Номер 22.145, страница 218 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

22.145. Отрезок $AM$ — медиана треугольника с вершинами в точках $A (-4; -2), B (5; 3), \text{ и } C (-3; -7)$. Составьте уравнение прямой $AM$.

Поскольку отрезок $AM$ является медианой треугольника $ABC$, точка $M$ — это середина стороны $BC$. Чтобы составить уравнение прямой $AM$, нам нужно знать координаты двух точек, через которые она проходит, — точки $A$ и точки $M$. Координаты точки $A$ даны в условии, а координаты точки $M$ необходимо вычислить.

1. Нахождение координат точки M

Координаты середины отрезка вычисляются как среднее арифметическое координат его концов. Для отрезка с концами в точках $B(x_B; y_B)$ и $C(x_C; y_C)$ координаты середины $M(x_M; y_M)$ находятся по формулам:

$x_M = \frac{x_B + x_C}{2}$

$y_M = \frac{y_B + y_C}{2}$

Подставим координаты точек $B(5; 3)$ и $C(-3; -7)$:

$x_M = \frac{5 + (-3)}{2} = \frac{2}{2} = 1$

$y_M = \frac{3 + (-7)}{2} = \frac{-4}{2} = -2$

Таким образом, точка $M$ имеет координаты $(1; -2)$.

2. Составление уравнения прямой AM

Теперь у нас есть координаты двух точек, принадлежащих прямой $AM$: $A(-4; -2)$ и $M(1; -2)$.

Общий вид уравнения прямой, проходящей через две точки $(x_1; y_1)$ и $(x_2; y_2)$, следующий:

$\frac{x - x_1}{x_2 - x_1} = \frac{y - y_1}{y_2 - y_1}$

Подставим координаты точек $A$ и $M$:

$\frac{x - (-4)}{1 - (-4)} = \frac{y - (-2)}{-2 - (-2)}$

$\frac{x + 4}{5} = \frac{y + 2}{0}$

Знаменатель дроби в правой части уравнения равен нулю. Это указывает на то, что прямая параллельна оси абсцисс (оси $Ox$). Такой случай возникает, когда ординаты ($y$) обеих точек совпадают. Действительно, у точки $A$ ордината равна $-2$, и у точки $M$ ордината равна $-2$.

Прямая, все точки которой имеют одинаковую ординату $b$, задается уравнением $y=b$. В нашем случае все точки прямой $AM$ имеют ординату $-2$.

Следовательно, уравнение прямой $AM$ имеет вид:

$y = -2$

В общем виде это уравнение можно записать как $y + 2 = 0$.

Ответ: $y = -2$.