Номер 8, страница 225 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

K § 8 «Комбинации цилиндра и призмы»

1. Каким образом можно задать цилиндр и призму в структурах изучаемого языка программирования, чтобы можно было создать программу для определения, является ли одно из этих тел вписанным в другое? Какие подпрограммы для этого нужны?

2. Реализация программ, описанных в предыдущем задании, сложна в первую очередь потому, что вам неизвестно уравнение окружности в пространстве. Как можно обойти эту проблему? Указание. Представьте окружность как ГМТ, принадлежащих данной плоскости и находящихся на данном расстоянии от данной точки — центра окружности.

1.

Чтобы задать цилиндр и призму в структурах языка программирования и создать программу для определения их вписанности, необходимо определить их через минимальный набор геометрических параметров. В качестве основы будем использовать трехмерные векторы и точки.

Определение структур данных:

1. Точка в пространстве (Point3D): структура с тремя координатами.
struct Point3D { float x, y, z; };

2. Вектор в пространстве (Vector3D): структура с тремя компонентами. Часто совпадает со структурой точки.
struct Vector3D { float x, y, z; };

3. Цилиндр (Cylinder): Для определения прямого кругового цилиндра достаточно задать центр его основания, радиус, высоту и вектор оси.
struct Cylinder { Point3D base_center; Vector3D axis_direction; float radius; float height; };
Вектор axis_direction задает направление оси и должен быть единичным (нормализованным) для удобства расчетов.

4. Призма (Prism): Для определения прямой призмы достаточно задать вершины ее основания (многоугольник) и высоту. Ось призмы будет перпендикулярна плоскости основания.
struct Prism { Point3D[] base_vertices; float height; };
Здесь base_vertices — это массив точек, задающих многоугольник в основании. Для вычислений также потребуется знать нормаль к плоскости основания.

Необходимые подпрограммы (функции):

Для определения, вписано ли одно тело в другое, нужны две основные функции-предикаты и несколько вспомогательных:

А. Проверка, вписана ли призма в цилиндр (isPrismInscribedInCylinder):

Призма вписана в цилиндр, если ее основания вписаны в основания цилиндра. Для прямой призмы и прямого цилиндра это означает:

• Оси призмы и цилиндра совпадают.
• Высоты равны.
• Все вершины основания призмы лежат на окружности основания цилиндра.

Подпрограммы:

• getPrismAxis(Prism p): вычисляет ось призмы (например, по центру масс основания и нормали).
• areAxesCollinear(Cylinder c, Prism p): проверяет, совпадают ли оси.
• distance(Point3D p1, Point3D p2): вычисляет расстояние между двумя точками.
• Основная функция isPrismInscribedInCylinder(Prism p, Cylinder c) будет проверять, что расстояние от центра основания цилиндра до каждой вершины основания призмы в точности равно радиусу цилиндра (с учетом погрешности вычислений), а также равенство высот и коллинеарность осей.

Б. Проверка, вписан ли цилиндр в призму (isCylinderInscribedInPrism):

Цилиндр вписан в призму, если его основания вписаны в основания призмы, а боковая поверхность касается всех боковых граней призмы.

• Оси призмы и цилиндра совпадают.
• Высоты равны.
• Окружность основания цилиндра касается всех сторон многоугольника в основании призмы.

Подпрограммы:

• distancePointToLineSegment(Point3D point, Point3D line_start, Point3D line_end): вычисляет расстояние от точки (центра основания цилиндра) до отрезка (стороны многоугольника в основании призмы).
• Основная функция isCylinderInscribedInPrism(Cylinder c, Prism p) будет проверять, что расстояние от центра основания цилиндра до каждой стороны многоугольника основания призмы равно радиусу цилиндра, а также высоты и оси.

Таким образом, основной набор подпрограмм включает функции для базовых векторных и геометрических операций (расстояние между точками, расстояние от точки до прямой, проверка коллинеарности векторов) и две главные логические функции, которые используют их для проверки условий вписанности.

Ответ: Для задания цилиндра и призмы используются структуры данных, хранящие их ключевые геометрические параметры: для цилиндра – центр основания, радиус, высота и вектор оси; для призмы – вершины основания и высота. Необходимы подпрограммы для проверки условий вписанности: одна для случая "призма в цилиндре" (проверяет, что вершины призмы лежат на окружности цилиндра) и другая для случая "цилиндр в призме" (проверяет, что окружность цилиндра касается всех сторон основания призмы), а также вспомогательные функции для вычисления расстояний и проверки совпадения осей.

2.

Проблема реализации заключается в том, что окружность в трехмерном пространстве не задается одним простым уравнением, как на плоскости. Она является пересечением сферы и плоскости, что приводит к системе уравнений:

$ \begin{cases} (x-x_c)^2 + (y-y_c)^2 + (z-z_c)^2 = R^2 & \text{(уравнение сферы)} \\ A(x-x_p) + B(y-y_p) + C(z-z_p) = 0 & \text{(уравнение плоскости)} \end{cases} $

Работать с такой системой в коде неудобно и вычислительно затратно.

Обойти эту проблему можно, следуя указанию: представить окружность как геометрическое место точек (ГМТ), удовлетворяющих двум условиям одновременно. Пусть окружность задана центром $C$, радиусом $R$ и лежит в плоскости с нормалью $\vec{n}$.

Тогда любая точка $P$ принадлежит этой окружности, если и только если выполняются два условия:

1. Точка $P$ лежит в той же плоскости, что и окружность.
Это можно проверить с помощью скалярного произведения. Вектор $\vec{CP}$ (от центра окружности до точки $P$) должен быть перпендикулярен вектору нормали $\vec{n}$ к плоскости. Математически это записывается как:
$\vec{CP} \cdot \vec{n} = 0$
В координатах, если $C=(x_c, y_c, z_c)$, $P=(x_p, y_p, z_p)$ и $\vec{n}=(A, B, C)$, то условие выглядит так: $A(x_p-x_c) + B(y_p-y_c) + C(z_p-z_c) = 0$.

2. Точка $P$ находится на расстоянии $R$ от центра $C$.
Это стандартное условие для расстояния между двумя точками. Длина вектора $\vec{CP}$ должна быть равна радиусу $R$.
$|\vec{CP}| = R$
или, чтобы избежать извлечения корня, в квадратах:
$|\vec{CP}|^2 = R^2$, что в координатах равно $(x_p-x_c)^2 + (y_p-y_c)^2 + (z_p-z_c)^2 = R^2$.

Этот подход разбивает сложную задачу на две простые и понятные геометрические проверки, которые легко реализуются в программе. Например, чтобы проверить, лежит ли вершина призмы $V$ на окружности основания цилиндра (с центром $C$, радиусом $R$ и осью $\vec{a}$), нужно просто выполнить две проверки:

1. $\vec{CV} \cdot \vec{a} \approx 0$ (вершина лежит в плоскости основания).
2. $|\vec{CV}| \approx R$ (вершина на нужном расстоянии от центра).

Такой подход является прямым переводом геометрического определения окружности в код и не требует работы со сложными аналитическими уравнениями.

Ответ: Проблему можно обойти, если не использовать общее уравнение окружности в пространстве, а определять принадлежность точки к окружности через проверку двух условий: 1) точка должна лежать в плоскости окружности (проверяется через скалярное произведение вектора от центра к точке и нормали к плоскости, которое должно быть равно нулю); 2) точка должна находиться на заданном расстоянии (радиусе) от центра окружности (проверяется вычислением расстояния между точками).