Номер 22.159, страница 219 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

22.159. На рисунке 22.7 изображён ромб $ABCD$, в котором $AB = 2 \text{ см}$, $\angle ABC = 120^\circ$. Найдите скалярное произведение векторов $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$.

Рис. 22.7

Чтобы найти скалярное произведение векторов $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$, воспользуемся правилом сложения векторов и свойствами скалярного произведения.

1. Выразим вектор $\vec{AC}$ через векторы сторон ромба.

Согласно правилу треугольника для сложения векторов, примененному к треугольнику $ABC$, вектор $\vec{AC}$ является суммой векторов $\vec{AB}$ и $\vec{BC}$:

$\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{BC}$

2. Подставим полученное выражение в искомое скалярное произведение.

$\vec{AB} \cdot \vec{AC} = \vec{AB} \cdot (\vec{AB} + \vec{BC})$

Используя дистрибутивное свойство скалярного произведения (раскрывая скобки), получаем:

$\vec{AB} \cdot \vec{AC} = \vec{AB} \cdot \vec{AB} + \vec{AB} \cdot \vec{BC}$

3. Вычислим каждое из двух слагаемых.

Первое слагаемое, $\vec{AB} \cdot \vec{AB}$, является скалярным квадратом вектора $\vec{AB}$. Он равен квадрату длины (модуля) этого вектора.

$\vec{AB} \cdot \vec{AB} = |\vec{AB}|^2$

По условию, длина стороны ромба $AB = 2$ см, следовательно, $|\vec{AB}| = 2$.

$|\vec{AB}|^2 = 2^2 = 4$

Второе слагаемое — это скалярное произведение векторов $\vec{AB}$ и $\vec{BC}$. Оно вычисляется по формуле $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(\alpha)$, где $\alpha$ — угол между векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$.

Длины векторов нам известны: $|\vec{AB}| = 2$ и, так как $ABCD$ — ромб, $|\vec{BC}| = |\vec{AB}| = 2$.

Угол $\angle ABC = 120^\circ$ — это угол между векторами $\vec{BA}$ и $\vec{BC}$, так как они выходят из одной точки $B$. Вектор $\vec{AB}$ направлен в противоположную сторону по отношению к вектору $\vec{BA}$. Следовательно, угол между векторами $\vec{AB}$ и $\vec{BC}$ является смежным с углом $\angle ABC$ и равен $180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$.

Теперь вычислим второе слагаемое:

$\vec{AB} \cdot \vec{BC} = |\vec{AB}| \cdot |\vec{BC}| \cdot \cos(60^\circ) = 2 \cdot 2 \cdot \frac{1}{2} = 2$

4. Найдем окончательный результат.

Сложим значения, полученные в предыдущем шаге:

$\vec{AB} \cdot \vec{AC} = 4 + 2 = 6$

Ответ: 6