Номер 22.162, страница 219 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

22.162. На стороне CD параллелограмма ABCD отметили точку M так, что $CM : MD = 2 : 3$. Выразите вектор $\vec{AM}$ через векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$, где $\vec{a} = \vec{AB}$, $\vec{b} = \vec{AD}$.

Для решения задачи воспользуемся правилом сложения векторов. Вектор $\overrightarrow{AM}$ можно представить как сумму векторов, идущих по сторонам параллелограмма. Удобнее всего представить его как сумму векторов $\overrightarrow{AD}$ и $\overrightarrow{DM}$ (правило треугольника для $\triangle ADM$):

$\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DM}$

Из условия задачи нам известно, что $\overrightarrow{AD} = \vec{b}$.

Теперь необходимо выразить вектор $\overrightarrow{DM}$ через заданные векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$.

Точка $M$ лежит на стороне $CD$, и по условию $CM : MD = 2 : 3$. Это значит, что длина отрезка $MD$ составляет $\frac{3}{2+3} = \frac{3}{5}$ от длины всей стороны $CD$.

Вектор $\overrightarrow{DM}$ направлен от точки $D$ к точке $M$. Этот вектор сонаправлен (имеет то же направление) с вектором $\overrightarrow{DC}$.

В параллелограмме $ABCD$ противоположные стороны параллельны и равны, поэтому $\overrightarrow{DC} = \overrightarrow{AB}$.

По условию $\overrightarrow{AB} = \vec{a}$, следовательно, $\overrightarrow{DC} = \vec{a}$.

Так как вектор $\overrightarrow{DM}$ сонаправлен с вектором $\overrightarrow{DC}$ и его длина составляет $\frac{3}{5}$ от длины вектора $\overrightarrow{DC}$, мы можем записать:

$\overrightarrow{DM} = \frac{3}{5}\overrightarrow{DC} = \frac{3}{5}\vec{a}$

Теперь подставим полученные выражения для $\overrightarrow{AD}$ и $\overrightarrow{DM}$ в исходную формулу для $\overrightarrow{AM}$:

$\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DM} = \vec{b} + \frac{3}{5}\vec{a}$

Принято записывать слагаемые в алфавитном порядке, поэтому можно переставить их местами:

$\overrightarrow{AM} = \frac{3}{5}\vec{a} + \vec{b}$

Ответ: $\overrightarrow{AM} = \frac{3}{5}\vec{a} + \vec{b}$