Страница 219 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

22.156. Известно, что $\vec{c} = 2\vec{a} - 3\vec{b}$. Найдите $|\vec{c}|$, если $\vec{a}(-1; 1)$, $\vec{b}(-2; 3)$.

Чтобы найти модуль (длину) вектора $\vec{c}$, сначала нужно вычислить его координаты, используя данные координаты векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ и формулу $\vec{c} = 2\vec{a} - 3\vec{b}$.

1. Вычислим координаты вектора $2\vec{a}$. Для этого умножим каждую координату вектора $\vec{a}(-1; 1)$ на скаляр 2:
$2\vec{a} = (2 \cdot (-1); 2 \cdot 1) = (-2; 2)$.

2. Вычислим координаты вектора $3\vec{b}$. Для этого умножим каждую координату вектора $\vec{b}(-2; 3)$ на скаляр 3:
$3\vec{b} = (3 \cdot (-2); 3 \cdot 3) = (-6; 9)$.

3. Теперь найдем координаты вектора $\vec{c}$, вычитая из координат вектора $2\vec{a}$ соответствующие координаты вектора $3\vec{b}$:
$\vec{c} = 2\vec{a} - 3\vec{b} = (-2; 2) - (-6; 9) = (-2 - (-6); 2 - 9) = (-2 + 6; -7) = (4; -7)$.

4. Модуль (длина) вектора с координатами $(x; y)$ вычисляется по формуле $|\vec{c}| = \sqrt{x^2 + y^2}$. Подставим найденные координаты вектора $\vec{c}(4; -7)$:
$|\vec{c}| = \sqrt{4^2 + (-7)^2} = \sqrt{16 + 49} = \sqrt{65}$.

Ответ: $\sqrt{65}$.

22.157. Вычислите скалярное произведение $(\vec{a}-2\vec{b})(\vec{a}+\vec{b})$, если $|\vec{a}|=\sqrt{2}$, $|\vec{b}|=1$, $\angle(\vec{a},\vec{b})=135^\circ$.

Чтобы вычислить скалярное произведение $(\vec{a} - 2\vec{b})(\vec{a} + \vec{b})$, раскроем скобки, используя свойства скалярного произведения (дистрибутивность и коммутативность):

$(\vec{a} - 2\vec{b}) \cdot (\vec{a} + \vec{b}) = \vec{a} \cdot \vec{a} + \vec{a} \cdot \vec{b} - 2\vec{b} \cdot \vec{a} - 2\vec{b} \cdot \vec{b}$

Учитывая, что скалярное произведение коммутативно ($\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a}$) и что скалярный квадрат вектора равен квадрату его модуля ($\vec{v} \cdot \vec{v} = |\vec{v}|^2$), упростим выражение:

$|\vec{a}|^2 + \vec{a} \cdot \vec{b} - 2\vec{a} \cdot \vec{b} - 2|\vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 - \vec{a} \cdot \vec{b} - 2|\vec{b}|^2$

Теперь найдем скалярное произведение векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ по формуле:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos(\angle(\vec{a}, \vec{b}))$

Из условия задачи нам известны: $|\vec{a}| = \sqrt{2}$, $|\vec{b}| = 1$, и угол $\angle(\vec{a}, \vec{b}) = 135^\circ$.

Вычислим косинус угла:

$\cos(135^\circ) = \cos(180^\circ - 45^\circ) = -\cos(45^\circ) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

Теперь вычислим скалярное произведение $\vec{a} \cdot \vec{b}$:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = \sqrt{2} \cdot 1 \cdot (-\frac{\sqrt{2}}{2}) = -\frac{(\sqrt{2})^2}{2} = -\frac{2}{2} = -1$

Подставим все известные значения в упрощенное выражение:

$|\vec{a}|^2 - \vec{a} \cdot \vec{b} - 2|\vec{b}|^2 = (\sqrt{2})^2 - (-1) - 2 \cdot 1^2 = 2 + 1 - 2 = 1$

Ответ: 1

22.158. Даны точки $M(4; -2)$, $N(1; 1)$ и $P(3; 3)$. Найдите скалярное произведение векторов $\vec{MN}$ и $\vec{MP}$.

Для того чтобы найти скалярное произведение векторов $\vec{MN}$ и $\vec{MP}$, необходимо сначала определить координаты этих векторов. Координаты вектора, заданного двумя точками, вычисляются как разность соответствующих координат конца и начала вектора.

Даны точки $M(4; -2)$, $N(1; 1)$ и $P(3; 3)$.

1. Найдем координаты вектора $\vec{MN}$
Координаты вектора $\vec{MN}$ находятся по формуле $\vec{MN} = (x_N - x_M; y_N - y_M)$.
Подставим координаты точек $M$ и $N$:
$\vec{MN} = (1 - 4; 1 - (-2)) = (-3; 3)$.

2. Найдем координаты вектора $\vec{MP}$
Координаты вектора $\vec{MP}$ находятся по формуле $\vec{MP} = (x_P - x_M; y_P - y_M)$.
Подставим координаты точек $M$ и $P$:
$\vec{MP} = (3 - 4; 3 - (-2)) = (-1; 5)$.

3. Вычислим скалярное произведение векторов $\vec{MN}$ и $\vec{MP}$
Скалярное произведение векторов $\vec{a}(a_x; a_y)$ и $\vec{b}(b_x; b_y)$ вычисляется по формуле: $\vec{a} \cdot \vec{b} = a_x \cdot b_x + a_y \cdot b_y$.
Подставим найденные координаты векторов $\vec{MN}(-3; 3)$ и $\vec{MP}(-1; 5)$:
$\vec{MN} \cdot \vec{MP} = (-3) \cdot (-1) + 3 \cdot 5 = 3 + 15 = 18$.

Ответ: 18

22.159. На рисунке 22.7 изображён ромб $ABCD$, в котором $AB = 2 \text{ см}$, $\angle ABC = 120^\circ$. Найдите скалярное произведение векторов $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$.

Рис. 22.7

Чтобы найти скалярное произведение векторов $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$, воспользуемся правилом сложения векторов и свойствами скалярного произведения.

1. Выразим вектор $\vec{AC}$ через векторы сторон ромба.

Согласно правилу треугольника для сложения векторов, примененному к треугольнику $ABC$, вектор $\vec{AC}$ является суммой векторов $\vec{AB}$ и $\vec{BC}$:

$\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{BC}$

2. Подставим полученное выражение в искомое скалярное произведение.

$\vec{AB} \cdot \vec{AC} = \vec{AB} \cdot (\vec{AB} + \vec{BC})$

Используя дистрибутивное свойство скалярного произведения (раскрывая скобки), получаем:

$\vec{AB} \cdot \vec{AC} = \vec{AB} \cdot \vec{AB} + \vec{AB} \cdot \vec{BC}$

3. Вычислим каждое из двух слагаемых.

Первое слагаемое, $\vec{AB} \cdot \vec{AB}$, является скалярным квадратом вектора $\vec{AB}$. Он равен квадрату длины (модуля) этого вектора.

$\vec{AB} \cdot \vec{AB} = |\vec{AB}|^2$

По условию, длина стороны ромба $AB = 2$ см, следовательно, $|\vec{AB}| = 2$.

$|\vec{AB}|^2 = 2^2 = 4$

Второе слагаемое — это скалярное произведение векторов $\vec{AB}$ и $\vec{BC}$. Оно вычисляется по формуле $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(\alpha)$, где $\alpha$ — угол между векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$.

Длины векторов нам известны: $|\vec{AB}| = 2$ и, так как $ABCD$ — ромб, $|\vec{BC}| = |\vec{AB}| = 2$.

Угол $\angle ABC = 120^\circ$ — это угол между векторами $\vec{BA}$ и $\vec{BC}$, так как они выходят из одной точки $B$. Вектор $\vec{AB}$ направлен в противоположную сторону по отношению к вектору $\vec{BA}$. Следовательно, угол между векторами $\vec{AB}$ и $\vec{BC}$ является смежным с углом $\angle ABC$ и равен $180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$.

Теперь вычислим второе слагаемое:

$\vec{AB} \cdot \vec{BC} = |\vec{AB}| \cdot |\vec{BC}| \cdot \cos(60^\circ) = 2 \cdot 2 \cdot \frac{1}{2} = 2$

4. Найдем окончательный результат.

Сложим значения, полученные в предыдущем шаге:

$\vec{AB} \cdot \vec{AC} = 4 + 2 = 6$

Ответ: 6

22.160. Сторона правильного шестиугольника ABCDEF равна 1. Вычислите скалярное произведение:

1) $ \vec{BA} \cdot \vec{CD} $

2) $ \vec{AD} \cdot \vec{CD} $

Пусть $a$ — сторона правильного шестиугольника $ABCDEF$. По условию, $a=1$. Скалярное произведение двух векторов $\vec{x}$ и $\vec{y}$ определяется формулой: $\vec{x} \cdot \vec{y} = |\vec{x}| \cdot |\vec{y}| \cdot \cos(\alpha)$, где $\alpha$ — угол между векторами $\vec{x}$ и $\vec{y}$.

1) $\vec{BA} \cdot \vec{CD}$

Найдем длины (модули) векторов. Векторы $\vec{BA}$ и $\vec{CD}$ — это стороны правильного шестиугольника, поэтому их длины равны 1:
$|\vec{BA}| = a = 1$
$|\vec{CD}| = a = 1$

Далее найдем угол $\alpha$ между векторами $\vec{BA}$ и $\vec{CD}$. Для нахождения угла между векторами их необходимо отложить от одной точки. Воспользуемся свойствами правильного шестиугольника. Пусть $O$ — его центр. Тогда треугольники, образованные центром и двумя соседними вершинами (например, $\triangle OAB$), являются равносторонними со стороной, равной стороне шестиугольника. Вектор $\vec{CD}$ равен вектору $\vec{BO}$ (вектор из вершины $B$ в центр $O$), так как они параллельны, сонаправлены и равны по длине ($|\vec{CD}| = a = 1$, $|\vec{BO}| = R = a = 1$). Таким образом, $\vec{CD} = \vec{BO}$.
Следовательно, искомое скалярное произведение равно $\vec{BA} \cdot \vec{BO}$. Угол между векторами $\vec{BA}$ и $\vec{BO}$ — это угол $\angle ABO$ в равностороннем треугольнике $\triangle ABO$. Все углы в равностороннем треугольнике равны $60^\circ$, поэтому $\alpha = \angle ABO = 60^\circ$.

Теперь вычислим скалярное произведение:
$\vec{BA} \cdot \vec{CD} = \vec{BA} \cdot \vec{BO} = |\vec{BA}| \cdot |\vec{BO}| \cdot \cos(60^\circ) = 1 \cdot 1 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.
Ответ: $\frac{1}{2}$

2) $\vec{AD} \cdot \vec{CD}$

Найдем длины векторов. Длина вектора $\vec{CD}$ равна стороне шестиугольника:
$|\vec{CD}| = a = 1$.
Вектор $\vec{AD}$ является большой диагональю правильного шестиугольника. Его длина в два раза больше длины стороны:
$|\vec{AD}| = 2a = 2 \cdot 1 = 2$.

Теперь найдем угол $\beta$ между векторами $\vec{AD}$ и $\vec{CD}$. В правильном шестиугольнике большая диагональ $AD$ параллельна стороне $BC$. Векторы $\vec{AD}$ и $\vec{BC}$ сонаправлены. Поэтому угол между векторами $\vec{AD}$ и $\vec{CD}$ равен углу между векторами $\vec{BC}$ и $\vec{CD}$.
Угол между векторами смежных сторон $\vec{BC}$ и $\vec{CD}$, если их отложить от одной точки, равен внешнему углу правильного шестиугольника. Внутренний угол правильного шестиугольника равен $\angle BCD = \frac{(6-2) \cdot 180^\circ}{6} = 120^\circ$. Значит, угол между векторами $\beta = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$.

Вычислим скалярное произведение:
$\vec{AD} \cdot \vec{CD} = |\vec{AD}| \cdot |\vec{CD}| \cdot \cos(60^\circ) = 2 \cdot 1 \cdot \frac{1}{2} = 1$.
Ответ: $1$

22.161. Найдите угол между векторами $\vec{a}(-1; -1)$ и $\vec{b}(2; 0)$.

Для нахождения угла $\theta$ между векторами $\vec{a}(x_1; y_1)$ и $\vec{b}(x_2; y_2)$ используется формула, основанная на скалярном произведении векторов:

$\cos(\theta) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|} = \frac{x_1 x_2 + y_1 y_2}{\sqrt{x_1^2 + y_1^2} \cdot \sqrt{x_2^2 + y_2^2}}$

В нашем случае даны векторы $\vec{a}(-1; -1)$ и $\vec{b}(2; 0)$.

1. Найдем скалярное произведение векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = (-1) \cdot 2 + (-1) \cdot 0 = -2 + 0 = -2$.

2. Найдем длины (модули) каждого вектора:

Длина вектора $\vec{a}$:

$|\vec{a}| = \sqrt{(-1)^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$.

Длина вектора $\vec{b}$:

$|\vec{b}| = \sqrt{2^2 + 0^2} = \sqrt{4 + 0} = \sqrt{4} = 2$.

3. Подставим найденные значения в формулу для косинуса угла:

$\cos(\theta) = \frac{-2}{\sqrt{2} \cdot 2} = \frac{-1}{\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.

4. Найдем сам угол $\theta$. Угол между векторами по определению находится в диапазоне от $0^\circ$ до $180^\circ$. Значение угла, косинус которого равен $-\frac{\sqrt{2}}{2}$, в этом диапазоне составляет $135^\circ$.

$\theta = \arccos(-\frac{\sqrt{2}}{2}) = 135^\circ$.

Ответ: $135^\circ$.

22.162. На стороне CD параллелограмма ABCD отметили точку M так, что $CM : MD = 2 : 3$. Выразите вектор $\vec{AM}$ через векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$, где $\vec{a} = \vec{AB}$, $\vec{b} = \vec{AD}$.

Для решения задачи воспользуемся правилом сложения векторов. Вектор $\overrightarrow{AM}$ можно представить как сумму векторов, идущих по сторонам параллелограмма. Удобнее всего представить его как сумму векторов $\overrightarrow{AD}$ и $\overrightarrow{DM}$ (правило треугольника для $\triangle ADM$):

$\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DM}$

Из условия задачи нам известно, что $\overrightarrow{AD} = \vec{b}$.

Теперь необходимо выразить вектор $\overrightarrow{DM}$ через заданные векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$.

Точка $M$ лежит на стороне $CD$, и по условию $CM : MD = 2 : 3$. Это значит, что длина отрезка $MD$ составляет $\frac{3}{2+3} = \frac{3}{5}$ от длины всей стороны $CD$.

Вектор $\overrightarrow{DM}$ направлен от точки $D$ к точке $M$. Этот вектор сонаправлен (имеет то же направление) с вектором $\overrightarrow{DC}$.

В параллелограмме $ABCD$ противоположные стороны параллельны и равны, поэтому $\overrightarrow{DC} = \overrightarrow{AB}$.

По условию $\overrightarrow{AB} = \vec{a}$, следовательно, $\overrightarrow{DC} = \vec{a}$.

Так как вектор $\overrightarrow{DM}$ сонаправлен с вектором $\overrightarrow{DC}$ и его длина составляет $\frac{3}{5}$ от длины вектора $\overrightarrow{DC}$, мы можем записать:

$\overrightarrow{DM} = \frac{3}{5}\overrightarrow{DC} = \frac{3}{5}\vec{a}$

Теперь подставим полученные выражения для $\overrightarrow{AD}$ и $\overrightarrow{DM}$ в исходную формулу для $\overrightarrow{AM}$:

$\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DM} = \vec{b} + \frac{3}{5}\vec{a}$

Принято записывать слагаемые в алфавитном порядке, поэтому можно переставить их местами:

$\overrightarrow{AM} = \frac{3}{5}\vec{a} + \vec{b}$

Ответ: $\overrightarrow{AM} = \frac{3}{5}\vec{a} + \vec{b}$

22.163. На сторонах $BC$ и $CD$ параллелограмма $ABCD$ отметили соответственно точки $E$ и $F$ так, что $BE : EC = 3 : 4$, $CF : FD = 1 : 3$. Выразите вектор $\vec{EF}$ через векторы $\vec{AB} = \vec{a}$ и $\vec{AD} = \vec{b}$.

Для того чтобы выразить вектор $\vec{EF}$ через векторы $\vec{a} = \vec{AB}$ и $\vec{b} = \vec{AD}$, воспользуемся правилом сложения векторов. Вектор $\vec{EF}$ можно представить как сумму векторов, составляющих ломаную линию из точки E в точку F. Удобно выбрать путь через вершины параллелограмма, например: $\vec{EF} = \vec{EC} + \vec{CF}$.

Теперь найдем выражения для векторов $\vec{EC}$ и $\vec{CF}$ через базисные векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$.

1. Выразим вектор $\vec{EC}$.

Точка E делит сторону BC в отношении $BE : EC = 3 : 4$. Это означает, что длина отрезка EC составляет $\frac{4}{3+4} = \frac{4}{7}$ от длины всей стороны BC. Поскольку векторы $\vec{EC}$ и $\vec{BC}$ сонаправлены (имеют одинаковое направление), мы можем записать:
$\vec{EC} = \frac{4}{7}\vec{BC}$

Так как ABCD — параллелограмм, его противоположные стороны равны и параллельны, поэтому $\vec{BC} = \vec{AD}$. По условию $\vec{AD} = \vec{b}$. Следовательно:
$\vec{EC} = \frac{4}{7}\vec{b}$

2. Выразим вектор $\vec{CF}$.

Аналогично, точка F делит сторону CD в отношении $CF : FD = 1 : 3$. Длина отрезка CF составляет $\frac{1}{1+3} = \frac{1}{4}$ от длины всей стороны CD. Векторы $\vec{CF}$ и $\vec{CD}$ сонаправлены, поэтому:
$\vec{CF} = \frac{1}{4}\vec{CD}$

В параллелограмме ABCD вектор $\vec{CD}$ противоположен вектору $\vec{AB}$. То есть, $\vec{CD} = -\vec{DC} = -\vec{AB}$. По условию $\vec{AB} = \vec{a}$. Следовательно:
$\vec{CD} = -\vec{a}$
Подставим это в выражение для $\vec{CF}$:
$\vec{CF} = \frac{1}{4}(-\vec{a}) = -\frac{1}{4}\vec{a}$

3. Найдем вектор $\vec{EF}$.

Теперь подставим найденные выражения для $\vec{EC}$ и $\vec{CF}$ в исходную формулу:
$\vec{EF} = \vec{EC} + \vec{CF} = \frac{4}{7}\vec{b} + (-\frac{1}{4}\vec{a})$

Запишем результат в стандартном виде, расположив слагаемые в алфавитном порядке векторов:
$\vec{EF} = -\frac{1}{4}\vec{a} + \frac{4}{7}\vec{b}$

Ответ: $\vec{EF} = -\frac{1}{4}\vec{a} + \frac{4}{7}\vec{b}$

22.164. На сторонах $AB$ и $BC$ параллелограмма $ABCD$ отметили соответственно точки $M$ и $K$ так, что $AM : MB = 1 : 2$, $BK : KC = 2 : 3$. Выразите вектор $\vec{KM}$ через векторы $\vec{AB} = \vec{a}$ и $\vec{AD} = \vec{b}$.

Для того чтобы выразить вектор $\vec{KM}$ через векторы $\vec{AB} = \vec{a}$ и $\vec{AD} = \vec{b}$, представим его в виде комбинации других векторов. Удобно использовать правило разности векторов, выбрав в качестве общего начала точку $A$:

$\vec{KM} = \vec{AM} - \vec{AK}$

Теперь найдем каждый из векторов в правой части равенства, выразив их через базисные векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$.

Точка $M$ лежит на стороне $AB$ и делит ее в отношении $AM : MB = 1 : 2$. Это означает, что длина отрезка $AM$ составляет $\frac{1}{1+2} = \frac{1}{3}$ от длины всего отрезка $AB$. Поскольку векторы $\vec{AM}$ и $\vec{AB}$ сонаправлены, то:

$\vec{AM} = \frac{1}{3}\vec{AB} = \frac{1}{3}\vec{a}$

Далее найдем вектор $\vec{AK}$. Для этого воспользуемся правилом сложения векторов (правилом треугольника):

$\vec{AK} = \vec{AB} + \vec{BK}$

Точка $K$ лежит на стороне $BC$ и делит ее в отношении $BK : KC = 2 : 3$. Следовательно, длина отрезка $BK$ составляет $\frac{2}{2+3} = \frac{2}{5}$ от длины всего отрезка $BC$. Векторы $\vec{BK}$ и $\vec{BC}$ сонаправлены, поэтому:

$\vec{BK} = \frac{2}{5}\vec{BC}$

Так как $ABCD$ — параллелограмм, его противолежащие стороны равны и параллельны, что для векторов означает $\vec{BC} = \vec{AD}$. По условию $\vec{AD} = \vec{b}$, значит, $\vec{BC} = \vec{b}$.

Подставляя это в выражение для $\vec{BK}$, получаем:

$\vec{BK} = \frac{2}{5}\vec{b}$

Теперь можем найти вектор $\vec{AK}$:

$\vec{AK} = \vec{AB} + \vec{BK} = \vec{a} + \frac{2}{5}\vec{b}$

Наконец, подставим найденные выражения для $\vec{AM}$ и $\vec{AK}$ в исходную формулу для $\vec{KM}$:

$\vec{KM} = \vec{AM} - \vec{AK} = \frac{1}{3}\vec{a} - \left(\vec{a} + \frac{2}{5}\vec{b}\right)$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$\vec{KM} = \frac{1}{3}\vec{a} - \vec{a} - \frac{2}{5}\vec{b} = \left(\frac{1}{3} - 1\right)\vec{a} - \frac{2}{5}\vec{b} = -\frac{2}{3}\vec{a} - \frac{2}{5}\vec{b}$

Ответ: $\vec{KM} = -\frac{2}{3}\vec{a} - \frac{2}{5}\vec{b}$

22.165. На стороне $BC$ и диагонали $AC$ параллелограмма $ABCD$ отметили точки $K$ и $F$ соответственно так, что $BK : BC = 5 : 6$, $AF : AC = 6 : 7$.

Докажите, что точки $D, F$ и $K$ лежат на одной прямой.

Для доказательства того, что точки $D$, $F$ и $K$ лежат на одной прямой, воспользуемся векторным методом. Докажем, что векторы $\vec{DF}$ и $\vec{DK}$ коллинеарны, то есть существует такое число $\lambda$, что $\vec{DF} = \lambda \cdot \vec{DK}$.

Введем базис с началом в точке $A$. Пусть $\vec{AB} = \vec{a}$ и $\vec{AD} = \vec{b}$.

Поскольку $ABCD$ — параллелограмм, то $\vec{BC} = \vec{AD} = \vec{b}$, и вектор диагонали $\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{BC} = \vec{a} + \vec{b}$.

Теперь найдем радиус-векторы точек $F$ и $K$. Из условия $AF : AC = 6 : 7$ следует, что $\vec{AF} = \frac{6}{7}\vec{AC}$. Подставляя выражение для $\vec{AC}$, получаем: $\vec{AF} = \frac{6}{7}(\vec{a} + \vec{b})$.

Из условия $BK : BC = 5 : 6$ следует, что $\vec{BK} = \frac{5}{6}\vec{BC}$. Так как $\vec{BC} = \vec{b}$, то $\vec{BK} = \frac{5}{6}\vec{b}$. Радиус-вектор точки $K$ находим как сумму векторов: $\vec{AK} = \vec{AB} + \vec{BK} = \vec{a} + \frac{5}{6}\vec{b}$.

Теперь можем найти векторы $\vec{DF}$ и $\vec{DK}$. Радиус-вектор точки $D$ равен $\vec{AD} = \vec{b}$. Вектор $\vec{DF}$ равен разности радиус-векторов его конца и начала: $\vec{DF} = \vec{AF} - \vec{AD} = \frac{6}{7}(\vec{a} + \vec{b}) - \vec{b} = \frac{6}{7}\vec{a} + \frac{6}{7}\vec{b} - \vec{b} = \frac{6}{7}\vec{a} - \frac{1}{7}\vec{b}$.

Аналогично для вектора $\vec{DK}$: $\vec{DK} = \vec{AK} - \vec{AD} = (\vec{a} + \frac{5}{6}\vec{b}) - \vec{b} = \vec{a} - \frac{1}{6}\vec{b}$.

Сравним полученные выражения для векторов $\vec{DF}$ и $\vec{DK}$. Вынесем из каждого общий множитель, чтобы сделать сравнение очевидным: $\vec{DF} = \frac{1}{7}(6\vec{a} - \vec{b})$ и $\vec{DK} = \frac{1}{6}(6\vec{a} - \vec{b})$.

Из этих равенств видно, что $7\vec{DF} = 6\vec{a} - \vec{b}$ и $6\vec{DK} = 6\vec{a} - \vec{b}$. Таким образом, $7\vec{DF} = 6\vec{DK}$, откуда получаем соотношение $\vec{DF} = \frac{6}{7}\vec{DK}$.

Поскольку вектор $\vec{DF}$ получен умножением вектора $\vec{DK}$ на скаляр $\frac{6}{7}$, эти векторы коллинеарны. Так как они имеют общее начало в точке $D$, точки $D$, $F$ и $K$ лежат на одной прямой. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.

22.166. Точки $M$ и $N$ – середины диагоналей $AC$ и $BD$ выпуклого четырёхугольника $ABCD$ ($AD > BC$). Известно, что $MN = \frac{1}{2}(AD - BC)$.

Докажите, что данный четырёхугольник – трапеция.

Для доказательства воспользуемся методом векторов. Введем векторы, соответствующие вершинам четырехугольника: $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}, \vec{d}$.

Поскольку точка $M$ является серединой диагонали $AC$, ее радиус-вектор $\vec{m}$ можно выразить как:

$\vec{m} = \frac{\vec{a} + \vec{c}}{2}$

Аналогично, для точки $N$ — середины диагонали $BD$ — ее радиус-вектор $\vec{n}$ равен:

$\vec{n} = \frac{\vec{b} + \vec{d}}{2}$

Найдем вектор $\vec{MN}$, соединяющий точки $M$ и $N$:

$\vec{MN} = \vec{n} - \vec{m} = \frac{\vec{b} + \vec{d}}{2} - \frac{\vec{a} + \vec{c}}{2} = \frac{1}{2}(\vec{b} + \vec{d} - \vec{a} - \vec{c})$

Сгруппируем слагаемые в скобках, чтобы получить векторы сторон четырехугольника:

$\vec{MN} = \frac{1}{2}((\vec{d} - \vec{a}) - (\vec{c} - \vec{b})) = \frac{1}{2}(\vec{AD} - \vec{BC})$

Теперь найдем модуль (длину) вектора $\vec{MN}$:

$|\vec{MN}| = \left|\frac{1}{2}(\vec{AD} - \vec{BC})\right| = \frac{1}{2}|\vec{AD} - \vec{BC}|$

Из условия задачи нам известно, что длина отрезка $MN$ равна $MN = \frac{1}{2}(AD - BC)$. Приравняем это выражение к полученному нами:

$\frac{1}{2}(AD - BC) = \frac{1}{2}|\vec{AD} - \vec{BC}|$

Умножим обе части на 2:

$AD - BC = |\vec{AD} - \vec{BC}|$

Так как $AD$ и $BC$ — это длины векторов $\vec{AD}$ и $\vec{BC}$ соответственно, то есть $AD=|\vec{AD}|$ и $BC=|\vec{BC}|$, мы имеем равенство:

$|\vec{AD}| - |\vec{BC}| = |\vec{AD} - \vec{BC}|$

Это равенство является случаем так называемого "неравенства треугольника" для векторов, которое в общем виде записывается как $|\vec{x} - \vec{y}| \ge ||\vec{x}| - |\vec{y}||$. Равенство $|\vec{x} - \vec{y}| = |\vec{x}| - |\vec{y}|$ (с учетом того, что $|\vec{x}| > |\vec{y}|$) достигается тогда и только тогда, когда векторы $\vec{x}$ и $\vec{y}$ коллинеарны и сонаправлены (имеют одинаковое направление).

В нашем случае это означает, что векторы $\vec{AD}$ и $\vec{BC}$ сонаправлены. Если векторы, соответствующие сторонам четырехугольника, сонаправлены, то эти стороны параллельны.

$\vec{AD} \uparrow\uparrow \vec{BC} \implies AD \parallel BC$

Четырехугольник, у которого две противоположные стороны параллельны, является трапецией. Таким образом, $ABCD$ — трапеция с основаниями $AD$ и $BC$.

Ответ: Что и требовалось доказать.

22.167. Сколько существует параллельных переносов, при которых образом прямой является:

1) сама эта прямая;

2) параллельная ей прямая?

Параллельный перенос — это преобразование плоскости (или пространства), при котором все точки смещаются в одном и том же направлении на одно и то же расстояние. Это преобразование задается вектором, который называется вектором переноса. Пусть это вектор $\vec{a}$. Тогда каждая точка $M$ переходит в точку $M'$, такую что $\vec{MM'} = \vec{a}$.

Ключевым свойством параллельного переноса является то, что он преобразует любую прямую в прямую, параллельную исходной, или в саму себя.

1) сама эта прямая

Рассмотрим, при каких условиях образом прямой $l$ при параллельном переносе на вектор $\vec{a}$ будет сама прямая $l$.

Пусть $M$ — любая точка на прямой $l$. Ее образ, точка $M'$, определяется соотношением $\vec{MM'} = \vec{a}$. Чтобы образом прямой $l$ была она сама, необходимо, чтобы для любой точки $M$ на прямой $l$ ее образ $M'$ также лежал на этой же прямой $l$.

Если обе точки, $M$ и $M'$, принадлежат прямой $l$, то вектор $\vec{MM'}$, соединяющий их, должен быть параллелен (коллинеарен) этой прямой. Так как $\vec{MM'} = \vec{a}$, то и вектор переноса $\vec{a}$ должен быть параллелен прямой $l$.

Это условие является и достаточным. Если вектор переноса $\vec{a}$ параллелен прямой $l$, то любая точка этой прямой сместится вдоль нее же, и, следовательно, вся прямая перейдет в себя.

Множество векторов, параллельных данной прямой, бесконечно. Например, если $\vec{d}$ — какой-либо ненулевой направляющий вектор прямой $l$, то любой вектор вида $\vec{a} = k \cdot \vec{d}$, где $k$ — любое действительное число, будет параллелен $l$. Поскольку существует бесконечно много действительных чисел $k$, то существует и бесконечно много векторов переноса, удовлетворяющих данному условию. Каждый такой вектор задает свой параллельный перенос.

Ответ: существует бесконечно много параллельных переносов, при которых образом прямой является сама эта прямая.

2) параллельная ей прямая

Рассмотрим, при каких условиях образом прямой $l$ при параллельном переносе на вектор $\vec{a}$ будет прямая $l'$, параллельная $l$.

По определению, параллельный перенос сохраняет направления. Возьмем две любые различные точки $A$ и $B$ на прямой $l$. Их образами при переносе на вектор $\vec{a}$ будут точки $A'$ и $B'$ соответственно. Образом прямой $l$ будет прямая $l'$, проходящая через точки $A'$ и $B'$.

Направляющим вектором прямой $l$ является вектор $\vec{AB}$. Направляющим вектором прямой $l'$ является вектор $\vec{A'B'}$. Найдем связь между ними: $\vec{A'B'} = \vec{OB'} - \vec{OA'} = (\vec{OB} + \vec{a}) - (\vec{OA} + \vec{a}) = \vec{OB} - \vec{OA} = \vec{AB}$.

Поскольку направляющие векторы прямых $l$ и $l'$ равны, то эти прямые параллельны. Это означает, что любой параллельный перенос переводит прямую в параллельную ей прямую (включая случай, когда прямая переходит в себя, так как прямая считается параллельной самой себе).

Следовательно, условие задачи выполняется для абсолютно любого параллельного переноса. Вопрос сводится к тому, сколько всего существует различных параллельных переносов. Каждый уникальный вектор на плоскости (или в пространстве) задает уникальный параллельный перенос. Так как множество всех возможных векторов бесконечно, то и количество параллельных переносов, переводящих прямую в параллельную ей, также бесконечно.

Ответ: существует бесконечно много параллельных переносов, при которых образом прямой является параллельная ей прямая.

22.168. Запишите уравнение окружности, являющейся образом окружности $x^2 + y^2 = 4$ при параллельном переносе на вектор $\vec{a} (2; -3)$.

Уравнение исходной окружности дано в виде $x^2 + y^2 = 4$. Стандартное уравнение окружности с центром в точке $(x_0, y_0)$ и радиусом $R$ имеет вид $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = R^2$.

Сравнивая данное уравнение со стандартным, находим параметры исходной окружности:
Центр $O$ находится в начале координат, то есть в точке $(0, 0)$.
Радиус $R$ равен $\sqrt{4} = 2$.

Параллельный перенос — это движение, которое сохраняет расстояния, форму и размеры фигур. Следовательно, образом окружности при параллельном переносе будет окружность с тем же радиусом. Таким образом, радиус новой окружности $R'$ также равен 2.

При параллельном переносе на вектор $\vec{a}(a_x, a_y)$ каждая точка $(x, y)$ фигуры переходит в точку $(x', y')$, координаты которой вычисляются по формулам:
$x' = x + a_x$
$y' = y + a_y$

Чтобы найти уравнение новой окружности, нужно найти координаты ее центра $O'(x'_0, y'_0)$. Центр новой окружности является образом центра исходной окружности $O(0, 0)$ при переносе на вектор $\vec{a}(2; -3)$.
$x'_0 = 0 + 2 = 2$
$y'_0 = 0 + (-3) = -3$
Следовательно, новый центр окружности находится в точке $O'(2, -3)$.

Теперь, зная координаты нового центра $O'(2, -3)$ и радиус $R' = 2$, мы можем записать уравнение искомой окружности:
$(x - 2)^2 + (y - (-3))^2 = 2^2$
$(x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 4$

Ответ: $(x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 4$.