Номер 22.164, страница 219 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

22.164. На сторонах $AB$ и $BC$ параллелограмма $ABCD$ отметили соответственно точки $M$ и $K$ так, что $AM : MB = 1 : 2$, $BK : KC = 2 : 3$. Выразите вектор $\vec{KM}$ через векторы $\vec{AB} = \vec{a}$ и $\vec{AD} = \vec{b}$.

Для того чтобы выразить вектор $\vec{KM}$ через векторы $\vec{AB} = \vec{a}$ и $\vec{AD} = \vec{b}$, представим его в виде комбинации других векторов. Удобно использовать правило разности векторов, выбрав в качестве общего начала точку $A$:

$\vec{KM} = \vec{AM} - \vec{AK}$

Теперь найдем каждый из векторов в правой части равенства, выразив их через базисные векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$.

Точка $M$ лежит на стороне $AB$ и делит ее в отношении $AM : MB = 1 : 2$. Это означает, что длина отрезка $AM$ составляет $\frac{1}{1+2} = \frac{1}{3}$ от длины всего отрезка $AB$. Поскольку векторы $\vec{AM}$ и $\vec{AB}$ сонаправлены, то:

$\vec{AM} = \frac{1}{3}\vec{AB} = \frac{1}{3}\vec{a}$

Далее найдем вектор $\vec{AK}$. Для этого воспользуемся правилом сложения векторов (правилом треугольника):

$\vec{AK} = \vec{AB} + \vec{BK}$

Точка $K$ лежит на стороне $BC$ и делит ее в отношении $BK : KC = 2 : 3$. Следовательно, длина отрезка $BK$ составляет $\frac{2}{2+3} = \frac{2}{5}$ от длины всего отрезка $BC$. Векторы $\vec{BK}$ и $\vec{BC}$ сонаправлены, поэтому:

$\vec{BK} = \frac{2}{5}\vec{BC}$

Так как $ABCD$ — параллелограмм, его противолежащие стороны равны и параллельны, что для векторов означает $\vec{BC} = \vec{AD}$. По условию $\vec{AD} = \vec{b}$, значит, $\vec{BC} = \vec{b}$.

Подставляя это в выражение для $\vec{BK}$, получаем:

$\vec{BK} = \frac{2}{5}\vec{b}$

Теперь можем найти вектор $\vec{AK}$:

$\vec{AK} = \vec{AB} + \vec{BK} = \vec{a} + \frac{2}{5}\vec{b}$

Наконец, подставим найденные выражения для $\vec{AM}$ и $\vec{AK}$ в исходную формулу для $\vec{KM}$:

$\vec{KM} = \vec{AM} - \vec{AK} = \frac{1}{3}\vec{a} - \left(\vec{a} + \frac{2}{5}\vec{b}\right)$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$\vec{KM} = \frac{1}{3}\vec{a} - \vec{a} - \frac{2}{5}\vec{b} = \left(\frac{1}{3} - 1\right)\vec{a} - \frac{2}{5}\vec{b} = -\frac{2}{3}\vec{a} - \frac{2}{5}\vec{b}$

Ответ: $\vec{KM} = -\frac{2}{3}\vec{a} - \frac{2}{5}\vec{b}$