Номер 22.163, страница 219 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

22.163. На сторонах $BC$ и $CD$ параллелограмма $ABCD$ отметили соответственно точки $E$ и $F$ так, что $BE : EC = 3 : 4$, $CF : FD = 1 : 3$. Выразите вектор $\vec{EF}$ через векторы $\vec{AB} = \vec{a}$ и $\vec{AD} = \vec{b}$.

Для того чтобы выразить вектор $\vec{EF}$ через векторы $\vec{a} = \vec{AB}$ и $\vec{b} = \vec{AD}$, воспользуемся правилом сложения векторов. Вектор $\vec{EF}$ можно представить как сумму векторов, составляющих ломаную линию из точки E в точку F. Удобно выбрать путь через вершины параллелограмма, например: $\vec{EF} = \vec{EC} + \vec{CF}$.

Теперь найдем выражения для векторов $\vec{EC}$ и $\vec{CF}$ через базисные векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$.

1. Выразим вектор $\vec{EC}$.

Точка E делит сторону BC в отношении $BE : EC = 3 : 4$. Это означает, что длина отрезка EC составляет $\frac{4}{3+4} = \frac{4}{7}$ от длины всей стороны BC. Поскольку векторы $\vec{EC}$ и $\vec{BC}$ сонаправлены (имеют одинаковое направление), мы можем записать:
$\vec{EC} = \frac{4}{7}\vec{BC}$

Так как ABCD — параллелограмм, его противоположные стороны равны и параллельны, поэтому $\vec{BC} = \vec{AD}$. По условию $\vec{AD} = \vec{b}$. Следовательно:
$\vec{EC} = \frac{4}{7}\vec{b}$

2. Выразим вектор $\vec{CF}$.

Аналогично, точка F делит сторону CD в отношении $CF : FD = 1 : 3$. Длина отрезка CF составляет $\frac{1}{1+3} = \frac{1}{4}$ от длины всей стороны CD. Векторы $\vec{CF}$ и $\vec{CD}$ сонаправлены, поэтому:
$\vec{CF} = \frac{1}{4}\vec{CD}$

В параллелограмме ABCD вектор $\vec{CD}$ противоположен вектору $\vec{AB}$. То есть, $\vec{CD} = -\vec{DC} = -\vec{AB}$. По условию $\vec{AB} = \vec{a}$. Следовательно:
$\vec{CD} = -\vec{a}$
Подставим это в выражение для $\vec{CF}$:
$\vec{CF} = \frac{1}{4}(-\vec{a}) = -\frac{1}{4}\vec{a}$

3. Найдем вектор $\vec{EF}$.

Теперь подставим найденные выражения для $\vec{EC}$ и $\vec{CF}$ в исходную формулу:
$\vec{EF} = \vec{EC} + \vec{CF} = \frac{4}{7}\vec{b} + (-\frac{1}{4}\vec{a})$

Запишем результат в стандартном виде, расположив слагаемые в алфавитном порядке векторов:
$\vec{EF} = -\frac{1}{4}\vec{a} + \frac{4}{7}\vec{b}$

Ответ: $\vec{EF} = -\frac{1}{4}\vec{a} + \frac{4}{7}\vec{b}$