Номер 22.166, страница 219 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

22.166. Точки $M$ и $N$ – середины диагоналей $AC$ и $BD$ выпуклого четырёхугольника $ABCD$ ($AD > BC$). Известно, что $MN = \frac{1}{2}(AD - BC)$.

Докажите, что данный четырёхугольник – трапеция.

Для доказательства воспользуемся методом векторов. Введем векторы, соответствующие вершинам четырехугольника: $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}, \vec{d}$.

Поскольку точка $M$ является серединой диагонали $AC$, ее радиус-вектор $\vec{m}$ можно выразить как:

$\vec{m} = \frac{\vec{a} + \vec{c}}{2}$

Аналогично, для точки $N$ — середины диагонали $BD$ — ее радиус-вектор $\vec{n}$ равен:

$\vec{n} = \frac{\vec{b} + \vec{d}}{2}$

Найдем вектор $\vec{MN}$, соединяющий точки $M$ и $N$:

$\vec{MN} = \vec{n} - \vec{m} = \frac{\vec{b} + \vec{d}}{2} - \frac{\vec{a} + \vec{c}}{2} = \frac{1}{2}(\vec{b} + \vec{d} - \vec{a} - \vec{c})$

Сгруппируем слагаемые в скобках, чтобы получить векторы сторон четырехугольника:

$\vec{MN} = \frac{1}{2}((\vec{d} - \vec{a}) - (\vec{c} - \vec{b})) = \frac{1}{2}(\vec{AD} - \vec{BC})$

Теперь найдем модуль (длину) вектора $\vec{MN}$:

$|\vec{MN}| = \left|\frac{1}{2}(\vec{AD} - \vec{BC})\right| = \frac{1}{2}|\vec{AD} - \vec{BC}|$

Из условия задачи нам известно, что длина отрезка $MN$ равна $MN = \frac{1}{2}(AD - BC)$. Приравняем это выражение к полученному нами:

$\frac{1}{2}(AD - BC) = \frac{1}{2}|\vec{AD} - \vec{BC}|$

Умножим обе части на 2:

$AD - BC = |\vec{AD} - \vec{BC}|$

Так как $AD$ и $BC$ — это длины векторов $\vec{AD}$ и $\vec{BC}$ соответственно, то есть $AD=|\vec{AD}|$ и $BC=|\vec{BC}|$, мы имеем равенство:

$|\vec{AD}| - |\vec{BC}| = |\vec{AD} - \vec{BC}|$

Это равенство является случаем так называемого "неравенства треугольника" для векторов, которое в общем виде записывается как $|\vec{x} - \vec{y}| \ge ||\vec{x}| - |\vec{y}||$. Равенство $|\vec{x} - \vec{y}| = |\vec{x}| - |\vec{y}|$ (с учетом того, что $|\vec{x}| > |\vec{y}|$) достигается тогда и только тогда, когда векторы $\vec{x}$ и $\vec{y}$ коллинеарны и сонаправлены (имеют одинаковое направление).

В нашем случае это означает, что векторы $\vec{AD}$ и $\vec{BC}$ сонаправлены. Если векторы, соответствующие сторонам четырехугольника, сонаправлены, то эти стороны параллельны.

$\vec{AD} \uparrow\uparrow \vec{BC} \implies AD \parallel BC$

Четырехугольник, у которого две противоположные стороны параллельны, является трапецией. Таким образом, $ABCD$ — трапеция с основаниями $AD$ и $BC$.

Ответ: Что и требовалось доказать.