Страница 218 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

22.144. Составьте уравнение прямой, проходящей через точки A $(-1; 4)$ и B $(-3; -2)$.

Для нахождения уравнения прямой, проходящей через две заданные точки, можно использовать уравнение прямой с угловым коэффициентом, которое имеет вид $y = kx + b$, где $k$ — угловой коэффициент, а $b$ — ордината точки пересечения прямой с осью OY.

Поскольку прямая проходит через точки $A(-1; 4)$ и $B(-3; -2)$, координаты этих точек должны удовлетворять уравнению прямой. Подставим координаты каждой точки в уравнение $y = kx + b$, чтобы составить систему из двух линейных уравнений с двумя неизвестными $k$ и $b$:

$\begin{cases} 4 = k \cdot (-1) + b \\ -2 = k \cdot (-3) + b\end{cases}$

Упростим систему:$\begin{cases} 4 = -k + b \\ -2 = -3k + b\end{cases}$

Для решения системы вычтем второе уравнение из первого. Это позволит нам исключить переменную $b$ и найти значение $k$:

$(4) - (-2) = (-k + b) - (-3k + b)$

$4 + 2 = -k + b + 3k - b$

$6 = 2k$

$k = \frac{6}{2} = 3$

Теперь, зная угловой коэффициент $k=3$, подставим его значение в любое из уравнений системы, например, в первое, чтобы найти $b$:

$4 = -(3) + b$

$4 = -3 + b$

$b = 4 + 3 = 7$

Мы нашли оба коэффициента: $k = 3$ и $b = 7$. Подставив их в общее уравнение прямой $y = kx + b$, получаем искомое уравнение.

Ответ: $y = 3x + 7$

22.145. Отрезок $AM$ — медиана треугольника с вершинами в точках $A (-4; -2), B (5; 3), \text{ и } C (-3; -7)$. Составьте уравнение прямой $AM$.

Поскольку отрезок $AM$ является медианой треугольника $ABC$, точка $M$ — это середина стороны $BC$. Чтобы составить уравнение прямой $AM$, нам нужно знать координаты двух точек, через которые она проходит, — точки $A$ и точки $M$. Координаты точки $A$ даны в условии, а координаты точки $M$ необходимо вычислить.

1. Нахождение координат точки M

Координаты середины отрезка вычисляются как среднее арифметическое координат его концов. Для отрезка с концами в точках $B(x_B; y_B)$ и $C(x_C; y_C)$ координаты середины $M(x_M; y_M)$ находятся по формулам:

$x_M = \frac{x_B + x_C}{2}$

$y_M = \frac{y_B + y_C}{2}$

Подставим координаты точек $B(5; 3)$ и $C(-3; -7)$:

$x_M = \frac{5 + (-3)}{2} = \frac{2}{2} = 1$

$y_M = \frac{3 + (-7)}{2} = \frac{-4}{2} = -2$

Таким образом, точка $M$ имеет координаты $(1; -2)$.

2. Составление уравнения прямой AM

Теперь у нас есть координаты двух точек, принадлежащих прямой $AM$: $A(-4; -2)$ и $M(1; -2)$.

Общий вид уравнения прямой, проходящей через две точки $(x_1; y_1)$ и $(x_2; y_2)$, следующий:

$\frac{x - x_1}{x_2 - x_1} = \frac{y - y_1}{y_2 - y_1}$

Подставим координаты точек $A$ и $M$:

$\frac{x - (-4)}{1 - (-4)} = \frac{y - (-2)}{-2 - (-2)}$

$\frac{x + 4}{5} = \frac{y + 2}{0}$

Знаменатель дроби в правой части уравнения равен нулю. Это указывает на то, что прямая параллельна оси абсцисс (оси $Ox$). Такой случай возникает, когда ординаты ($y$) обеих точек совпадают. Действительно, у точки $A$ ордината равна $-2$, и у точки $M$ ордината равна $-2$.

Прямая, все точки которой имеют одинаковую ординату $b$, задается уравнением $y=b$. В нашем случае все точки прямой $AM$ имеют ординату $-2$.

Следовательно, уравнение прямой $AM$ имеет вид:

$y = -2$

В общем виде это уравнение можно записать как $y + 2 = 0$.

Ответ: $y = -2$.

22.146. Составьте уравнение прямой, проходящей через центры окружностей $(x - 1)^2 + (y - 6)^2 = 3$ и $(x + 1)^2 + y^2 = 7$.

Для решения задачи необходимо найти координаты центров двух заданных окружностей, а затем составить уравнение прямой, проходящей через эти две точки.

Стандартное уравнение окружности с центром в точке $(x_0, y_0)$ и радиусом $r$ имеет вид: $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = r^2$.

1. Нахождение центра первой окружности

Уравнение первой окружности: $(x - 1)^2 + (y - 6)^2 = 3$.

Сравнивая это уравнение со стандартным видом, находим координаты центра $C_1$:
$x_0 = 1, y_0 = 6$.
Следовательно, центр первой окружности находится в точке $C_1(1, 6)$.

2. Нахождение центра второй окружности

Уравнение второй окружности: $(x + 1)^2 + y^2 = 7$.

Перепишем это уравнение в стандартном виде: $(x - (-1))^2 + (y - 0)^2 = 7$.
Сравнивая со стандартным видом, находим координаты центра $C_2$:
$x_0 = -1, y_0 = 0$.
Следовательно, центр второй окружности находится в точке $C_2(-1, 0)$.

3. Составление уравнения прямой, проходящей через центры окружностей

Теперь у нас есть две точки, через которые проходит искомая прямая: $C_1(1, 6)$ и $C_2(-1, 0)$.
Уравнение прямой, проходящей через две точки $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$, задается формулой:
$\frac{x - x_1}{x_2 - x_1} = \frac{y - y_1}{y_2 - y_1}$

Подставим координаты точек $C_1(1, 6)$ и $C_2(-1, 0)$ в эту формулу:
$\frac{x - 1}{-1 - 1} = \frac{y - 6}{0 - 6}$
$\frac{x - 1}{-2} = \frac{y - 6}{-6}$

Теперь упростим полученное уравнение. Умножим обе части на $-6$:
$3(x - 1) = y - 6$
$3x - 3 = y - 6$

Приведем уравнение к общему виду $Ax + By + C = 0$:
$3x - y - 3 + 6 = 0$
$3x - y + 3 = 0$

Это и есть искомое уравнение прямой. Его также можно представить в виде $y = 3x + 3$.

Ответ: $3x - y + 3 = 0$.

22.147. Составьте уравнение прямой, которая проходит через точку $A(\sqrt{3}; 5)$ и образует с положительным направлением оси абсцисс угол $60^\circ$.

Уравнение прямой в общем виде с угловым коэффициентом записывается как $y = kx + b$, где $k$ — это угловой коэффициент, а $b$ — это точка пересечения с осью ординат.

Угловой коэффициент $k$ прямой связан с углом $\alpha$, который прямая образует с положительным направлением оси абсцисс, через тангенс этого угла: $k = \tan(\alpha)$.

По условию задачи, угол $\alpha = 60°$. Найдем угловой коэффициент $k$:

$k = \tan(60°) = \sqrt{3}$

Теперь у нас есть угловой коэффициент $k = \sqrt{3}$ и точка $A(\sqrt{3}; 5)$, через которую проходит прямая. Мы можем использовать уравнение прямой, проходящей через заданную точку с известным угловым коэффициентом:

$y - y_0 = k(x - x_0)$

Подставим координаты точки $A$ ($x_0 = \sqrt{3}$, $y_0 = 5$) и значение $k$:

$y - 5 = \sqrt{3}(x - \sqrt{3})$

Раскроем скобки и приведем уравнение к стандартному виду $y = kx + b$:

$y - 5 = \sqrt{3} \cdot x - \sqrt{3} \cdot \sqrt{3}$

$y - 5 = \sqrt{3}x - 3$

Перенесем $-5$ в правую часть уравнения:

$y = \sqrt{3}x - 3 + 5$

$y = \sqrt{3}x + 2$

Это и есть искомое уравнение прямой.

Ответ: $y = \sqrt{3}x + 2$

22.148. Составьте уравнение прямой, изображённой на рисунке 22.4.

$y$, $x$, $0$, $3$, $150^\circ$

Рис. 22.4

Уравнение прямой в общем виде записывается как $y = kx + b$, где $k$ — это угловой коэффициент (тангенс угла наклона прямой к положительному направлению оси Ox), а $b$ — это ордината точки пересечения прямой с осью Oy.

1. Найдем угловой коэффициент $k$.

Из рисунка видно, что угол, который прямая образует с положительным направлением оси x, равен $150°$. Следовательно, угловой коэффициент $k$ равен тангенсу этого угла:

$k = \tan(150°)$

Используя формулу приведения $\tan(180° - \alpha) = -\tan(\alpha)$, получаем:

$k = \tan(180° - 30°) = -\tan(30°) = -\frac{\sqrt{3}}{3}$

Теперь уравнение прямой принимает вид: $y = -\frac{\sqrt{3}}{3}x + b$.

2. Найдем коэффициент $b$.

Из графика видно, что прямая проходит через точку с координатами $(3; 0)$. Подставим значения $x = 3$ и $y = 0$ в полученное уравнение, чтобы найти $b$:

$0 = -\frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 3 + b$

$0 = -\sqrt{3} + b$

$b = \sqrt{3}$

3. Составим итоговое уравнение прямой.

Подставив найденные значения $k = -\frac{\sqrt{3}}{3}$ и $b = \sqrt{3}$ в общую формулу $y = kx + b$, получаем искомое уравнение:

$y = -\frac{\sqrt{3}}{3}x + \sqrt{3}$

Ответ: $y = -\frac{\sqrt{3}}{3}x + \sqrt{3}$.

22.149. Составьте уравнение прямой, которая проходит через точку $P(2; -5)$ и параллельна прямой $y = -0.5x + 9$.

Общий вид уравнения прямой имеет форму $y = kx + b$, где $k$ — это угловой коэффициент (наклон), а $b$ — это точка пересечения с осью $y$.

По условию, искомая прямая параллельна прямой $y = -0,5x + 9$. Две прямые параллельны, если их угловые коэффициенты равны. Угловой коэффициент данной прямой равен $-0,5$. Следовательно, угловой коэффициент искомой прямой $k$ также равен $-0,5$.

Таким образом, уравнение искомой прямой принимает вид: $y = -0,5x + b$.

Чтобы найти значение $b$, мы используем информацию о том, что прямая проходит через точку $P(2; -5)$. Это означает, что координаты этой точки удовлетворяют уравнению прямой. Подставим значения $x=2$ и $y=-5$ в наше уравнение:

$-5 = -0,5 \cdot 2 + b$

Выполним вычисления:

$-5 = -1 + b$

Теперь решим уравнение относительно $b$:

$b = -5 + 1$

$b = -4$

Теперь у нас есть все необходимые компоненты для уравнения прямой: $k = -0,5$ и $b = -4$. Подставим их в общую формулу:

$y = -0,5x - 4$

Ответ: $y = -0,5x - 4$

22.150. Докажите, что четырёхугольник $ABCD$ с вершинами в точках $A (-1; 5)$, $B (4; 6)$, $C (3; 1)$ и $D (-2; 0)$ является ромбом.

Для того чтобы доказать, что четырёхугольник ABCD является ромбом, необходимо показать, что все его стороны равны по длине. Длину стороны (расстояние между двумя точками с координатами $(x_1; y_1)$ и $(x_2; y_2)$) можно найти по формуле:$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$.

Вычислим длины всех сторон четырёхугольника ABCD с заданными вершинами: A(-1; 5), B(4; 6), C(3; 1) и D(-2; 0).

1. Длина стороны AB:$AB = \sqrt{(4 - (-1))^2 + (6 - 5)^2} = \sqrt{(4 + 1)^2 + 1^2} = \sqrt{5^2 + 1^2} = \sqrt{25 + 1} = \sqrt{26}$.

2. Длина стороны BC:$BC = \sqrt{(3 - 4)^2 + (1 - 6)^2} = \sqrt{(-1)^2 + (-5)^2} = \sqrt{1 + 25} = \sqrt{26}$.

3. Длина стороны CD:$CD = \sqrt{(-2 - 3)^2 + (0 - 1)^2} = \sqrt{(-5)^2 + (-1)^2} = \sqrt{25 + 1} = \sqrt{26}$.

4. Длина стороны DA:$DA = \sqrt{(-1 - (-2))^2 + (5 - 0)^2} = \sqrt{(-1 + 2)^2 + 5^2} = \sqrt{1^2 + 5^2} = \sqrt{1 + 25} = \sqrt{26}$.

Поскольку все стороны четырёхугольника имеют одинаковую длину $AB = BC = CD = DA = \sqrt{26}$, по определению, данный четырёхугольник является ромбом.

Ответ: Что и требовалось доказать, четырёхугольник ABCD является ромбом.

22.151. Докажите, что четырёхугольник $ABCD$ с вершинами в точках $A (2; -2)$, $B (1; 2)$, $C (-3; 1)$ и $D (-2; -3)$ является прямоугольником.

Чтобы доказать, что четырехугольник $ABCD$ является прямоугольником, мы можем показать, что его противоположные стороны попарно параллельны (что доказывает, что это параллелограмм), а смежные стороны перпендикулярны (что доказывает наличие прямого угла). Для этого воспользуемся методом угловых коэффициентов.

Координаты вершин четырехугольника: $A(2; -2)$, $B(1; 2)$, $C(-3; 1)$ и $D(-2; -3)$.

Угловой коэффициент $k$ прямой, проходящей через две точки $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$, вычисляется по формуле $k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$.

Вычислим угловые коэффициенты для каждой стороны четырехугольника $ABCD$:
Угловой коэффициент стороны $AB$: $k_{AB} = \frac{2 - (-2)}{1 - 2} = \frac{4}{-1} = -4$.
Угловой коэффициент стороны $BC$: $k_{BC} = \frac{1 - 2}{-3 - 1} = \frac{-1}{-4} = \frac{1}{4}$.
Угловой коэффициент стороны $CD$: $k_{CD} = \frac{-3 - 1}{-2 - (-3)} = \frac{-4}{-2 + 3} = \frac{-4}{1} = -4$.
Угловой коэффициент стороны $DA$: $k_{DA} = \frac{-2 - (-3)}{2 - (-2)} = \frac{1}{2 + 2} = \frac{1}{4}$.

Теперь проанализируем полученные значения.

1. Проверка на параллельность противоположных сторон.
Прямые параллельны, если их угловые коэффициенты равны.
Сравним коэффициенты для сторон $AB$ и $CD$: $k_{AB} = -4$ и $k_{CD} = -4$. Так как $k_{AB} = k_{CD}$, то $AB \parallel CD$.
Сравним коэффициенты для сторон $BC$ и $DA$: $k_{BC} = \frac{1}{4}$ и $k_{DA} = \frac{1}{4}$. Так как $k_{BC} = k_{DA}$, то $BC \parallel DA$.
Поскольку противоположные стороны четырехугольника попарно параллельны, $ABCD$ является параллелограммом.

2. Проверка на перпендикулярность смежных сторон.
Прямые перпендикулярны, если произведение их угловых коэффициентов равно -1 ($k_1 \cdot k_2 = -1$).
Проверим это условие для смежных сторон $AB$ и $BC$:
$k_{AB} \cdot k_{BC} = -4 \cdot \frac{1}{4} = -1$.
Так как произведение их угловых коэффициентов равно -1, стороны $AB$ и $BC$ перпендикулярны ($AB \perp BC$), а значит, угол $\angle ABC$ — прямой.

Поскольку $ABCD$ — параллелограмм, у которого есть прямой угол, по определению он является прямоугольником.

Ответ: Утверждение, что четырехугольник $ABCD$ является прямоугольником, доказано.

22.152. Даны точки $A(-2; 1)$ и $B(2; -3)$. Найдите уравнение прямой, которая перпендикулярна прямой $AB$ и пересекает отрезок $AB$ в точке $N$ такой, что $AN : NB = 3 : 1$.

Для нахождения уравнения прямой необходимо выполнить несколько шагов: найти координаты точки пересечения N, определить угловой коэффициент прямой AB, найти угловой коэффициент перпендикулярной ей прямой и, наконец, составить уравнение искомой прямой.

1. Нахождение координат точки N
Точка N делит отрезок AB, соединяющий точки $A(-2; 1)$ и $B(2; -3)$, в отношении $AN : NB = 3 : 1$. Для нахождения координат точки N $(x_N; y_N)$ воспользуемся формулами деления отрезка в данном отношении $m:n$ (здесь $m=3, n=1$):
$x_N = \frac{n \cdot x_A + m \cdot x_B}{m+n}$
$y_N = \frac{n \cdot y_A + m \cdot y_B}{m+n}$
Подставим известные значения:
$x_N = \frac{1 \cdot (-2) + 3 \cdot 2}{3+1} = \frac{-2 + 6}{4} = \frac{4}{4} = 1$
$y_N = \frac{1 \cdot 1 + 3 \cdot (-3)}{3+1} = \frac{1 - 9}{4} = \frac{-8}{4} = -2$
Таким образом, координаты точки пересечения $N(1; -2)$.

2. Нахождение углового коэффициента прямой AB
Угловой коэффициент $k_{AB}$ прямой, проходящей через точки $A(x_A; y_A)$ и $B(x_B; y_B)$, находится по формуле:
$k_{AB} = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A}$
Подставим координаты точек A и B:
$k_{AB} = \frac{-3 - 1}{2 - (-2)} = \frac{-4}{2+2} = \frac{-4}{4} = -1$

3. Нахождение углового коэффициента искомой прямой
Искомая прямая перпендикулярна прямой AB. Условие перпендикулярности двух прямых (не параллельных осям координат) заключается в том, что произведение их угловых коэффициентов равно -1. Обозначим угловой коэффициент искомой прямой как $k_{\perp}$.
$k_{\perp} \cdot k_{AB} = -1$
Отсюда:
$k_{\perp} = -\frac{1}{k_{AB}} = -\frac{1}{-1} = 1$

4. Составление уравнения искомой прямой
Теперь у нас есть все данные для составления уравнения искомой прямой: она проходит через точку $N(1; -2)$ и имеет угловой коэффициент $k_{\perp} = 1$. Воспользуемся уравнением прямой, проходящей через заданную точку с известным угловым коэффициентом $y - y_0 = k(x - x_0)$:
$y - (-2) = 1 \cdot (x - 1)$
$y + 2 = x - 1$
Выразим y, чтобы получить уравнение в стандартном виде $y = kx + b$:
$y = x - 1 - 2$
$y = x - 3$
Это и есть уравнение искомой прямой.
Ответ: $y = x - 3$.

22.153. Найдите координаты суммы векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$, изображённых на рисунке 22.5.

Рис. 22.5

Чтобы найти координаты суммы векторов, нужно сначала определить координаты каждого вектора по отдельности, а затем сложить их соответствующие компоненты (координаты по оси $x$ с $x$, и по оси $y$ с $y$).

1. Определение координат вектора $\vec{a}$

Вектор $\vec{a}$ начинается в точке $(0, 0)$ и заканчивается в точке с координатами $(-2, 3)$. Чтобы попасть в конец вектора из его начала, нужно сместиться на 2 единицы влево по оси $x$ (что соответствует $-2$) и на 3 единицы вверх по оси $y$ (что соответствует $+3$). Таким образом, координаты вектора $\vec{a}$ равны $(-2, 3)$.

2. Определение координат вектора $\vec{b}$

Вектор $\vec{b}$ также начинается в точке $(0, 0)$ и заканчивается в точке с координатами $(3, 4)$. Чтобы попасть в конец вектора из его начала, нужно сместиться на 3 единицы вправо по оси $x$ (что соответствует $+3$) и на 4 единицы вверх по оси $y$ (что соответствует $+4$). Таким образом, координаты вектора $\vec{b}$ равны $(3, 4)$.

3. Вычисление суммы векторов

Сумма векторов $\vec{a} = (x_a, y_a)$ и $\vec{b} = (x_b, y_b)$ вычисляется по формуле:

$\vec{a} + \vec{b} = (x_a + x_b, y_a + y_b)$

Подставим координаты наших векторов:

$\vec{a} + \vec{b} = (-2 + 3, 3 + 4) = (1, 7)$

Координаты суммы векторов равны $(1, 7)$.

Ответ: $(1, 7)$

22.154. Найдите координаты разности векторов $ \vec{a} $ и $ \vec{b} $, изображённых на рисунке 22.6.

Рис. 22.6

Для нахождения координат разности векторов $\vec{a} - \vec{b}$ необходимо сначала определить координаты каждого вектора по рисунку.

Координаты вектора, отложенного от начала координат, равны координатам его конечной точки.

1. Определим координаты вектора $\vec{a}$. Его начало находится в точке $(0, 0)$, а конец — в точке с координатами $(3, 2)$. Следовательно, вектор $\vec{a}$ имеет координаты $\{3; 2\}$.

2. Определим координаты вектора $\vec{b}$. Его начало находится в точке $(0, 0)$, а конец — в точке с координатами $(1, -2)$. Следовательно, вектор $\vec{b}$ имеет координаты $\{1; -2\}$.

3. Вычислим координаты разности векторов $\vec{a} - \vec{b}$. Разность векторов $\vec{a} = \{x_1; y_1\}$ и $\vec{b} = \{x_2; y_2\}$ — это вектор $\vec{c}$, координаты которого равны разностям соответствующих координат векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$:
$\vec{c} = \vec{a} - \vec{b} = \{x_1 - x_2; y_1 - y_2\}$

Подставим найденные координаты:
$\vec{a} - \vec{b} = \{3 - 1; 2 - (-2)\} = \{2; 2 + 2\} = \{2; 4\}$.

Таким образом, координаты разности векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ равны $\{2; 4\}$.

Ответ: $\{2; 4\}$.

22.155. Даны векторы $\vec{a} (3; -1)$ и $\vec{b} (1; -2)$. Найдите координаты вектора $\vec{m}$, если $\vec{m} = 3\vec{a} - 2\vec{b}$.

Для нахождения координат вектора $\vec{m}$ необходимо выполнить операции умножения векторов на скаляр и вычитания векторов. Все операции производятся покоординатно.

Даны векторы $\vec{a}(3; -1)$ и $\vec{b}(1; -2)$, и выражение для вектора $\vec{m}$:
$\vec{m} = 3\vec{a} - 2\vec{b}$.

Подставим координаты векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ в это выражение:
$\vec{m} = 3 \cdot (3; -1) - 2 \cdot (1; -2)$.

Сначала выполним умножение векторов на скаляры (числа). Для этого каждую координату каждого вектора умножаем на соответствующий скаляр:
$3 \cdot (3; -1) = (3 \cdot 3; 3 \cdot (-1)) = (9; -3)$.
$2 \cdot (1; -2) = (2 \cdot 1; 2 \cdot (-2)) = (2; -4)$.

Теперь подставим полученные векторы обратно в выражение для $\vec{m}$ и выполним вычитание. Вычитание векторов также производится покоординатно, то есть из x-координаты первого вектора вычитается x-координата второго, и то же самое для y-координат:
$\vec{m} = (9; -3) - (2; -4) = (9 - 2; -3 - (-4)) = (7; -3 + 4) = (7; 1)$.

Таким образом, координаты вектора $\vec{m}$ равны $(7; 1)$.

Ответ: $(7; 1)$.