Страница 222 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

22.186. Точки $A$ и $B$ лежат в одной полуплоскости относительно прямой $a$.

a. Найдите на прямой $a$ такую точку $X$, чтобы сумма $AX + XB$ была наименьшей.

Для решения данной задачи используется метод осевой симметрии. Идея состоит в том, чтобы "распрямить" ломаную $AXB$ в отрезок прямой, длина которого и будет наименьшей.

Построение и доказательство:

1. Выберем одну из точек, например, точку $B$, и построим точку $B'$, симметричную ей относительно прямой $a$. Прямая $a$ будет серединным перпендикуляром к отрезку $BB'$.

2. По свойству осевой симметрии, для любой точки $X$, лежащей на прямой $a$, расстояние до симметричных точек $B$ и $B'$ будет одинаковым. То есть, $XB = XB'$.

3. Таким образом, сумма расстояний $AX + XB$, которую нам нужно минимизировать, равна сумме $AX + XB'$.

4. Теперь задача сводится к поиску на прямой $a$ такой точки $X$, чтобы сумма $AX + XB'$ была наименьшей. Поскольку точки $A$ и $B$ лежат в одной полуплоскости, то точки $A$ и $B'$ лежат в разных полуплоскостях. Кратчайшее расстояние между двумя фиксированными точками $A$ и $B'$ — это длина отрезка прямой $AB'$.

5. Наименьшее значение суммы $AX + XB'$ достигается тогда, когда точка $X$ лежит на отрезке $AB'$. Искомая точка $X$ должна одновременно принадлежать и прямой $a$, и отрезку $AB'$. Такая точка является точкой их пересечения.

Для любой другой точки $X_1$ на прямой $a$, не совпадающей с найденной точкой $X$, точки $A$, $X_1$ и $B'$ образуют треугольник. По неравенству треугольника:$AX_1 + X_1B' > AB'$

А так как $AB' = AX + XB'$, то$AX_1 + X_1B' > AX + XB'$

Учитывая, что $X_1B' = X_1B$ и $XB' = XB$, получаем:$AX_1 + X_1B > AX + XB$

Это доказывает, что найденная точка $X$ обеспечивает наименьшую сумму расстояний.

Ответ: Искомая точка $X$ — это точка пересечения прямой $a$ с отрезком $AB'$, где $B'$ — точка, симметричная точке $B$ относительно прямой $a$ (или, что эквивалентно, точка пересечения $a$ с отрезком $A'B$, где $A'$ — точка, симметричная $A$).

22.187. Вершина $A$ квадрата $ABCD$ является центром поворота на угол $90^\circ$. Найдите отрезок $BC_1$, где точка $C_1$ — образ точки $C$ при указанном повороте, если $AB = 1 \text{ см}$.

По условию, нам дан квадрат $ABCD$ со стороной $AB = 1$ см. Вершина $A$ является центром поворота на угол $90^\circ$. Точка $C_1$ — это образ точки $C$ после этого поворота. Нам необходимо найти длину отрезка $BC_1$.

1. Определим свойства поворота.
Поворот является изометрическим преобразованием, то есть он сохраняет расстояния. Расстояние от центра поворота до точки равно расстоянию от центра поворота до ее образа. Таким образом, $AC = AC_1$. Угол, образованный отрезками, соединяющими центр поворота с точкой и ее образом, равен углу поворота. Следовательно, $\angle CAC_1 = 90^\circ$.

2. Найдем длину диагонали $AC$.
Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ABC$ (поскольку $\angle B = 90^\circ$ в квадрате). Стороны квадрата равны, поэтому $AB = BC = 1$ см. По теореме Пифагора: $AC^2 = AB^2 + BC^2 = 1^2 + 1^2 = 2$. Отсюда диагональ $AC = \sqrt{2}$ см. Так как $AC = AC_1$, то $AC_1 = \sqrt{2}$ см.

3. Рассмотрим треугольник $\triangle ACC_1$.
В этом треугольнике мы знаем длины двух сторон $AC = \sqrt{2}$ см, $AC_1 = \sqrt{2}$ см и угол между ними $\angle CAC_1 = 90^\circ$. Это означает, что $\triangle ACC_1$ является равнобедренным прямоугольным треугольником.

4. Рассмотрим треугольник $\triangle BCC_1$.
Для того чтобы найти длину стороны $BC_1$, мы можем применить к этому треугольнику теорему косинусов: $BC_1^2 = BC^2 + CC_1^2 - 2 \cdot BC \cdot CC_1 \cdot \cos(\angle BCC_1)$. Для этого нам нужно найти длину $CC_1$ и угол $\angle BCC_1$.

5. Найдем длину $CC_1$ и угол $\angle BCC_1$.
Длину $CC_1$ найдем из прямоугольного треугольника $\triangle ACC_1$ по теореме Пифагора: $CC_1^2 = AC^2 + AC_1^2 = (\sqrt{2})^2 + (\sqrt{2})^2 = 2 + 2 = 4$. Значит, $CC_1 = \sqrt{4} = 2$ см. Угол $\angle BCC_1$ зависит от направления поворота. Угол $\angle BCA$ — это угол между стороной и диагональю квадрата, он равен $45^\circ$. Угол $\angle ACC_1$ — это угол при основании в равнобедренном прямоугольном треугольнике $\triangle ACC_1$, он также равен $\frac{180^\circ - 90^\circ}{2} = 45^\circ$. В задаче не указано направление поворота. Примем за стандартное направление поворот против часовой стрелки. В этом случае углы складываются: $\angle BCC_1 = \angle BCA + \angle ACC_1 = 45^\circ + 45^\circ = 90^\circ$.

6. Вычислим длину $BC_1$.
Теперь мы знаем, что треугольник $\triangle BCC_1$ — прямоугольный, с катетами $BC = 1$ см и $CC_1 = 2$ см. По теореме Пифагора: $BC_1^2 = BC^2 + CC_1^2 = 1^2 + 2^2 = 1 + 4 = 5$. $BC_1 = \sqrt{5}$ см.

Примечание: Если бы поворот был по часовой стрелке, то угол $\angle BCC_1 = |\angle BCA - \angle ACC_1| = |45^\circ - 45^\circ| = 0^\circ$. Это означало бы, что точки B, C, $C_1$ лежат на одной прямой, и тогда $BC_1 = CC_1 - BC = 2-1 = 1$ см. Однако, по умолчанию, поворот на положительный угол считается поворотом против часовой стрелки.

Ответ: $\sqrt{5}$ см.

22.188. Пусть вершина $A$ равностороннего треугольника $ABC$ является центром поворота на угол $120^\circ$. Найдите отрезок $BC_1$, где точка $C_1$ — образ точки $C$ при указанном повороте, если $AB = 1$ см.

Поскольку треугольник $ABC$ является равносторонним, все его стороны равны, а все углы составляют по $60^\circ$. По условию дано, что $AB = 1$ см, следовательно, $AC = BC = 1$ см, и угол $\angle BAC = 60^\circ$.

Точка $C_1$ является образом точки $C$ при повороте вокруг центра $A$ на угол $120^\circ$. Из определения геометрического поворота следует, что:
1. Расстояние от центра поворота до точки сохраняется. Это значит, что $AC_1 = AC$. Так как $AC = 1$ см, то и $AC_1 = 1$ см.
2. Угол, образованный лучами, проведенными из центра поворота к исходной точке ($C$) и ее образу ($C_1$), равен углу поворота. Таким образом, $\angle CAC_1 = 120^\circ$.

Чтобы найти длину искомого отрезка $BC_1$, рассмотрим треугольник $ABC_1$. В этом треугольнике нам известны длины двух сторон: $AB = 1$ см и $AC_1 = 1$ см. Найдем угол между этими сторонами — $\angle BAC_1$.

Угол $\angle BAC_1$ можно найти, рассмотрев взаимное расположение лучей $AB$, $AC$ и $AC_1$, исходящих из вершины $A$. Угол между $AB$ и $AC$ равен $60^\circ$, а угол между $AC$ и $AC_1$ равен $120^\circ$. Если поворот происходит в направлении, удаляющем точку $C$ от прямой $AB$, то итоговый угол будет равен сумме этих углов:
$\angle BAC_1 = \angle BAC + \angle CAC_1 = 60^\circ + 120^\circ = 180^\circ$.

Так как угол $\angle BAC_1$ равен $180^\circ$, это означает, что точки $B$, $A$ и $C_1$ лежат на одной прямой, причем точка $A$ расположена между точками $B$ и $C_1$.

Следовательно, длина отрезка $BC_1$ равна сумме длин отрезков $BA$ и $AC_1$:
$BC_1 = BA + AC_1 = 1 \text{ см} + 1 \text{ см} = 2 \text{ см}$.

Ответ: 2 см.