Номер 22.151, страница 218 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

22.151. Докажите, что четырёхугольник $ABCD$ с вершинами в точках $A (2; -2)$, $B (1; 2)$, $C (-3; 1)$ и $D (-2; -3)$ является прямоугольником.

Чтобы доказать, что четырехугольник $ABCD$ является прямоугольником, мы можем показать, что его противоположные стороны попарно параллельны (что доказывает, что это параллелограмм), а смежные стороны перпендикулярны (что доказывает наличие прямого угла). Для этого воспользуемся методом угловых коэффициентов.

Координаты вершин четырехугольника: $A(2; -2)$, $B(1; 2)$, $C(-3; 1)$ и $D(-2; -3)$.

Угловой коэффициент $k$ прямой, проходящей через две точки $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$, вычисляется по формуле $k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$.

Вычислим угловые коэффициенты для каждой стороны четырехугольника $ABCD$:
Угловой коэффициент стороны $AB$: $k_{AB} = \frac{2 - (-2)}{1 - 2} = \frac{4}{-1} = -4$.
Угловой коэффициент стороны $BC$: $k_{BC} = \frac{1 - 2}{-3 - 1} = \frac{-1}{-4} = \frac{1}{4}$.
Угловой коэффициент стороны $CD$: $k_{CD} = \frac{-3 - 1}{-2 - (-3)} = \frac{-4}{-2 + 3} = \frac{-4}{1} = -4$.
Угловой коэффициент стороны $DA$: $k_{DA} = \frac{-2 - (-3)}{2 - (-2)} = \frac{1}{2 + 2} = \frac{1}{4}$.

Теперь проанализируем полученные значения.

1. Проверка на параллельность противоположных сторон.
Прямые параллельны, если их угловые коэффициенты равны.
Сравним коэффициенты для сторон $AB$ и $CD$: $k_{AB} = -4$ и $k_{CD} = -4$. Так как $k_{AB} = k_{CD}$, то $AB \parallel CD$.
Сравним коэффициенты для сторон $BC$ и $DA$: $k_{BC} = \frac{1}{4}$ и $k_{DA} = \frac{1}{4}$. Так как $k_{BC} = k_{DA}$, то $BC \parallel DA$.
Поскольку противоположные стороны четырехугольника попарно параллельны, $ABCD$ является параллелограммом.

2. Проверка на перпендикулярность смежных сторон.
Прямые перпендикулярны, если произведение их угловых коэффициентов равно -1 ($k_1 \cdot k_2 = -1$).
Проверим это условие для смежных сторон $AB$ и $BC$:
$k_{AB} \cdot k_{BC} = -4 \cdot \frac{1}{4} = -1$.
Так как произведение их угловых коэффициентов равно -1, стороны $AB$ и $BC$ перпендикулярны ($AB \perp BC$), а значит, угол $\angle ABC$ — прямой.

Поскольку $ABCD$ — параллелограмм, у которого есть прямой угол, по определению он является прямоугольником.

Ответ: Утверждение, что четырехугольник $ABCD$ является прямоугольником, доказано.