Страница 224 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

K § 3 «Сложение и вычитание векторов»

1. Добавьте к набору подпрограмм для работы с векторами подпрограммы:

1) сложения двух векторов;

2) вычитания двух векторов.

2. Определите, какие полезные подпрограммы для работы с векторами можно создать по материалу этого параграфа. Напишите их.

3. Напишите программу для сложения n векторов, используя ранее созданные подпрограммы. Обратите особое внимание на способ задания этих векторов.

1.

Для добавления подпрограмм сложения и вычитания векторов необходимо определить, как представляется вектор. Наиболее универсальным способом является представление вектора в виде массива (или списка) его координат. Например, вектор $\vec{v} = (x, y, z)$ будет представлен как список `[x, y, z]`. Операции сложения и вычитания векторов определены только для векторов одинаковой размерности.

1) сложения двух векторов

Сложение двух векторов $\vec{a} = (a_1, a_2, \dots, a_n)$ и $\vec{b} = (b_1, b_2, \dots, b_n)$ производится поэлементно. Результатом является новый вектор $\vec{c}$, каждая координата которого равна сумме соответствующих координат исходных векторов:

$\vec{c} = \vec{a} + \vec{b} = (a_1 + b_1, a_2 + b_2, \dots, a_n + b_n)$

Подпрограмма (функция) для сложения двух векторов может быть реализована следующим образом (на примере Python):

def add_vectors(v1, v2): "" Складывает два вектора, представленных в виде списков чисел. Векторы должны иметь одинаковую размерность. "" if len(v1) != len(v2): raise ValueError("Векторы должны иметь одинаковую размерность для сложения.") result = [] for i in range(len(v1)): result.append(v1[i] + v2[i]) return result# Пример использования:a = [1, 2, 3]b = [4, 5, 6]c = add_vectors(a, b)# c будет равен [5, 7, 9] 

2) вычитания двух векторов

Вычитание векторов также производится поэлементно. Из координат вектора $\vec{a}$ вычитаются соответствующие координаты вектора $\vec{b}$:

$\vec{d} = \vec{a} - \vec{b} = (a_1 - b_1, a_2 - b_2, \dots, a_n - b_n)$

Подпрограмма для вычитания двух векторов:

def subtract_vectors(v1, v2): "" Вычитает второй вектор из первого. Векторы должны иметь одинаковую размерность. "" if len(v1) != len(v2): raise ValueError("Векторы должны иметь одинаковую размерность для вычитания.") result = [] for i in range(len(v1)): result.append(v1[i] - v2[i]) return result# Пример использования:a = [10, 20, 30]b = [3, 5, 7]d = subtract_vectors(a, b)# d будет равен [7, 15, 23] 

Ответ: Выше представлены реализации подпрограмм для сложения и вычитания векторов, которые принимают на вход два списка чисел (векторы) и возвращают новый список (результирующий вектор) после выполнения соответствующей операции.

2.

На основе материала о сложении и вычитании векторов, а также связанных с ними базовых векторных операций, можно создать следующие полезные подпрограммы:

• Умножение вектора на скаляр (число). Эта операция изменяет длину вектора (и, возможно, направление на противоположное, если скаляр отрицательный).
  Формула: $k \cdot \vec{a} = (k \cdot a_1, k \cdot a_2, \dots, k \cdot a_n)$
  

  def scalar_multiply(vector, scalar): ""Умножает вектор на скаляр."" return [coord * scalar for coord in vector] 

• Нахождение длины (модуля) вектора. Это вычисление скалярной величины, характеризующей "длину" вектора в пространстве. Она вычисляется как квадратный корень из суммы квадратов его координат.
  Формула: $|\vec{a}| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + \dots + a_n^2}$
  

  import mathdef vector_magnitude(vector): ""Вычисляет длину (модуль) вектора."" return math.sqrt(sum(coord**2 for coord in vector)) 

• Скалярное произведение векторов. Результатом этой операции является число, которое можно использовать для нахождения угла между векторами или проекции одного вектора на другой.
  Формула: $\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2 + \dots + a_n b_n$
  

  def dot_product(v1, v2): ""Вычисляет скалярное произведение двух векторов."" if len(v1) != len(v2): raise ValueError("Векторы должны иметь одинаковую размерность.") return sum(v1[i] * v2[i] for i in range(len(v1))) 

• Нахождение противоположного вектора. Это вектор той же длины, но направленный в противоположную сторону. Его можно получить, вычитая вектор из нулевого вектора или умножая на скаляр -1.
  Формула: $-\vec{a} = (-a_1, -a_2, \dots, -a_n)$
  

  def negate_vector(vector): ""Возвращает противоположный вектор."" return [-coord for coord in vector] 

Ответ: Можно создать подпрограммы для умножения вектора на скаляр, вычисления его длины (модуля), нахождения скалярного произведения двух векторов и нахождения противоположного вектора.

3.

Для сложения $n$ векторов можно использовать подпрограмму сложения двух векторов, применяя её итеративно. Алгоритм будет следующим:
1. Создать "вектор-аккумулятор" (результирующий вектор), изначально равный нулевому вектору. Его размерность должна совпадать с размерностью складываемых векторов.
2. В цикле перебрать все $n$ векторов.
3. На каждой итерации прибавлять текущий вектор из списка к вектору-аккумулятору, используя ранее созданную подпрограмму `add_vectors`.

Особое внимание уделим способу задания векторов. Удобно представить набор из $n$ векторов как список списков (или двумерный массив), где каждый внутренний список — это координаты одного вектора. Например, набор из трёх 2D-векторов $\vec{v_1}=(1, 5)$, $\vec{v_2}=(2, 8)$, $\vec{v_3}=(-1, 3)$ будет задан как `[[1, 5], [2, 8], [-1, 3]]`. Важным условием является то, что все векторы в наборе должны иметь одинаковую размерность.

Ниже представлена программа, которая реализует этот подход.

# Подпрограмма из пункта 1 для сложения двух векторовdef add_vectors(v1, v2): ""Складывает два вектора."" if len(v1) != len(v2): raise ValueError("Векторы должны иметь одинаковую размерность.") result = [] for i in range(len(v1)): result.append(v1[i] + v2[i]) return result# Основная программа для сложения n векторовdef sum_n_vectors(list_of_vectors): "" Складывает n векторов, заданных в виде списка списков. Возвращает результирующий вектор. "" # Проверка, что список векторов не пуст if not list_of_vectors: return [] # Возвращаем пустой вектор, если на входе пустой список # Определяем размерность по первому вектору dimension = len(list_of_vectors[0]) # Создаем нулевой вектор-аккумулятор для хранения суммы sum_vector = [0] * dimension # Итеративно складываем векторы for vector in list_of_vectors: # Проверяем, что все векторы имеют одинаковую размерность if len(vector) != dimension: raise ValueError("Все векторы в списке должны иметь одинаковую размерность.") sum_vector = add_vectors(sum_vector, vector) return sum_vector# --- Пример использования ---# Способ задания: список, содержащий три 3D-вектораvectors = [ [1, 2, 3], [10, 11, 12], [-5, -3, -1]]# Вычисляем суммуresult_vector = sum_n_vectors(vectors)# Вывод результата# Ожидаемый результат: [1+10-5, 2+11-3, 3+12-1] -> [6, 10, 14]print(f"Набор векторов: {vectors}")print(f"Сумма векторов: {result_vector}") 

Ответ: Программа для сложения $n$ векторов реализована с использованием итеративного подхода, где ранее созданная подпрограмма `add_vectors` последовательно применяется к вектору-сумме и очередному вектору из заданного списка. Векторы задаются в виде списка списков, при этом все внутренние списки (векторы) должны иметь одинаковую длину (размерность).

К § 4 «Умножение вектора на число. Гомотетия»

1. Добавьте к набору подпрограмм для работы с векторами подпрограмму умножения вектора на число.

2. Напишите программу для нахождения образа данной точки при гомотетии с данным центром и данным коэффициентом. Используйте ранее созданные подпрограммы для работы с векторами.

1.

Умножение вектора $\vec{a} = (a_x, a_y)$ на число (скаляр) $k$ — это операция, результатом которой является новый вектор $\vec{b}$. Этот вектор коллинеарен исходному вектору $\vec{a}$, его длина равна $|\vec{a}| \cdot |k|$, а направление совпадает с направлением $\vec{a}$ при $k > 0$ и противоположно ему при $k < 0$. Координаты результирующего вектора вычисляются путем умножения каждой координаты исходного вектора на скаляр $k$:

$\vec{b} = k \cdot \vec{a} = (k \cdot a_x, k \cdot a_y)$

Подпрограмма для выполнения этой операции должна принимать на вход вектор и число, а возвращать новый вектор, являющийся их произведением. Ниже приведен пример реализации такой подпрограммы на языке Python, где вектор представлен в виде кортежа (tuple) из двух чисел.

# Вектор представлен как кортеж (x, y)# Скаляр - это число (int или float)def multiply_vector_by_scalar(vector, scalar): "" Умножает двумерный вектор на скаляр. :param vector: Кортеж (x, y), представляющий вектор. :param scalar: Число, на которое умножается вектор. :return: Новый кортеж, представляющий результирующий вектор. "" x, y = vector result_x = x * scalar result_y = y * scalar return (result_x, result_y)# Пример использования:# vec_a = (3, -5)# k = 2# vec_b = multiply_vector_by_scalar(vec_a, k)# print(f"Вектор {vec_a} умноженный на {k} равен {vec_b}")# Вывод: Вектор (3, -5) умноженный на 2 равен (6, -10) 

Ответ: Подпрограмма умножения вектора на число может быть реализована, как показано в коде выше. Она принимает вектор и скаляр, и возвращает новый вектор, каждая координата которого является произведением соответствующей координаты исходного вектора и скаляра.

2.

Гомотетия — это преобразование плоскости (или пространства), задаваемое центром $C$ и коэффициентом $k \neq 0$. При этом преобразовании любая точка $A$ переходит в точку $A'$ так, что выполняется векторное равенство:

$\vec{CA'} = k \cdot \vec{CA}$

Используя радиус-векторы точек (векторы, идущие из начала координат в данную точку), это равенство можно записать как $\vec{r}_{A'} - \vec{r}_C = k \cdot (\vec{r}_A - \vec{r}_C)$, где $\vec{r}_P$ — радиус-вектор точки $P$. Выразив отсюда радиус-вектор искомой точки $A'$, получим формулу для вычислений:

$\vec{r}_{A'} = \vec{r}_C + k \cdot (\vec{r}_A - \vec{r}_C)$

Эта формула показывает, что для нахождения координат точки $A'$ необходимо выполнить следующие векторные операции:

1. Вычитание векторов: найти вектор $\vec{CA}$, вычитая из радиус-вектора точки $A$ радиус-вектор центра $C$.
2. Умножение вектора на число: умножить полученный вектор $\vec{CA}$ на коэффициент $k$.
3. Сложение векторов: сложить радиус-вектор центра $C$ с вектором, полученным на предыдущем шаге.

Для написания программы необходимо использовать набор подпрограмм для работы с векторами. Предположим, что у нас есть следующие подпрограммы: сложение векторов, вычитание векторов и умножение вектора на число (реализованная в пункте 1). Ниже представлена полная программа на Python для нахождения образа точки при гомотетии.

# --- Набор подпрограмм для работы с векторами ---# Точки и векторы представляются как кортежи (x, y)def add_vectors(v1, v2): ""Складывает два вектора."" return (v1[0] + v2[0], v1[1] + v2[1])def subtract_vectors(v1, v2): ""Вычитает второй вектор из первого."" return (v1[0] - v2[0], v1[1] - v2[1])def multiply_vector_by_scalar(vector, scalar): ""Умножает вектор на скаляр."" return (vector[0] * scalar, vector[1] * scalar)# --- Основная программа для нахождения образа точки при гомотетии ---def find_homothety_image(point_A, center_C, k): "" Находит образ точки A при гомотетии с центром C и коэффициентом k. :param point_A: Кортеж (x, y) с координатами исходной точки. :param center_C: Кортеж (x, y) с координатами центра гомотетии. :param k: Коэффициент гомотетии (число). :return: Кортеж (x, y) с координатами образа точки. "" # Шаг 1: Найти вектор CA = A - C vector_CA = subtract_vectors(point_A, center_C) # Шаг 2: Умножить вектор CA на коэффициент k scaled_vector = multiply_vector_by_scalar(vector_CA, k) # Шаг 3: Найти образ A' = C + k * CA point_A_prime = add_vectors(center_C, scaled_vector) return point_A_prime# --- Пример использования программы ---# Входные данныеpoint = (4, 5)center = (1, 2)coefficient = 3# Вычислениеimage_point = find_homothety_image(point, center, coefficient)# Вывод результата# print(f"Исходная точка A: {point}")# print(f"Центр гомотетии C: {center}")# print(f"Коэффициент k: {coefficient}")# print(f"Образ точки A': {image_point}")# Ожидаемый результат:# vector_CA = (4-1, 5-2) = (3, 3)# scaled_vector = 3 * (3, 3) = (9, 9)# A' = (1, 2) + (9, 9) = (10, 11) 

Ответ: Программа для нахождения образа точки при гомотетии, использующая ранее созданные подпрограммы для работы с векторами, представлена в коде выше. Основная функция `find_homothety_image` принимает исходную точку, центр гомотетии и коэффициент, после чего, в соответствии с векторной формулой, вычисляет и возвращает координаты новой точки.

К § 5 «Скалярное произведение векторов»

Добавьте к набору подпрограмм для работы с векторами подпрограммы:

1) нахождения скалярного произведения двух векторов;

2) нахождения угла между двумя векторами.

Для добавления в набор подпрограмм для работы с векторами можно реализовать следующие две подпрограммы, основываясь на математических определениях скалярного произведения и угла между векторами.

1) нахождения скалярного произведения двух векторов;

Скалярное произведение (или точечное произведение) двух векторов является скалярной величиной (числом), которое характеризует, как два вектора соотносятся друг с другом по направлению.

Для двух векторов $\vec{a} = (a_1, a_2, \dots, a_n)$ и $\vec{b} = (b_1, b_2, \dots, b_n)$ в n-мерном пространстве их скалярное произведение $\vec{a} \cdot \vec{b}$ вычисляется как сумма произведений их соответствующих координат.

Формула для вычисления скалярного произведения:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2 + \dots + a_n b_n = \sum_{i=1}^{n} a_i b_i$

Например, для трехмерного пространства с векторами $\vec{a} = (a_x, a_y, a_z)$ и $\vec{b} = (b_x, b_y, b_z)$ формула выглядит так:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z$

Алгоритм подпрограммы:

1. Получить на вход два вектора (например, в виде массивов их координат).
2. Проверить, что векторы имеют одинаковую размерность. В случае несоответствия, обработать ошибку.
3. Инициализировать переменную, хранящую результат, нулевым значением.
4. В цикле перебрать все компоненты векторов, на каждом шаге умножая соответствующие координаты ($a_i$ на $b_i$) и добавляя результат к итоговой сумме.
5. Вернуть вычисленную сумму.

Ответ: Подпрограмма для нахождения скалярного произведения двух векторов должна принимать на вход их координаты, поэлементно их перемножать и возвращать сумму этих произведений, используя формулу $\vec{a} \cdot \vec{b} = \sum_{i=1}^{n} a_i b_i$.

2) нахождения угла между двумя векторами.

Угол между двумя ненулевыми векторами можно найти, используя определение скалярного произведения через модули векторов и косинус угла между ними.

Геометрическое определение скалярного произведения:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos(\theta)$

где $|\vec{a}|$ и $|\vec{b}|$ — это модули (длины) векторов, а $\theta$ — угол между ними.

Модуль вектора $\vec{a} = (a_1, a_2, \dots, a_n)$ вычисляется по формуле:

$|\vec{a}| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + \dots + a_n^2} = \sqrt{\sum_{i=1}^{n} a_i^2}$

Из геометрического определения можно выразить косинус угла $\theta$:

$\cos(\theta) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|}$

Сам угол $\theta$ находится путем взятия арккосинуса от полученного значения:

$\theta = \arccos\left(\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|}\right)$

Результат обычно получается в радианах. Для перевода в градусы можно использовать формулу: $\text{градусы} = \text{радианы} \times \frac{180}{\pi}$.

Алгоритм подпрограммы:

1. Получить на вход два вектора.
2. Вычислить скалярное произведение векторов $\vec{a} \cdot \vec{b}$ (можно использовать подпрограмму из пункта 1).
3. Вычислить модуль вектора $\vec{a}$ и модуль вектора $\vec{b}$.
4. Проверить, не равен ли какой-либо из модулей нулю. Если один из векторов нулевой, угол между ними не определен, и следует обработать эту ситуацию (например, вернуть ошибку), чтобы избежать деления на ноль.
5. Вычислить косинус угла, разделив скалярное произведение на произведение модулей.
6. Применить к результату математическую функцию арккосинуса (`acos`) для нахождения угла в радианах.
7. Вернуть полученное значение угла.

Ответ: Подпрограмма для нахождения угла между двумя векторами должна вычислить их скалярное произведение и модули, а затем найти угол по формуле $\theta = \arccos\left(\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|}\right)$, предварительно убедившись, что модули векторов не равны нулю.

К § 6 «Уравнение плоскости»

1. Предположим, что есть подпрограмма, которая по координатам точки в пространстве определяет, принадлежит ли эта точка некоторому ГМТ. Как, пользуясь этой подпрограммой, построить изображение этого ГМТ на экране компьютера в декартовой системе координат? Напишите программу для построения такого изображения. Каковы недостатки этого изображения? Какое преобразование, изученное в 10 классе, фактически реализует эта программа?

2. Напишите подпрограмму, которая по координатам точки в пространстве определяет, принадлежит ли она плоскости $ax + by + cz + d = 0$, заданной входными параметрами $a, b, c, d$ подпрограммы.

3. С помощью программ, созданных в заданиях 1 и 2, изобразите несколько разных плоскостей на экране компьютера. Сделайте вывод о целесообразности изображения плоскости «целиком». Подберите параметры $a, b, c, d$ так, чтобы получить изображение плоскости в виде прямой.

4. Как можно модифицировать программу изображения плоскости, что-бы это изображение было осмысленным?

1. Чтобы построить изображение геометрического места точек (ГМТ) на экране компьютера, можно использовать следующий алгоритм. Экран представляет собой двумерную сетку пикселей. Мы можем спроецировать трехмерное пространство на эту двумерную плоскость экрана. Самый простой способ — это параллельная проекция на плоскость $XY$. При такой проекции точка с координатами $(x, y, z)$ отображается в точку $(x, y)$ на плоскости.

Алгоритм построения изображения будет таким:
1. Перебираем каждый пиксель на экране с координатами $(s_x, s_y)$.
2. Сопоставляем координаты пикселя с координатами $(x, y)$ в мировой системе координат. Для простоты будем считать, что $x = s_x$ и $y = s_y$.
3. Для каждого пикселя $(x, y)$ мы должны проверить, существует ли такая координата $z$, что точка $(x, y, z)$ принадлежит нашему ГМТ. Для этого мы перебираем значения $z$ в некотором заданном диапазоне (например, от $z_{min}$ до $z_{max}$) с определенным шагом.
4. В цикле по $z$ мы вызываем данную нам подпрограмму, чтобы проверить, принадлежит ли точка $(x, y, z)$ ГМТ.
5. Если подпрограмма возвращает «истина», мы закрашиваем пиксель $(s_x, s_y)$ определенным цветом и можем прекратить перебор $z$ для этого пикселя, переходя к следующему.
6. Если после перебора всех $z$ точка не была найдена, пиксель остается незакрашенным (цветом фона).

Псевдокод программы может выглядеть так:
ПОДПРОГРАММА is_point_on_gmt(x, y, z) -> ЛОГИЧЕСКИЙ
// Предоставленная подпрограмма
КОНЕЦ ПОДПРОГРАММЫ

ПРОЦЕДУРА draw_gmt(z_min, z_max, step)
ДЛЯ s_x ОТ 0 ДО ширина_экрана
ДЛЯ s_y ОТ 0 ДО высота_экрана
// Преобразуем экранные координаты в мировые
x = s_x - ширина_экрана / 2
y = высота_экрана / 2 - s_y

точка_найдена = ЛОЖЬ
ДЛЯ z ОТ z_min ДО z_max С ШАГОМ step
ЕСЛИ is_point_on_gmt(x, y, z) ТО
нарисовать_пиксель(s_x, s_y, цвет_объекта)
точка_найдена = ИСТИНА
ПРЕРВАТЬ ЦИКЛ // Переходим к следующему пикселю
КОНЕЦ ЕСЛИ
КОНЕЦ ЦИКЛА

ЕСЛИ НЕ точка_найдена ТО
нарисовать_пиксель(s_x, s_y, цвет_фона)
КОНЕЦ ЕСЛИ
КОНЕЦ ЦИКЛА
КОНЕЦ ЦИКЛА
КОНЕЦ ПРОЦЕДУРЫ

Недостатки этого изображения:
1. Потеря информации о глубине: Так как мы проецируем 3D-объект на 2D-плоскость, полностью теряется информация о координате $z$. Мы не можем визуально определить, какие части объекта находятся ближе, а какие — дальше. Изображение получается «плоским».
2. Ограниченность обзора: Мы видим только ту часть ГМТ, которая попадает в заданный диапазон координат $x, y, z$. Если ГМТ (например, плоскость) бесконечно, мы увидим лишь его конечный фрагмент.
3. Дискретность: Изображение состоит из пикселей, поэтому наклонные линии и кривые будут выглядеть ступенчатыми (эффект «лесенки» или алиасинг).

Преобразование, которое фактически реализует эта программа, — это параллельное (ортографическое) проецирование на плоскость $XY$. Это преобразование пространства, при котором каждая точка $(x, y, z)$ переходит в точку $(x, y)$ на плоскости проекции.

Ответ: Изображение строится путем перебора пикселей экрана и поиска для каждого из них соответствующей точки ГМТ вдоль оси $Z$. Недостатки: плоское изображение без ощущения глубины, ограниченность обзора, дискретность. Программа реализует параллельное проецирование.

2. Подпрограмма должна проверять, удовлетворяют ли координаты точки $(x, y, z)$ уравнению плоскости $ax + by + cz + d = 0$. При работе с числами с плавающей запятой прямое сравнение с нулем ($ax + by + cz + d == 0$) может привести к ошибкам из-за неточности вычислений. Поэтому более надежным подходом является проверка того, что абсолютное значение выражения $|ax + by + cz + d|$ меньше некоторой очень малой величины $\epsilon$ (эпсилон).

Псевдокод подпрограммы:
ПОДПРОГРАММА is_point_on_plane(x, y, z, a, b, c, d) -> ЛОГИЧЕСКИЙ
// epsilon - малая положительная константа для учета погрешности
КОНСТАНТА epsilon = 0.0001

значение = a * x + b * y + c * z + d

ЕСЛИ abs(значение) < epsilon ТО
ВЕРНУТЬ ИСТИНА
ИНАЧЕ
ВЕРНУТЬ ЛОЖЬ
КОНЕЦ ЕСЛИ
КОНЕЦ ПОДПРОГРАММЫ

Ответ: Подпрограмма вычисляет значение выражения $ax + by + cz + d$ для данной точки и проверяет, является ли его абсолютное значение меньше заранее заданной малой погрешности $\epsilon$.

3. С помощью программ из заданий 1 и 2 можно изобразить различные плоскости, задавая разные коэффициенты $a, b, c, d$. Например:
* $a=0, b=0, c=1, d=0$ (уравнение $z=0$) — плоскость $XY$. На экране она будет видна как полностью закрашенная область (если диапазон $z$ включает ноль).
* $a=1, b=0, c=0, d=-100$ (уравнение $x=100$) — плоскость, параллельная $YZ$. На экране будет видна как вертикальная линия.
* $a=1, b=1, c=1, d=0$ (уравнение $x+y+z=0$) — наклонная плоскость.

Вывод о целесообразности изображения плоскости «целиком»: Плоскость по определению бесконечна. Экран компьютера имеет конечные размеры. Следовательно, изобразить плоскость «целиком» невозможно. Любое ее изображение на экране является лишь небольшим фрагментом, ограниченным областью видимости нашей виртуальной «камеры».

Чтобы получить изображение плоскости в виде прямой, нужно, чтобы направление взгляда (в нашем случае — ось $Z$) было параллельно самой плоскости. Это происходит, когда плоскость перпендикулярна плоскости проекции (плоскости $XY$). Нормальный вектор к плоскости $ax+by+cz+d=0$ — это $\vec{n} = (a, b, c)$. Нормальный вектор к плоскости $XY$ — это $\vec{k} = (0, 0, 1)$. Плоскости будут перпендикулярны, если их нормальные векторы ортогональны, то есть их скалярное произведение равно нулю:
$\vec{n} \cdot \vec{k} = a \cdot 0 + b \cdot 0 + c \cdot 1 = c = 0$.
Таким образом, любая плоскость, в уравнении которой коэффициент $c=0$ (и при этом $a$ или $b$ не равны нулю), будет проецироваться на плоскость $XY$ в виде прямой. Например, при $a=1, b=1, c=0, d=0$ мы получим уравнение $x+y=0$, которое на экране будет выглядеть как прямая $y=-x$.

Ответ: Изобразить плоскость «целиком» невозможно, так как она бесконечна. Чтобы ее проекция выглядела как прямая, нужно выбрать параметры так, чтобы $c=0$, а $a$ и $b$ не были одновременно равны нулю.

4. Чтобы изображение было более осмысленным, необходимо добавить информацию о глубине и пространственном расположении плоскости. Вот несколько способов модификации программы:

1. Имитация освещения и глубины (туман): Это самый простой способ улучшить существующий алгоритм. Вместо того чтобы закрашивать все найденные точки одним цветом, можно изменять их яркость или цвет в зависимости от координаты $z$. Точки с большим значением $z$ (дальше от наблюдателя) можно делать темнее или менее насыщенными. Это создаст иллюзию глубины. В псевдокоде, в строке `нарисовать_пиксель`, цвет можно вычислять как функцию от $z$.
цвет = рассчитать_цвет_по_глубине(базовый_цвет, z)

2. Использование перспективной проекции: Вместо параллельной проекции можно использовать перспективную, которая более реалистична. В этом случае объекты, находящиеся дальше, кажутся меньше. Координаты $(x, y, z)$ будут преобразовываться в экранные по более сложным формулам, например: $s_x = D \cdot x / z$, $s_y = D \cdot y / z$, где $D$ — фокусное расстояние. Это потребует значительного изменения алгоритма.

3. Отрисовка координатной сетки: На поверхности плоскости можно нарисовать сетку из линий. Искажение этой сетки (линии сходятся к горизонту) наглядно покажет ориентацию плоскости в пространстве и перспективу.

4. Отображение границ и пересечений: Можно ограничить плоскость некоторым контуром (например, прямоугольником или кругом), чтобы она выглядела как конечный объект. Также можно явно нарисовать линии пересечения этой плоскости с координатными плоскостями ($XY, YZ, XZ$), что поможет лучше понять ее положение в пространстве.

Ответ: Чтобы сделать изображение осмысленным, нужно добавить визуальные подсказки о глубине и ориентации. Самый простой способ — изменять цвет пикселя в зависимости от его координаты $z$ (чем дальше точка, тем она тусклее), что создает эффект глубины (тумана). Более сложные методы включают использование перспективной проекции и отрисовку сетки на поверхности плоскости.