Номер 22.167, страница 219 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

22.167. Сколько существует параллельных переносов, при которых образом прямой является:

1) сама эта прямая;

2) параллельная ей прямая?

Параллельный перенос — это преобразование плоскости (или пространства), при котором все точки смещаются в одном и том же направлении на одно и то же расстояние. Это преобразование задается вектором, который называется вектором переноса. Пусть это вектор $\vec{a}$. Тогда каждая точка $M$ переходит в точку $M'$, такую что $\vec{MM'} = \vec{a}$.

Ключевым свойством параллельного переноса является то, что он преобразует любую прямую в прямую, параллельную исходной, или в саму себя.

1) сама эта прямая

Рассмотрим, при каких условиях образом прямой $l$ при параллельном переносе на вектор $\vec{a}$ будет сама прямая $l$.

Пусть $M$ — любая точка на прямой $l$. Ее образ, точка $M'$, определяется соотношением $\vec{MM'} = \vec{a}$. Чтобы образом прямой $l$ была она сама, необходимо, чтобы для любой точки $M$ на прямой $l$ ее образ $M'$ также лежал на этой же прямой $l$.

Если обе точки, $M$ и $M'$, принадлежат прямой $l$, то вектор $\vec{MM'}$, соединяющий их, должен быть параллелен (коллинеарен) этой прямой. Так как $\vec{MM'} = \vec{a}$, то и вектор переноса $\vec{a}$ должен быть параллелен прямой $l$.

Это условие является и достаточным. Если вектор переноса $\vec{a}$ параллелен прямой $l$, то любая точка этой прямой сместится вдоль нее же, и, следовательно, вся прямая перейдет в себя.

Множество векторов, параллельных данной прямой, бесконечно. Например, если $\vec{d}$ — какой-либо ненулевой направляющий вектор прямой $l$, то любой вектор вида $\vec{a} = k \cdot \vec{d}$, где $k$ — любое действительное число, будет параллелен $l$. Поскольку существует бесконечно много действительных чисел $k$, то существует и бесконечно много векторов переноса, удовлетворяющих данному условию. Каждый такой вектор задает свой параллельный перенос.

Ответ: существует бесконечно много параллельных переносов, при которых образом прямой является сама эта прямая.

2) параллельная ей прямая

Рассмотрим, при каких условиях образом прямой $l$ при параллельном переносе на вектор $\vec{a}$ будет прямая $l'$, параллельная $l$.

По определению, параллельный перенос сохраняет направления. Возьмем две любые различные точки $A$ и $B$ на прямой $l$. Их образами при переносе на вектор $\vec{a}$ будут точки $A'$ и $B'$ соответственно. Образом прямой $l$ будет прямая $l'$, проходящая через точки $A'$ и $B'$.

Направляющим вектором прямой $l$ является вектор $\vec{AB}$. Направляющим вектором прямой $l'$ является вектор $\vec{A'B'}$. Найдем связь между ними: $\vec{A'B'} = \vec{OB'} - \vec{OA'} = (\vec{OB} + \vec{a}) - (\vec{OA} + \vec{a}) = \vec{OB} - \vec{OA} = \vec{AB}$.

Поскольку направляющие векторы прямых $l$ и $l'$ равны, то эти прямые параллельны. Это означает, что любой параллельный перенос переводит прямую в параллельную ей прямую (включая случай, когда прямая переходит в себя, так как прямая считается параллельной самой себе).

Следовательно, условие задачи выполняется для абсолютно любого параллельного переноса. Вопрос сводится к тому, сколько всего существует различных параллельных переносов. Каждый уникальный вектор на плоскости (или в пространстве) задает уникальный параллельный перенос. Так как множество всех возможных векторов бесконечно, то и количество параллельных переносов, переводящих прямую в параллельную ей, также бесконечно.

Ответ: существует бесконечно много параллельных переносов, при которых образом прямой является параллельная ей прямая.