Номер 22.160, страница 219 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

22.160. Сторона правильного шестиугольника ABCDEF равна 1. Вычислите скалярное произведение:

1) $ \vec{BA} \cdot \vec{CD} $

2) $ \vec{AD} \cdot \vec{CD} $

Пусть $a$ — сторона правильного шестиугольника $ABCDEF$. По условию, $a=1$. Скалярное произведение двух векторов $\vec{x}$ и $\vec{y}$ определяется формулой: $\vec{x} \cdot \vec{y} = |\vec{x}| \cdot |\vec{y}| \cdot \cos(\alpha)$, где $\alpha$ — угол между векторами $\vec{x}$ и $\vec{y}$.

1) $\vec{BA} \cdot \vec{CD}$

Найдем длины (модули) векторов. Векторы $\vec{BA}$ и $\vec{CD}$ — это стороны правильного шестиугольника, поэтому их длины равны 1:
$|\vec{BA}| = a = 1$
$|\vec{CD}| = a = 1$

Далее найдем угол $\alpha$ между векторами $\vec{BA}$ и $\vec{CD}$. Для нахождения угла между векторами их необходимо отложить от одной точки. Воспользуемся свойствами правильного шестиугольника. Пусть $O$ — его центр. Тогда треугольники, образованные центром и двумя соседними вершинами (например, $\triangle OAB$), являются равносторонними со стороной, равной стороне шестиугольника. Вектор $\vec{CD}$ равен вектору $\vec{BO}$ (вектор из вершины $B$ в центр $O$), так как они параллельны, сонаправлены и равны по длине ($|\vec{CD}| = a = 1$, $|\vec{BO}| = R = a = 1$). Таким образом, $\vec{CD} = \vec{BO}$.
Следовательно, искомое скалярное произведение равно $\vec{BA} \cdot \vec{BO}$. Угол между векторами $\vec{BA}$ и $\vec{BO}$ — это угол $\angle ABO$ в равностороннем треугольнике $\triangle ABO$. Все углы в равностороннем треугольнике равны $60^\circ$, поэтому $\alpha = \angle ABO = 60^\circ$.

Теперь вычислим скалярное произведение:
$\vec{BA} \cdot \vec{CD} = \vec{BA} \cdot \vec{BO} = |\vec{BA}| \cdot |\vec{BO}| \cdot \cos(60^\circ) = 1 \cdot 1 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.
Ответ: $\frac{1}{2}$

2) $\vec{AD} \cdot \vec{CD}$

Найдем длины векторов. Длина вектора $\vec{CD}$ равна стороне шестиугольника:
$|\vec{CD}| = a = 1$.
Вектор $\vec{AD}$ является большой диагональю правильного шестиугольника. Его длина в два раза больше длины стороны:
$|\vec{AD}| = 2a = 2 \cdot 1 = 2$.

Теперь найдем угол $\beta$ между векторами $\vec{AD}$ и $\vec{CD}$. В правильном шестиугольнике большая диагональ $AD$ параллельна стороне $BC$. Векторы $\vec{AD}$ и $\vec{BC}$ сонаправлены. Поэтому угол между векторами $\vec{AD}$ и $\vec{CD}$ равен углу между векторами $\vec{BC}$ и $\vec{CD}$.
Угол между векторами смежных сторон $\vec{BC}$ и $\vec{CD}$, если их отложить от одной точки, равен внешнему углу правильного шестиугольника. Внутренний угол правильного шестиугольника равен $\angle BCD = \frac{(6-2) \cdot 180^\circ}{6} = 120^\circ$. Значит, угол между векторами $\beta = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$.

Вычислим скалярное произведение:
$\vec{AD} \cdot \vec{CD} = |\vec{AD}| \cdot |\vec{CD}| \cdot \cos(60^\circ) = 2 \cdot 1 \cdot \frac{1}{2} = 1$.
Ответ: $1$