Номер 22.152, страница 218 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

22.152. Даны точки $A(-2; 1)$ и $B(2; -3)$. Найдите уравнение прямой, которая перпендикулярна прямой $AB$ и пересекает отрезок $AB$ в точке $N$ такой, что $AN : NB = 3 : 1$.

Для нахождения уравнения прямой необходимо выполнить несколько шагов: найти координаты точки пересечения N, определить угловой коэффициент прямой AB, найти угловой коэффициент перпендикулярной ей прямой и, наконец, составить уравнение искомой прямой.

1. Нахождение координат точки N
Точка N делит отрезок AB, соединяющий точки $A(-2; 1)$ и $B(2; -3)$, в отношении $AN : NB = 3 : 1$. Для нахождения координат точки N $(x_N; y_N)$ воспользуемся формулами деления отрезка в данном отношении $m:n$ (здесь $m=3, n=1$):
$x_N = \frac{n \cdot x_A + m \cdot x_B}{m+n}$
$y_N = \frac{n \cdot y_A + m \cdot y_B}{m+n}$
Подставим известные значения:
$x_N = \frac{1 \cdot (-2) + 3 \cdot 2}{3+1} = \frac{-2 + 6}{4} = \frac{4}{4} = 1$
$y_N = \frac{1 \cdot 1 + 3 \cdot (-3)}{3+1} = \frac{1 - 9}{4} = \frac{-8}{4} = -2$
Таким образом, координаты точки пересечения $N(1; -2)$.

2. Нахождение углового коэффициента прямой AB
Угловой коэффициент $k_{AB}$ прямой, проходящей через точки $A(x_A; y_A)$ и $B(x_B; y_B)$, находится по формуле:
$k_{AB} = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A}$
Подставим координаты точек A и B:
$k_{AB} = \frac{-3 - 1}{2 - (-2)} = \frac{-4}{2+2} = \frac{-4}{4} = -1$

3. Нахождение углового коэффициента искомой прямой
Искомая прямая перпендикулярна прямой AB. Условие перпендикулярности двух прямых (не параллельных осям координат) заключается в том, что произведение их угловых коэффициентов равно -1. Обозначим угловой коэффициент искомой прямой как $k_{\perp}$.
$k_{\perp} \cdot k_{AB} = -1$
Отсюда:
$k_{\perp} = -\frac{1}{k_{AB}} = -\frac{1}{-1} = 1$

4. Составление уравнения искомой прямой
Теперь у нас есть все данные для составления уравнения искомой прямой: она проходит через точку $N(1; -2)$ и имеет угловой коэффициент $k_{\perp} = 1$. Воспользуемся уравнением прямой, проходящей через заданную точку с известным угловым коэффициентом $y - y_0 = k(x - x_0)$:
$y - (-2) = 1 \cdot (x - 1)$
$y + 2 = x - 1$
Выразим y, чтобы получить уравнение в стандартном виде $y = kx + b$:
$y = x - 1 - 2$
$y = x - 3$
Это и есть уравнение искомой прямой.
Ответ: $y = x - 3$.