Страница 225 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

K § 7 «Цилиндр»

1. Напишите программу, которая по данным радиусу основания и высоте цилиндра:

1) вычисляет площадь его боковой поверхности и площадь его полной поверхности;

2) строит на экране компьютера изображение развёртки цилиндра и подписывает соответствующие размеры.

2. Представьте окружность как результат вращения точки вокруг центра окружности. Пользуясь этим представлением, напишите подпрограмму для изображения окружности в декартовой системе координат, если эта окружность расположена в плоскости, параллельной одной из координатных плоскостей.

3. Пользуясь подпрограммой, созданной в задании 2, напишите программу для построения «каркасного» изображения цилиндра в декартовой системе координат на экране компьютера. Предусмотрите как можно больше вариантов расположения цилиндра.

1.

Программа для работы с параметрами цилиндра (радиус основания $R$ и высота $H$) будет состоять из двух частей: вычислительной и графической.

1) вычисляет площадь его боковой поверхности и площадь его полной поверхности;

Для вычисления площадей используются следующие формулы:
- Площадь боковой поверхности цилиндра: $S_{бок} = 2 \pi R H$. Она равна площади прямоугольника в развёртке, одна сторона которого — высота цилиндра $H$, а другая — длина окружности основания $L = 2 \pi R$.
- Площадь основания (круга): $S_{осн} = \pi R^2$.
- Площадь полной поверхности цилиндра — это сумма площади боковой поверхности и площадей двух оснований: $S_{полн} = S_{бок} + 2 \cdot S_{осн} = 2 \pi R H + 2 \pi R^2 = 2 \pi R (H + R)$.

Программа должна запрашивать у пользователя значения $R$ и $H$, а затем выводить рассчитанные значения $S_{бок}$ и $S_{полн}$. Ниже представлен псевдокод этой части программы:

// Подключение математической библиотеки для использования числа π
подключить math

// Ввод данных от пользователя
Ввести R // Радиус основания
Ввести H // Высота цилиндра

// Расчет площадей
S_бок = 2 * math.pi * R * H
S_полн = 2 * math.pi * R * (R + H)

// Вывод результатов
Вывести "Площадь боковой поверхности: ", S_бок
Вывести "Площадь полной поверхности: ", S_полн


2) строит на экране компьютера изображение развёртки цилиндра и подписывает соответствующие размеры.

Развёртка цилиндра состоит из одного прямоугольника (боковая поверхность) и двух кругов (основания).
- Прямоугольник имеет размеры $H \times (2 \pi R)$.
- Круги имеют радиус $R$.
Графическая часть программы должна нарисовать эти три фигуры и добавить текстовые подписи с их размерами. Для этого потребуется использовать какую-либо графическую библиотеку.

Псевдокод для построения развёртки:

// Предполагается наличие функций для рисования:
// нарисовать_прямоугольник(x, y, ширина, высота)
// нарисовать_круг(центр_x, центр_y, радиус)
// нарисовать_текст(x, y, текст)

// Размеры из предыдущей части (R, H)
ширина_прямоугольника = 2 * math.pi * R
высота_прямоугольника = H

// Задаем начальные координаты для удобного расположения на экране
x0 = 50
y0 = 150

// Рисуем прямоугольник
нарисовать_прямоугольник(x0, y0, ширина_прямоугольника, высота_прямоугольника)

// Рисуем круги (основания) над и под прямоугольником
центр_x_круга = x0 + ширина_прямоугольника / 2
нарисовать_круг(центр_x_круга, y0 - R - 20, R) // Верхний круг
нарисовать_круг(центр_x_круга, y0 + высота_прямоугольника + R + 20, R) // Нижний круг

// Подписываем размеры
нарисовать_текст(x0 + ширина_прямоугольника / 2, y0 - 2 * R - 30, "Радиус R = " + R)
нарисовать_текст(x0 - 30, y0 + высота_прямоугольника / 2, "Высота H = " + H)
нарисовать_текст(x0 + ширина_прямоугольника / 2, y0 + высота_прямоугольника + 10, "Длина 2πR = " + round(ширина_прямоугольника, 2))


Ответ: Программа должна сначала запросить радиус и высоту цилиндра, затем по математическим формулам рассчитать и вывести площадь боковой и полной поверхностей. После этого, используя графические примитивы, она должна нарисовать развёртку цилиндра, состоящую из прямоугольника размером $H \times 2\pi R$ и двух кругов радиуса $R$, и подписать эти размеры на изображении.

2.

Окружность можно представить как траекторию точки, которая вращается на постоянном расстоянии (радиус $R$) вокруг фиксированной точки (центра $C$). В декартовой системе координат положение такой точки можно описать с помощью параметрических уравнений, используя угол поворота $\alpha$.

Для окружности в плоскости XY с центром в точке $(x_c, y_c)$ и радиусом $R$ координаты $(x, y)$ любой её точки выражаются через угол $\alpha$ (от $0$ до $2\pi$):
$x = x_c + R \cdot \cos(\alpha)$
$y = y_c + R \cdot \sin(\alpha)$

Чтобы нарисовать окружность, можно итерировать угол $\alpha$ с малым шагом от $0$ до $2\pi$ и соединять последовательные вычисленные точки короткими отрезками.

Задача требует написать подпрограмму для изображения окружности в 3D-пространстве, лежащей в плоскости, параллельной одной из координатных плоскостей (XY, YZ или XZ). Это означает, что одна из координат для всех точек окружности будет постоянной.

Псевдокод подпрограммы (функции), которая принимает центр окружности $(x_c, y_c, z_c)$, радиус $R$ и ориентацию плоскости:

// Предполагается наличие функции нарисовать_линию_3D(x1, y1, z1, x2, y2, z2)

функция нарисовать_окружность(центр, радиус, плоскость):
xc, yc, zc = центр.x, центр.y, центр.z
R = радиус
количество_сегментов = 100 // Точность аппроксимации
шаг_угла = 2 * math.pi / количество_сегментов

// Вычисляем координаты первой точки
предыдущая_точка = вычислить_точку(0, центр, R, плоскость)

для i от 1 до количество_сегментов:
угол = i * шаг_угла
текущая_точка = вычислить_точку(угол, центр, R, плоскость)
нарисовать_линию_3D(предыдущая_точка, текущая_точка)
предыдущая_точка = текущая_точка

// Вспомогательная функция для вычисления координат
функция вычислить_точку(угол, центр, R, плоскость):
xc, yc, zc = центр.x, центр.y, центр.z
если плоскость == "XY":
x = xc + R * cos(угол)
y = yc + R * sin(угол)
z = zc
иначе если плоскость == "XZ":
x = xc + R * cos(угол)
y = yc
z = zc + R * sin(угол)
иначе если плоскость == "YZ":
x = xc
y = yc + R * cos(угол)
z = zc + R * sin(угол)
вернуть (x, y, z)


Ответ: Подпрограмма должна принимать в качестве аргументов координаты центра, радиус и строку, указывающую ориентацию плоскости ('XY', 'XZ' или 'YZ'). В цикле по углу от 0 до $2\pi$ она вычисляет координаты точек окружности с помощью параметрических уравнений, в которых одна из координат остается постоянной в зависимости от выбранной плоскости, и соединяет эти точки отрезками.

3.

Для построения «каркасного» изображения цилиндра можно использовать подпрограмму `нарисовать_окружность` из задания 2 для отрисовки двух оснований. Каркас также включает несколько прямых линий (образующих), соединяющих соответствующие точки на окружностях оснований.

Чтобы предусмотреть различные варианты расположения цилиндра, программа должна позволять задавать ориентацию его оси. Будем рассматривать три основных варианта: ось цилиндра параллельна одной из координатных осей (X, Y или Z).

Программа будет принимать следующие параметры:

• Координаты центра одного из оснований $(x_c, y_c, z_c)$.
• Радиус $R$ и высоту $H$.
• Направление оси ('x', 'y' или 'z').

Алгоритм программы:

1. Определить координаты центров обоих оснований. Если ось параллельна, например, оси Z, то центр первого основания будет $(x_c, y_c, z_c)$, а второго — $(x_c, y_c, z_c + H)$.
2. Определить ориентацию плоскостей оснований. Если ось параллельна Z, то основания лежат в плоскостях, параллельных XY.
3. Вызвать подпрограмму `нарисовать_окружность` дважды для каждого из оснований.
4. Нарисовать несколько образующих. Для наглядности достаточно 4 линий, соединяющих точки на "краях" окружностей.

Псевдокод программы:

// Используем подпрограмму нарисовать_окружность из задания 2
// и функцию нарисовать_линию_3D

функция нарисовать_цилиндр(центр_основания, R, H, ось):
xc, yc, zc = центр_основания.x, центр_основания.y, центр_основания.z

// Определяем центры оснований и плоскость в зависимости от оси
если ось == 'z':
центр1 = (xc, yc, zc)
центр2 = (xc, yc, zc + H)
плоскость = "XY"
иначе если ось == 'y':
центр1 = (xc, yc, zc)
центр2 = (xc, yc + H, zc)
плоскость = "XZ"
иначе если ось == 'x':
центр1 = (xc, yc, zc)
центр2 = (xc + H, yc, zc)
плоскость = "YZ"

// 1. Рисуем два основания
нарисовать_окружность(центр1, R, плоскость)
нарисовать_окружность(центр2, R, плоскость)

// 2. Рисуем образующие
для i от 0 до 3:
угол = i * (math.pi / 2)
точка1 = вычислить_точку(угол, центр1, R, плоскость)
точка2 = вычислить_точку(угол, центр2, R, плоскость)
нарисовать_линию_3D(точка1, точка2)


Ответ: Программа для построения каркасного изображения цилиндра использует подпрограмму для рисования окружности. Она рисует два основания-окружности и соединяет их прямыми линиями (образующими). Чтобы предусмотреть различные варианты расположения, программа позволяет задавать ориентацию оси цилиндра параллельно осям X, Y или Z, соответствующим образом вычисляя положения центров оснований и выбирая ориентацию плоскостей для отрисовки окружностей.

K § 8 «Комбинации цилиндра и призмы»

1. Каким образом можно задать цилиндр и призму в структурах изучаемого языка программирования, чтобы можно было создать программу для определения, является ли одно из этих тел вписанным в другое? Какие подпрограммы для этого нужны?

2. Реализация программ, описанных в предыдущем задании, сложна в первую очередь потому, что вам неизвестно уравнение окружности в пространстве. Как можно обойти эту проблему? Указание. Представьте окружность как ГМТ, принадлежащих данной плоскости и находящихся на данном расстоянии от данной точки — центра окружности.

1.

Чтобы задать цилиндр и призму в структурах языка программирования и создать программу для определения их вписанности, необходимо определить их через минимальный набор геометрических параметров. В качестве основы будем использовать трехмерные векторы и точки.

Определение структур данных:

1. Точка в пространстве (Point3D): структура с тремя координатами.
struct Point3D { float x, y, z; };

2. Вектор в пространстве (Vector3D): структура с тремя компонентами. Часто совпадает со структурой точки.
struct Vector3D { float x, y, z; };

3. Цилиндр (Cylinder): Для определения прямого кругового цилиндра достаточно задать центр его основания, радиус, высоту и вектор оси.
struct Cylinder { Point3D base_center; Vector3D axis_direction; float radius; float height; };
Вектор axis_direction задает направление оси и должен быть единичным (нормализованным) для удобства расчетов.

4. Призма (Prism): Для определения прямой призмы достаточно задать вершины ее основания (многоугольник) и высоту. Ось призмы будет перпендикулярна плоскости основания.
struct Prism { Point3D[] base_vertices; float height; };
Здесь base_vertices — это массив точек, задающих многоугольник в основании. Для вычислений также потребуется знать нормаль к плоскости основания.

Необходимые подпрограммы (функции):

Для определения, вписано ли одно тело в другое, нужны две основные функции-предикаты и несколько вспомогательных:

А. Проверка, вписана ли призма в цилиндр (isPrismInscribedInCylinder):

Призма вписана в цилиндр, если ее основания вписаны в основания цилиндра. Для прямой призмы и прямого цилиндра это означает:

• Оси призмы и цилиндра совпадают.
• Высоты равны.
• Все вершины основания призмы лежат на окружности основания цилиндра.

Подпрограммы:

• getPrismAxis(Prism p): вычисляет ось призмы (например, по центру масс основания и нормали).
• areAxesCollinear(Cylinder c, Prism p): проверяет, совпадают ли оси.
• distance(Point3D p1, Point3D p2): вычисляет расстояние между двумя точками.
• Основная функция isPrismInscribedInCylinder(Prism p, Cylinder c) будет проверять, что расстояние от центра основания цилиндра до каждой вершины основания призмы в точности равно радиусу цилиндра (с учетом погрешности вычислений), а также равенство высот и коллинеарность осей.

Б. Проверка, вписан ли цилиндр в призму (isCylinderInscribedInPrism):

Цилиндр вписан в призму, если его основания вписаны в основания призмы, а боковая поверхность касается всех боковых граней призмы.

• Оси призмы и цилиндра совпадают.
• Высоты равны.
• Окружность основания цилиндра касается всех сторон многоугольника в основании призмы.

Подпрограммы:

• distancePointToLineSegment(Point3D point, Point3D line_start, Point3D line_end): вычисляет расстояние от точки (центра основания цилиндра) до отрезка (стороны многоугольника в основании призмы).
• Основная функция isCylinderInscribedInPrism(Cylinder c, Prism p) будет проверять, что расстояние от центра основания цилиндра до каждой стороны многоугольника основания призмы равно радиусу цилиндра, а также высоты и оси.

Таким образом, основной набор подпрограмм включает функции для базовых векторных и геометрических операций (расстояние между точками, расстояние от точки до прямой, проверка коллинеарности векторов) и две главные логические функции, которые используют их для проверки условий вписанности.

Ответ: Для задания цилиндра и призмы используются структуры данных, хранящие их ключевые геометрические параметры: для цилиндра – центр основания, радиус, высота и вектор оси; для призмы – вершины основания и высота. Необходимы подпрограммы для проверки условий вписанности: одна для случая "призма в цилиндре" (проверяет, что вершины призмы лежат на окружности цилиндра) и другая для случая "цилиндр в призме" (проверяет, что окружность цилиндра касается всех сторон основания призмы), а также вспомогательные функции для вычисления расстояний и проверки совпадения осей.

2.

Проблема реализации заключается в том, что окружность в трехмерном пространстве не задается одним простым уравнением, как на плоскости. Она является пересечением сферы и плоскости, что приводит к системе уравнений:

$ \begin{cases} (x-x_c)^2 + (y-y_c)^2 + (z-z_c)^2 = R^2 & \text{(уравнение сферы)} \\ A(x-x_p) + B(y-y_p) + C(z-z_p) = 0 & \text{(уравнение плоскости)} \end{cases} $

Работать с такой системой в коде неудобно и вычислительно затратно.

Обойти эту проблему можно, следуя указанию: представить окружность как геометрическое место точек (ГМТ), удовлетворяющих двум условиям одновременно. Пусть окружность задана центром $C$, радиусом $R$ и лежит в плоскости с нормалью $\vec{n}$.

Тогда любая точка $P$ принадлежит этой окружности, если и только если выполняются два условия:

1. Точка $P$ лежит в той же плоскости, что и окружность.
Это можно проверить с помощью скалярного произведения. Вектор $\vec{CP}$ (от центра окружности до точки $P$) должен быть перпендикулярен вектору нормали $\vec{n}$ к плоскости. Математически это записывается как:
$\vec{CP} \cdot \vec{n} = 0$
В координатах, если $C=(x_c, y_c, z_c)$, $P=(x_p, y_p, z_p)$ и $\vec{n}=(A, B, C)$, то условие выглядит так: $A(x_p-x_c) + B(y_p-y_c) + C(z_p-z_c) = 0$.

2. Точка $P$ находится на расстоянии $R$ от центра $C$.
Это стандартное условие для расстояния между двумя точками. Длина вектора $\vec{CP}$ должна быть равна радиусу $R$.
$|\vec{CP}| = R$
или, чтобы избежать извлечения корня, в квадратах:
$|\vec{CP}|^2 = R^2$, что в координатах равно $(x_p-x_c)^2 + (y_p-y_c)^2 + (z_p-z_c)^2 = R^2$.

Этот подход разбивает сложную задачу на две простые и понятные геометрические проверки, которые легко реализуются в программе. Например, чтобы проверить, лежит ли вершина призмы $V$ на окружности основания цилиндра (с центром $C$, радиусом $R$ и осью $\vec{a}$), нужно просто выполнить две проверки:

1. $\vec{CV} \cdot \vec{a} \approx 0$ (вершина лежит в плоскости основания).
2. $|\vec{CV}| \approx R$ (вершина на нужном расстоянии от центра).

Такой подход является прямым переводом геометрического определения окружности в код и не требует работы со сложными аналитическими уравнениями.

Ответ: Проблему можно обойти, если не использовать общее уравнение окружности в пространстве, а определять принадлежность точки к окружности через проверку двух условий: 1) точка должна лежать в плоскости окружности (проверяется через скалярное произведение вектора от центра к точке и нормали к плоскости, которое должно быть равно нулю); 2) точка должна находиться на заданном расстоянии (радиусе) от центра окружности (проверяется вычислением расстояния между точками).

К § 9 «Конус»

1. Напишите программу, которая по данным радиусу основания и высоте конуса:

1) вычисляет площадь его боковой поверхности и площадь его полной поверхности;

2) строит на экране компьютера изображение развёртки конуса и подписывает соответствующие размеры.

2. Пользуясь подпрограммой, созданной в задании 2 к § 7, напишите программу для построения «каркасного» изображения конуса в декартовой системе координат на экране компьютера. Предусмотрите как можно больше вариантов расположения конуса.

1.

Программа, которая по данным радиусу основания $R$ и высоте $H$ конуса выполняет требуемые действия.

1) вычисляет площадь его боковой поверхности и площадь его полной поверхности;

Для вычисления площадей конуса необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти длину образующей конуса $L$. Образующая, высота и радиус основания образуют прямоугольный треугольник, где $L$ является гипотенузой. По теореме Пифагора: $L = \sqrt{R^2 + H^2}$
2. Вычислить площадь боковой поверхности $S_{бок}$. Формула для площади боковой поверхности конуса: $S_{бок} = \pi R L$
3. Вычислить площадь полной поверхности $S_{полн}$. Она равна сумме площади боковой поверхности и площади основания ($S_{осн} = \pi R^2$): $S_{полн} = S_{бок} + S_{осн} = \pi R L + \pi R^2 = \pi R (L + R)$

Ниже приведена программа на языке Python, реализующая эти вычисления.

Ответ:

import mathdef calculate_cone_areas(radius, height): "" Вычисляет площади боковой и полной поверхностей конуса. Аргументы: radius (float): Радиус основания конуса. height (float): Высота конуса. Возвращает: tuple: (Площадь боковой поверхности, Площадь полной поверхности) "" if radius <= 0 or height <= 0: print("Радиус и высота должны быть положительными числами.") return None, None # 1. Вычисляем образующую (L) slant_height = math.sqrt(radius**2 + height**2) # 2. Вычисляем площадь боковой поверхности lateral_area = math.pi * radius * slant_height # 3. Вычисляем площадь полной поверхности total_area = lateral_area + (math.pi * radius**2) print(f"Для конуса с радиусом R = {radius} и высотой H = {height}:") print(f"Образующая L = {slant_height:.4f}") print(f"Площадь боковой поверхности S_бок = {lateral_area:.4f}") print(f"Площадь полной поверхности S_полн = {total_area:.4f}") return lateral_area, total_area# --- Пример использования ---R = 3.0H = 4.0calculate_cone_areas(R, H) 

2) строит на экране компьютера изображение развёртки конуса и подписывает соответствующие размеры.

Развёртка конуса состоит из двух геометрических фигур:

• Круг — это основание конуса. Его радиус равен радиусу основания конуса $R$.
• Круговой сектор — это развёртка боковой поверхности. Радиус этого сектора равен образующей конуса $L$, а длина дуги сектора равна длине окружности основания конуса $C = 2 \pi R$.

Угол сектора $\alpha$ (в радианах) можно найти по формуле длины дуги: $C = L \cdot \alpha$. Отсюда: $\alpha = \frac{2 \pi R}{L}$

Программа ниже, написанная на Python с использованием библиотеки matplotlib, строит развёртку и подписывает ключевые размеры: радиус основания $R$, образующую $L$ и угол сектора $\alpha$.

Ответ:

import mathimport matplotlib.pyplot as pltfrom matplotlib.patches import Circle, Wedge, Arcimport numpy as npdef draw_cone_net(radius, height): "" Строит на экране изображение развёртки конуса с размерами. "" if radius <= 0 or height <= 0: print("Радиус и высота должны быть положительными числами.") return # Вычисляем параметры развёртки slant_height = math.sqrt(radius**2 + height**2) # Угол сектора в радианах angle_rad = (2 * math.pi * radius) / slant_height # Угол сектора в градусах для отрисовки angle_deg = math.degrees(angle_rad) fig, ax = plt.subplots(figsize=(12, 7)) ax.set_aspect('equal', adjustable='box') ax.set_title(f'Развёртка конуса (R={radius}, H={height})') ax.axis('off') # --- 1. Рисуем основание (круг) --- base_center_x = 0 base_center_y = 0 base = Circle((base_center_x, base_center_y), radius, fill=False, edgecolor='blue', lw=2) ax.add_patch(base) # Подписываем радиус R ax.plot([base_center_x, base_center_x + radius], [base_center_y, base_center_y], 'r--') ax.text(base_center_x + radius / 2, base_center_y + 0.1 * radius, f'R = {radius:.2f}', color='red', ha='center', fontsize=12) # --- 2. Рисуем боковую поверхность (сектор) --- # Располагаем сектор справа от круга для наглядности sector_center_x = radius + slant_height + 1 sector_center_y = 0 # Рисуем сектор (клин) с центром в (sector_center_x, sector_center_y) # theta1 и theta2 - начальный и конечный углы в градусах sector = Wedge((sector_center_x, sector_center_y), slant_height, -angle_deg / 2, angle_deg / 2, fill=False, edgecolor='green', lw=2) ax.add_patch(sector) # Подписываем образующую L line_x = sector_center_x + slant_height * np.cos(np.deg2rad(-angle_deg/4)) line_y = sector_center_y + slant_height * np.sin(np.deg2rad(-angle_deg/4)) ax.plot([sector_center_x, line_x], [sector_center_y, line_y], 'r--') ax.text(sector_center_x + slant_height/2 * np.cos(np.deg2rad(-angle_deg/4)), sector_center_y + slant_height/2 * np.sin(np.deg2rad(-angle_deg/4)) + 0.1*slant_height, f'L = {slant_height:.2f}', color='red', ha='center', fontsize=12) # Подписываем угол сектора alpha angle_arc_radius = slant_height * 0.4 angle_arc = Arc((sector_center_x, sector_center_y), angle_arc_radius, angle_arc_radius, theta1=-angle_deg / 2, theta2=angle_deg / 2, color='purple', ls=':') ax.add_patch(angle_arc) ax.text(sector_center_x + angle_arc_radius * 0.7, sector_center_y, f'α = {angle_deg:.1f}°', color='purple', ha='center', va='center', fontsize=12) # Настраиваем пределы отображения ax.set_xlim(-radius - 1, sector_center_x + slant_height + 1) ax.set_ylim(-max(radius, slant_height*np.sin(angle_rad/2)) - 1, max(radius, slant_height) + 1) plt.show()# --- Пример использования ---R = 3.0H = 4.0draw_cone_net(R, H) 

2.

Для построения «каркасного» изображения конуса в декартовой системе координат необходимо нарисовать его основные элементы: эллипс основания (проекция окружности) и несколько образующих, соединяющих точки на окружности основания с вершиной конуса.

В задании упоминается подпрограмма, созданная в "задании 2 к § 7". Так как содержание этой подпрограммы неизвестно, мы будем исходить из предположения, что она решала задачу проекции трёхмерных объектов на двумерный экран. В современном программировании для этого используются готовые графические библиотеки, которые инкапсулируют эту логику. Мы воспользуемся библиотекой matplotlib и её модулем для 3D-графики mplot3d.

Чтобы предусмотреть как можно больше вариантов расположения конуса, программа должна быть параметризована. Основные параметры, определяющие положение и форму конуса в пространстве:

• Размеры: радиус основания $R$ и высота $H$.
• Положение: координаты центра основания base_center = (x_c, y_c, z_c).
• Ориентация: вектор, задающий направление оси конуса от центра основания к вершине, axis_vector = (dx, dy, dz).

Программа ниже определяет функцию, которая принимает эти параметры и строит соответствующий конус. В основной части программы демонстрируется вызов этой функции с различными параметрами для отображения конусов в разных положениях и ориентациях.

Ответ:

import numpy as npimport matplotlib.pyplot as pltdef draw_cone_wireframe(ax, radius, height, base_center, axis_vector): "" Рисует каркасное изображение конуса в 3D. :param ax: Объект осей matplotlib 3D. :param radius: Радиус основания конуса. :param height: Высота конуса. :param base_center: Координаты центра основания (numpy array [x, y, z]). :param axis_vector: Вектор оси конуса от основания к вершине (numpy array [dx, dy, dz]). "" # Нормализуем вектор оси, чтобы его длина была равна 1 axis_vector_norm = axis_vector / np.linalg.norm(axis_vector) # Координаты вершины конуса apex = base_center + height * axis_vector_norm # Для построения окружности основания нам нужны два ортогональных вектора в плоскости основания. # Находим любой вектор, не коллинеарный оси конуса. not_axis = np.array([1, 0, 0]) if (axis_vector_norm == not_axis).all() or (axis_vector_norm == -not_axis).all(): not_axis = np.array([0, 1, 0]) # С помощью векторного произведения находим первый ортогональный вектор u u_vec = np.cross(axis_vector_norm, not_axis) u_vec /= np.linalg.norm(u_vec) # Второй ортогональный вектор v находим через еще одно векторное произведение v_vec = np.cross(axis_vector_norm, u_vec) # Генерируем точки на окружности основания в 3D t = np.linspace(0, 2 * np.pi, 100) base_circle_points = base_center + radius * np.outer(np.cos(t), u_vec) + radius * np.outer(np.sin(t), v_vec) # Рисуем основание (эллипс в проекции) ax.plot(base_circle_points[:, 0], base_circle_points[:, 1], base_circle_points[:, 2], color='blue') # Рисуем образующие num_generators = 12 t_gen = np.linspace(0, 2 * np.pi, num_generators, endpoint=False) generator_points_on_base = base_center + radius * np.outer(np.cos(t_gen), u_vec) + radius * np.outer(np.sin(t_gen), v_vec) for point in generator_points_on_base: ax.plot([apex[0], point[0]], [apex[1], point[1]], [apex[2], point[2]], color='gray', linestyle='--') # Рисуем ось конуса для наглядности ax.plot([base_center[0], apex[0]], [base_center[1], apex[1]], [base_center[2], apex[2]], color='red', linestyle=':') ax.scatter(apex[0], apex[1], apex[2], color='red', s=25, label='Вершина')# --- Основная часть программы для демонстрации различных вариантов ---fig = plt.figure(figsize=(14, 12))fig.suptitle('Примеры расположения каркаса конуса', fontsize=16)# Вариант 1: Стандартный конус, ось вдоль Zax1 = fig.add_subplot(2, 2, 1, projection='3d')ax1.set_title("Ось вдоль Z")draw_cone_wireframe(ax=ax1, radius=2, height=4, base_center=np.array([0, 0, 0]), axis_vector=np.array([0, 0, 1]))# Вариант 2: Конус смещен в пространстве, ось вдоль Yax2 = fig.add_subplot(2, 2, 2, projection='3d')ax2.set_title("Смещенный, ось вдоль Y")draw_cone_wireframe(ax=ax2, radius=1.5, height=3, base_center=np.array([2, 2, 1]), axis_vector=np.array([0, 1, 0]))# Вариант 3: Конус с произвольной ориентацией осиax3 = fig.add_subplot(2, 2, 3, projection='3d')ax3.set_title("Произвольная ориентация")draw_cone_wireframe(ax=ax3, radius=2.5, height=5, base_center=np.array([-1, -1, -1]), axis_vector=np.array([1, 1, 1]))# Вариант 4: "Лежащий на боку" конус, перевернутыйax4 = fig.add_subplot(2, 2, 4, projection='3d')ax4.set_title("Ось вдоль X (перевернут)")draw_cone_wireframe(ax=ax4, radius=3, height=4, base_center=np.array([4, 0, 0]), axis_vector=np.array([-1, 0, 0])) # Вектор направлен в отрицательную сторону X# Настройка общего вида графиковfor ax in [ax1, ax2, ax3, ax4]: ax.set_xlabel('X') ax.set_ylabel('Y') ax.set_zlabel('Z') ax.set_box_aspect([1,1,1]) # Равные масштабы по осям # Установка пределов для сопоставимости ax.set_xlim(-5, 5) ax.set_ylim(-5, 5) ax.set_zlim(-5, 5) ax.view_init(elev=20, azim=40) # Настраиваем угол обзораplt.tight_layout(rect=[0, 0, 1, 0.96])plt.show()