3, 3)# scaled_vector = 3 * (3, 3) = (9, 9)# A' = (1, 2) + (9, 9) = (10, 11) 

Ответ: Программа для нахождения образа точки при гомотетии, использующая ранее созданные подпрограммы для работы с векторами, представлена в коде выше. Основная функция `find_homothety_image` принимает исходную точку, центр гомотетии и коэффициент, после чего, в соответствии с векторной формулой, вычисляет и возвращает координаты новой точки.