Номер 22.165, страница 219 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

22.165. На стороне $BC$ и диагонали $AC$ параллелограмма $ABCD$ отметили точки $K$ и $F$ соответственно так, что $BK : BC = 5 : 6$, $AF : AC = 6 : 7$.

Докажите, что точки $D, F$ и $K$ лежат на одной прямой.

Для доказательства того, что точки $D$, $F$ и $K$ лежат на одной прямой, воспользуемся векторным методом. Докажем, что векторы $\vec{DF}$ и $\vec{DK}$ коллинеарны, то есть существует такое число $\lambda$, что $\vec{DF} = \lambda \cdot \vec{DK}$.

Введем базис с началом в точке $A$. Пусть $\vec{AB} = \vec{a}$ и $\vec{AD} = \vec{b}$.

Поскольку $ABCD$ — параллелограмм, то $\vec{BC} = \vec{AD} = \vec{b}$, и вектор диагонали $\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{BC} = \vec{a} + \vec{b}$.

Теперь найдем радиус-векторы точек $F$ и $K$. Из условия $AF : AC = 6 : 7$ следует, что $\vec{AF} = \frac{6}{7}\vec{AC}$. Подставляя выражение для $\vec{AC}$, получаем: $\vec{AF} = \frac{6}{7}(\vec{a} + \vec{b})$.

Из условия $BK : BC = 5 : 6$ следует, что $\vec{BK} = \frac{5}{6}\vec{BC}$. Так как $\vec{BC} = \vec{b}$, то $\vec{BK} = \frac{5}{6}\vec{b}$. Радиус-вектор точки $K$ находим как сумму векторов: $\vec{AK} = \vec{AB} + \vec{BK} = \vec{a} + \frac{5}{6}\vec{b}$.

Теперь можем найти векторы $\vec{DF}$ и $\vec{DK}$. Радиус-вектор точки $D$ равен $\vec{AD} = \vec{b}$. Вектор $\vec{DF}$ равен разности радиус-векторов его конца и начала: $\vec{DF} = \vec{AF} - \vec{AD} = \frac{6}{7}(\vec{a} + \vec{b}) - \vec{b} = \frac{6}{7}\vec{a} + \frac{6}{7}\vec{b} - \vec{b} = \frac{6}{7}\vec{a} - \frac{1}{7}\vec{b}$.

Аналогично для вектора $\vec{DK}$: $\vec{DK} = \vec{AK} - \vec{AD} = (\vec{a} + \frac{5}{6}\vec{b}) - \vec{b} = \vec{a} - \frac{1}{6}\vec{b}$.

Сравним полученные выражения для векторов $\vec{DF}$ и $\vec{DK}$. Вынесем из каждого общий множитель, чтобы сделать сравнение очевидным: $\vec{DF} = \frac{1}{7}(6\vec{a} - \vec{b})$ и $\vec{DK} = \frac{1}{6}(6\vec{a} - \vec{b})$.

Из этих равенств видно, что $7\vec{DF} = 6\vec{a} - \vec{b}$ и $6\vec{DK} = 6\vec{a} - \vec{b}$. Таким образом, $7\vec{DF} = 6\vec{DK}$, откуда получаем соотношение $\vec{DF} = \frac{6}{7}\vec{DK}$.

Поскольку вектор $\vec{DF}$ получен умножением вектора $\vec{DK}$ на скаляр $\frac{6}{7}$, эти векторы коллинеарны. Так как они имеют общее начало в точке $D$, точки $D$, $F$ и $K$ лежат на одной прямой. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.