Номер 7, страница 225 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

K § 7 «Цилиндр»

1. Напишите программу, которая по данным радиусу основания и высоте цилиндра:

1) вычисляет площадь его боковой поверхности и площадь его полной поверхности;

2) строит на экране компьютера изображение развёртки цилиндра и подписывает соответствующие размеры.

2. Представьте окружность как результат вращения точки вокруг центра окружности. Пользуясь этим представлением, напишите подпрограмму для изображения окружности в декартовой системе координат, если эта окружность расположена в плоскости, параллельной одной из координатных плоскостей.

3. Пользуясь подпрограммой, созданной в задании 2, напишите программу для построения «каркасного» изображения цилиндра в декартовой системе координат на экране компьютера. Предусмотрите как можно больше вариантов расположения цилиндра.

1.

Программа для работы с параметрами цилиндра (радиус основания $R$ и высота $H$) будет состоять из двух частей: вычислительной и графической.

1) вычисляет площадь его боковой поверхности и площадь его полной поверхности;

Для вычисления площадей используются следующие формулы:
- Площадь боковой поверхности цилиндра: $S_{бок} = 2 \pi R H$. Она равна площади прямоугольника в развёртке, одна сторона которого — высота цилиндра $H$, а другая — длина окружности основания $L = 2 \pi R$.
- Площадь основания (круга): $S_{осн} = \pi R^2$.
- Площадь полной поверхности цилиндра — это сумма площади боковой поверхности и площадей двух оснований: $S_{полн} = S_{бок} + 2 \cdot S_{осн} = 2 \pi R H + 2 \pi R^2 = 2 \pi R (H + R)$.

Программа должна запрашивать у пользователя значения $R$ и $H$, а затем выводить рассчитанные значения $S_{бок}$ и $S_{полн}$. Ниже представлен псевдокод этой части программы:

// Подключение математической библиотеки для использования числа π
подключить math

// Ввод данных от пользователя
Ввести R // Радиус основания
Ввести H // Высота цилиндра

// Расчет площадей
S_бок = 2 * math.pi * R * H
S_полн = 2 * math.pi * R * (R + H)

// Вывод результатов
Вывести "Площадь боковой поверхности: ", S_бок
Вывести "Площадь полной поверхности: ", S_полн


2) строит на экране компьютера изображение развёртки цилиндра и подписывает соответствующие размеры.

Развёртка цилиндра состоит из одного прямоугольника (боковая поверхность) и двух кругов (основания).
- Прямоугольник имеет размеры $H \times (2 \pi R)$.
- Круги имеют радиус $R$.
Графическая часть программы должна нарисовать эти три фигуры и добавить текстовые подписи с их размерами. Для этого потребуется использовать какую-либо графическую библиотеку.

Псевдокод для построения развёртки:

// Предполагается наличие функций для рисования:
// нарисовать_прямоугольник(x, y, ширина, высота)
// нарисовать_круг(центр_x, центр_y, радиус)
// нарисовать_текст(x, y, текст)

// Размеры из предыдущей части (R, H)
ширина_прямоугольника = 2 * math.pi * R
высота_прямоугольника = H

// Задаем начальные координаты для удобного расположения на экране
x0 = 50
y0 = 150

// Рисуем прямоугольник
нарисовать_прямоугольник(x0, y0, ширина_прямоугольника, высота_прямоугольника)

// Рисуем круги (основания) над и под прямоугольником
центр_x_круга = x0 + ширина_прямоугольника / 2
нарисовать_круг(центр_x_круга, y0 - R - 20, R) // Верхний круг
нарисовать_круг(центр_x_круга, y0 + высота_прямоугольника + R + 20, R) // Нижний круг

// Подписываем размеры
нарисовать_текст(x0 + ширина_прямоугольника / 2, y0 - 2 * R - 30, "Радиус R = " + R)
нарисовать_текст(x0 - 30, y0 + высота_прямоугольника / 2, "Высота H = " + H)
нарисовать_текст(x0 + ширина_прямоугольника / 2, y0 + высота_прямоугольника + 10, "Длина 2πR = " + round(ширина_прямоугольника, 2))


Ответ: Программа должна сначала запросить радиус и высоту цилиндра, затем по математическим формулам рассчитать и вывести площадь боковой и полной поверхностей. После этого, используя графические примитивы, она должна нарисовать развёртку цилиндра, состоящую из прямоугольника размером $H \times 2\pi R$ и двух кругов радиуса $R$, и подписать эти размеры на изображении.

2.

Окружность можно представить как траекторию точки, которая вращается на постоянном расстоянии (радиус $R$) вокруг фиксированной точки (центра $C$). В декартовой системе координат положение такой точки можно описать с помощью параметрических уравнений, используя угол поворота $\alpha$.

Для окружности в плоскости XY с центром в точке $(x_c, y_c)$ и радиусом $R$ координаты $(x, y)$ любой её точки выражаются через угол $\alpha$ (от $0$ до $2\pi$):
$x = x_c + R \cdot \cos(\alpha)$
$y = y_c + R \cdot \sin(\alpha)$

Чтобы нарисовать окружность, можно итерировать угол $\alpha$ с малым шагом от $0$ до $2\pi$ и соединять последовательные вычисленные точки короткими отрезками.

Задача требует написать подпрограмму для изображения окружности в 3D-пространстве, лежащей в плоскости, параллельной одной из координатных плоскостей (XY, YZ или XZ). Это означает, что одна из координат для всех точек окружности будет постоянной.

Псевдокод подпрограммы (функции), которая принимает центр окружности $(x_c, y_c, z_c)$, радиус $R$ и ориентацию плоскости:

// Предполагается наличие функции нарисовать_линию_3D(x1, y1, z1, x2, y2, z2)

функция нарисовать_окружность(центр, радиус, плоскость):
xc, yc, zc = центр.x, центр.y, центр.z
R = радиус
количество_сегментов = 100 // Точность аппроксимации
шаг_угла = 2 * math.pi / количество_сегментов

// Вычисляем координаты первой точки
предыдущая_точка = вычислить_точку(0, центр, R, плоскость)

для i от 1 до количество_сегментов:
угол = i * шаг_угла
текущая_точка = вычислить_точку(угол, центр, R, плоскость)
нарисовать_линию_3D(предыдущая_точка, текущая_точка)
предыдущая_точка = текущая_точка

// Вспомогательная функция для вычисления координат
функция вычислить_точку(угол, центр, R, плоскость):
xc, yc, zc = центр.x, центр.y, центр.z
если плоскость == "XY":
x = xc + R * cos(угол)
y = yc + R * sin(угол)
z = zc
иначе если плоскость == "XZ":
x = xc + R * cos(угол)
y = yc
z = zc + R * sin(угол)
иначе если плоскость == "YZ":
x = xc
y = yc + R * cos(угол)
z = zc + R * sin(угол)
вернуть (x, y, z)


Ответ: Подпрограмма должна принимать в качестве аргументов координаты центра, радиус и строку, указывающую ориентацию плоскости ('XY', 'XZ' или 'YZ'). В цикле по углу от 0 до $2\pi$ она вычисляет координаты точек окружности с помощью параметрических уравнений, в которых одна из координат остается постоянной в зависимости от выбранной плоскости, и соединяет эти точки отрезками.

3.

Для построения «каркасного» изображения цилиндра можно использовать подпрограмму `нарисовать_окружность` из задания 2 для отрисовки двух оснований. Каркас также включает несколько прямых линий (образующих), соединяющих соответствующие точки на окружностях оснований.

Чтобы предусмотреть различные варианты расположения цилиндра, программа должна позволять задавать ориентацию его оси. Будем рассматривать три основных варианта: ось цилиндра параллельна одной из координатных осей (X, Y или Z).

Программа будет принимать следующие параметры:

• Координаты центра одного из оснований $(x_c, y_c, z_c)$.
• Радиус $R$ и высоту $H$.
• Направление оси ('x', 'y' или 'z').

Алгоритм программы:

1. Определить координаты центров обоих оснований. Если ось параллельна, например, оси Z, то центр первого основания будет $(x_c, y_c, z_c)$, а второго — $(x_c, y_c, z_c + H)$.
2. Определить ориентацию плоскостей оснований. Если ось параллельна Z, то основания лежат в плоскостях, параллельных XY.
3. Вызвать подпрограмму `нарисовать_окружность` дважды для каждого из оснований.
4. Нарисовать несколько образующих. Для наглядности достаточно 4 линий, соединяющих точки на "краях" окружностей.

Псевдокод программы:

// Используем подпрограмму нарисовать_окружность из задания 2
// и функцию нарисовать_линию_3D

функция нарисовать_цилиндр(центр_основания, R, H, ось):
xc, yc, zc = центр_основания.x, центр_основания.y, центр_основания.z

// Определяем центры оснований и плоскость в зависимости от оси
если ось == 'z':
центр1 = (xc, yc, zc)
центр2 = (xc, yc, zc + H)
плоскость = "XY"
иначе если ось == 'y':
центр1 = (xc, yc, zc)
центр2 = (xc, yc + H, zc)
плоскость = "XZ"
иначе если ось == 'x':
центр1 = (xc, yc, zc)
центр2 = (xc + H, yc, zc)
плоскость = "YZ"

// 1. Рисуем два основания
нарисовать_окружность(центр1, R, плоскость)
нарисовать_окружность(центр2, R, плоскость)

// 2. Рисуем образующие
для i от 0 до 3:
угол = i * (math.pi / 2)
точка1 = вычислить_точку(угол, центр1, R, плоскость)
точка2 = вычислить_точку(угол, центр2, R, плоскость)
нарисовать_линию_3D(точка1, точка2)


Ответ: Программа для построения каркасного изображения цилиндра использует подпрограмму для рисования окружности. Она рисует два основания-окружности и соединяет их прямыми линиями (образующими). Чтобы предусмотреть различные варианты расположения, программа позволяет задавать ориентацию оси цилиндра параллельно осям X, Y или Z, соответствующим образом вычисляя положения центров оснований и выбирая ориентацию плоскостей для отрисовки окружностей.