Номер 22.169, страница 220 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

22.169. Укажите движение, при котором образом четырёхугольника $ABCD$, изображённого на рисунке 22.8, является четырёхугольник $MNKP$.

Рис. 22.8

Для того чтобы определить вид движения, преобразующего четырехугольник ABCD в MNKP, необходимо сначала проанализировать свойства этих фигур.

Введем прямоугольную систему координат, приняв узел сетки, в котором расположена вершина A, за начало координат (0, 0). Размер одной клетки сетки примем за единицу.

Координаты вершин четырехугольника ABCD:

• A(0, 0)
• B(1, 2)
• C(3, 2)
• D(3, 0)

Координаты вершин четырехугольника MNKP:

• M(5, 2)
• N(7, 0)
• K(4, 0)
• P(4, 2)

Движение (изометрия) — это преобразование плоскости, сохраняющее расстояния. Следовательно, если четырехугольник MNKP является образом ABCD при некотором движении, то эти четырехугольники должны быть конгруэнтны (равны), то есть иметь соответственно равные стороны.

Вычислим длины сторон четырехугольника ABCD:

• $AD = \sqrt{(3-0)^2 + (0-0)^2} = 3$
• $DC = \sqrt{(3-3)^2 + (2-0)^2} = 2$
• $BC = \sqrt{(3-1)^2 + (2-2)^2} = 2$
• $AB = \sqrt{(1-0)^2 + (2-0)^2} = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{5}$

Вычислим длины сторон четырехугольника MNKP:

• $PM = \sqrt{(5-4)^2 + (2-2)^2} = 1$
• $MN = \sqrt{(7-5)^2 + (0-2)^2} = \sqrt{2^2 + (-2)^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$
• $NK = \sqrt{(4-7)^2 + (0-0)^2} = 3$
• $KP = \sqrt{(4-4)^2 + (2-0)^2} = 2$

Сравнивая наборы длин сторон {3, 2, 2, $\sqrt{5}$} для ABCD и {1, 2, 3, $2\sqrt{2}$} для MNKP, мы видим, что они не совпадают. Это означает, что четырехугольники ABCD и MNKP не конгруэнтны, и, следовательно, не существует движения, которое переводит один в другой.

Однако, вероятнее всего, в условии задачи на рисунке допущена опечатка. Обе фигуры — прямоугольные трапеции с одинаковой высотой, равной 2, и одним из оснований, равным 3. Различие заключается в длине второго основания (2 у ABCD и 1 у MNKP). Если предположить, что координата точки M должна быть (6, 2), то длина стороны PM станет $6 - 4 = 2$, а длина наклонной стороны MN станет $\sqrt{(7-6)^2 + (0-2)^2} = \sqrt{1^2 + (-2)^2} = \sqrt{5}$. В этом случае четырехугольники станут конгруэнтными.

При условии, что M имеет координаты (6, 2), найдем искомое движение. Соответствие вершин будет следующим:

A(0, 0) $\rightarrow$ N(7, 0)

B(1, 2) $\rightarrow$ M(6, 2)

C(3, 2) $\rightarrow$ P(4, 2)

D(3, 0) $\rightarrow$ K(4, 0)

Данное преобразование является осевой симметрией (отражением). Ось симметрии — это прямая, равноудаленная от соответствующих точек. Найдем середины отрезков, соединяющих соответствующие вершины, например, DK и CP:

• Середина отрезка DK: $(\frac{3+4}{2}, \frac{0+0}{2}) = (3.5, 0)$
• Середина отрезка CP: $(\frac{3+4}{2}, \frac{2+2}{2}) = (3.5, 2)$

Обе середины лежат на вертикальной прямой $x = 3.5$. Эта прямая и является осью симметрии.

Ответ: Задача в исходном виде не имеет решения, так как четырехугольники не конгруэнтны. Если предположить опечатку в условии и считать, что координаты вершины M равны (6, 2), то искомым движением будет осевая симметрия относительно прямой $x = 3.5$.