Номер 22.186, страница 222 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

22.186. Точки $A$ и $B$ лежат в одной полуплоскости относительно прямой $a$.

a. Найдите на прямой $a$ такую точку $X$, чтобы сумма $AX + XB$ была наименьшей.

Для решения данной задачи используется метод осевой симметрии. Идея состоит в том, чтобы "распрямить" ломаную $AXB$ в отрезок прямой, длина которого и будет наименьшей.

Построение и доказательство:

1. Выберем одну из точек, например, точку $B$, и построим точку $B'$, симметричную ей относительно прямой $a$. Прямая $a$ будет серединным перпендикуляром к отрезку $BB'$.

2. По свойству осевой симметрии, для любой точки $X$, лежащей на прямой $a$, расстояние до симметричных точек $B$ и $B'$ будет одинаковым. То есть, $XB = XB'$.

3. Таким образом, сумма расстояний $AX + XB$, которую нам нужно минимизировать, равна сумме $AX + XB'$.

4. Теперь задача сводится к поиску на прямой $a$ такой точки $X$, чтобы сумма $AX + XB'$ была наименьшей. Поскольку точки $A$ и $B$ лежат в одной полуплоскости, то точки $A$ и $B'$ лежат в разных полуплоскостях. Кратчайшее расстояние между двумя фиксированными точками $A$ и $B'$ — это длина отрезка прямой $AB'$.

5. Наименьшее значение суммы $AX + XB'$ достигается тогда, когда точка $X$ лежит на отрезке $AB'$. Искомая точка $X$ должна одновременно принадлежать и прямой $a$, и отрезку $AB'$. Такая точка является точкой их пересечения.

Для любой другой точки $X_1$ на прямой $a$, не совпадающей с найденной точкой $X$, точки $A$, $X_1$ и $B'$ образуют треугольник. По неравенству треугольника:$AX_1 + X_1B' > AB'$

А так как $AB' = AX + XB'$, то$AX_1 + X_1B' > AX + XB'$

Учитывая, что $X_1B' = X_1B$ и $XB' = XB$, получаем:$AX_1 + X_1B > AX + XB$

Это доказывает, что найденная точка $X$ обеспечивает наименьшую сумму расстояний.

Ответ: Искомая точка $X$ — это точка пересечения прямой $a$ с отрезком $AB'$, где $B'$ — точка, симметричная точке $B$ относительно прямой $a$ (или, что эквивалентно, точка пересечения $a$ с отрезком $A'B$, где $A'$ — точка, симметричная $A$).