Номер 3, страница 224 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

K § 3 «Сложение и вычитание векторов»

1. Добавьте к набору подпрограмм для работы с векторами подпрограммы:

1) сложения двух векторов;

2) вычитания двух векторов.

2. Определите, какие полезные подпрограммы для работы с векторами можно создать по материалу этого параграфа. Напишите их.

3. Напишите программу для сложения n векторов, используя ранее созданные подпрограммы. Обратите особое внимание на способ задания этих векторов.

1.

Для добавления подпрограмм сложения и вычитания векторов необходимо определить, как представляется вектор. Наиболее универсальным способом является представление вектора в виде массива (или списка) его координат. Например, вектор $\vec{v} = (x, y, z)$ будет представлен как список `[x, y, z]`. Операции сложения и вычитания векторов определены только для векторов одинаковой размерности.

1) сложения двух векторов

Сложение двух векторов $\vec{a} = (a_1, a_2, \dots, a_n)$ и $\vec{b} = (b_1, b_2, \dots, b_n)$ производится поэлементно. Результатом является новый вектор $\vec{c}$, каждая координата которого равна сумме соответствующих координат исходных векторов:

$\vec{c} = \vec{a} + \vec{b} = (a_1 + b_1, a_2 + b_2, \dots, a_n + b_n)$

Подпрограмма (функция) для сложения двух векторов может быть реализована следующим образом (на примере Python):

def add_vectors(v1, v2): "" Складывает два вектора, представленных в виде списков чисел. Векторы должны иметь одинаковую размерность. "" if len(v1) != len(v2): raise ValueError("Векторы должны иметь одинаковую размерность для сложения.") result = [] for i in range(len(v1)): result.append(v1[i] + v2[i]) return result# Пример использования:a = [1, 2, 3]b = [4, 5, 6]c = add_vectors(a, b)# c будет равен [5, 7, 9] 

2) вычитания двух векторов

Вычитание векторов также производится поэлементно. Из координат вектора $\vec{a}$ вычитаются соответствующие координаты вектора $\vec{b}$:

$\vec{d} = \vec{a} - \vec{b} = (a_1 - b_1, a_2 - b_2, \dots, a_n - b_n)$

Подпрограмма для вычитания двух векторов:

def subtract_vectors(v1, v2): "" Вычитает второй вектор из первого. Векторы должны иметь одинаковую размерность. "" if len(v1) != len(v2): raise ValueError("Векторы должны иметь одинаковую размерность для вычитания.") result = [] for i in range(len(v1)): result.append(v1[i] - v2[i]) return result# Пример использования:a = [10, 20, 30]b = [3, 5, 7]d = subtract_vectors(a, b)# d будет равен [7, 15, 23] 

Ответ: Выше представлены реализации подпрограмм для сложения и вычитания векторов, которые принимают на вход два списка чисел (векторы) и возвращают новый список (результирующий вектор) после выполнения соответствующей операции.

2.

На основе материала о сложении и вычитании векторов, а также связанных с ними базовых векторных операций, можно создать следующие полезные подпрограммы:

• Умножение вектора на скаляр (число). Эта операция изменяет длину вектора (и, возможно, направление на противоположное, если скаляр отрицательный).
  Формула: $k \cdot \vec{a} = (k \cdot a_1, k \cdot a_2, \dots, k \cdot a_n)$
  

  def scalar_multiply(vector, scalar): ""Умножает вектор на скаляр."" return [coord * scalar for coord in vector] 

• Нахождение длины (модуля) вектора. Это вычисление скалярной величины, характеризующей "длину" вектора в пространстве. Она вычисляется как квадратный корень из суммы квадратов его координат.
  Формула: $|\vec{a}| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + \dots + a_n^2}$
  

  import mathdef vector_magnitude(vector): ""Вычисляет длину (модуль) вектора."" return math.sqrt(sum(coord**2 for coord in vector)) 

• Скалярное произведение векторов. Результатом этой операции является число, которое можно использовать для нахождения угла между векторами или проекции одного вектора на другой.
  Формула: $\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2 + \dots + a_n b_n$
  

  def dot_product(v1, v2): ""Вычисляет скалярное произведение двух векторов."" if len(v1) != len(v2): raise ValueError("Векторы должны иметь одинаковую размерность.") return sum(v1[i] * v2[i] for i in range(len(v1))) 

• Нахождение противоположного вектора. Это вектор той же длины, но направленный в противоположную сторону. Его можно получить, вычитая вектор из нулевого вектора или умножая на скаляр -1.
  Формула: $-\vec{a} = (-a_1, -a_2, \dots, -a_n)$
  

  def negate_vector(vector): ""Возвращает противоположный вектор."" return [-coord for coord in vector] 

Ответ: Можно создать подпрограммы для умножения вектора на скаляр, вычисления его длины (модуля), нахождения скалярного произведения двух векторов и нахождения противоположного вектора.

3.

Для сложения $n$ векторов можно использовать подпрограмму сложения двух векторов, применяя её итеративно. Алгоритм будет следующим:
1. Создать "вектор-аккумулятор" (результирующий вектор), изначально равный нулевому вектору. Его размерность должна совпадать с размерностью складываемых векторов.
2. В цикле перебрать все $n$ векторов.
3. На каждой итерации прибавлять текущий вектор из списка к вектору-аккумулятору, используя ранее созданную подпрограмму `add_vectors`.

Особое внимание уделим способу задания векторов. Удобно представить набор из $n$ векторов как список списков (или двумерный массив), где каждый внутренний список — это координаты одного вектора. Например, набор из трёх 2D-векторов $\vec{v_1}=(1, 5)$, $\vec{v_2}=(2, 8)$, $\vec{v_3}=(-1, 3)$ будет задан как `[[1, 5], [2, 8], [-1, 3]]`. Важным условием является то, что все векторы в наборе должны иметь одинаковую размерность.

Ниже представлена программа, которая реализует этот подход.

# Подпрограмма из пункта 1 для сложения двух векторовdef add_vectors(v1, v2): ""Складывает два вектора."" if len(v1) != len(v2): raise ValueError("Векторы должны иметь одинаковую размерность.") result = [] for i in range(len(v1)): result.append(v1[i] + v2[i]) return result# Основная программа для сложения n векторовdef sum_n_vectors(list_of_vectors): "" Складывает n векторов, заданных в виде списка списков. Возвращает результирующий вектор. "" # Проверка, что список векторов не пуст if not list_of_vectors: return [] # Возвращаем пустой вектор, если на входе пустой список # Определяем размерность по первому вектору dimension = len(list_of_vectors[0]) # Создаем нулевой вектор-аккумулятор для хранения суммы sum_vector = [0] * dimension # Итеративно складываем векторы for vector in list_of_vectors: # Проверяем, что все векторы имеют одинаковую размерность if len(vector) != dimension: raise ValueError("Все векторы в списке должны иметь одинаковую размерность.") sum_vector = add_vectors(sum_vector, vector) return sum_vector# --- Пример использования ---# Способ задания: список, содержащий три 3D-вектораvectors = [ [1, 2, 3], [10, 11, 12], [-5, -3, -1]]# Вычисляем суммуresult_vector = sum_n_vectors(vectors)# Вывод результата# Ожидаемый результат: [1+10-5, 2+11-3, 3+12-1] -> [6, 10, 14]print(f"Набор векторов: {vectors}")print(f"Сумма векторов: {result_vector}") 

Ответ: Программа для сложения $n$ векторов реализована с использованием итеративного подхода, где ранее созданная подпрограмма `add_vectors` последовательно применяется к вектору-сумме и очередному вектору из заданного списка. Векторы задаются в виде списка списков, при этом все внутренние списки (векторы) должны иметь одинаковую длину (размерность).