Номер 22.146, страница 218 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

22.146. Составьте уравнение прямой, проходящей через центры окружностей $(x - 1)^2 + (y - 6)^2 = 3$ и $(x + 1)^2 + y^2 = 7$.

Для решения задачи необходимо найти координаты центров двух заданных окружностей, а затем составить уравнение прямой, проходящей через эти две точки.

Стандартное уравнение окружности с центром в точке $(x_0, y_0)$ и радиусом $r$ имеет вид: $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = r^2$.

1. Нахождение центра первой окружности

Уравнение первой окружности: $(x - 1)^2 + (y - 6)^2 = 3$.

Сравнивая это уравнение со стандартным видом, находим координаты центра $C_1$:
$x_0 = 1, y_0 = 6$.
Следовательно, центр первой окружности находится в точке $C_1(1, 6)$.

2. Нахождение центра второй окружности

Уравнение второй окружности: $(x + 1)^2 + y^2 = 7$.

Перепишем это уравнение в стандартном виде: $(x - (-1))^2 + (y - 0)^2 = 7$.
Сравнивая со стандартным видом, находим координаты центра $C_2$:
$x_0 = -1, y_0 = 0$.
Следовательно, центр второй окружности находится в точке $C_2(-1, 0)$.

3. Составление уравнения прямой, проходящей через центры окружностей

Теперь у нас есть две точки, через которые проходит искомая прямая: $C_1(1, 6)$ и $C_2(-1, 0)$.
Уравнение прямой, проходящей через две точки $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$, задается формулой:
$\frac{x - x_1}{x_2 - x_1} = \frac{y - y_1}{y_2 - y_1}$

Подставим координаты точек $C_1(1, 6)$ и $C_2(-1, 0)$ в эту формулу:
$\frac{x - 1}{-1 - 1} = \frac{y - 6}{0 - 6}$
$\frac{x - 1}{-2} = \frac{y - 6}{-6}$

Теперь упростим полученное уравнение. Умножим обе части на $-6$:
$3(x - 1) = y - 6$
$3x - 3 = y - 6$

Приведем уравнение к общему виду $Ax + By + C = 0$:
$3x - y - 3 + 6 = 0$
$3x - y + 3 = 0$

Это и есть искомое уравнение прямой. Его также можно представить в виде $y = 3x + 3$.

Ответ: $3x - y + 3 = 0$.