Номер 22.188, страница 222 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

22.188. Пусть вершина $A$ равностороннего треугольника $ABC$ является центром поворота на угол $120^\circ$. Найдите отрезок $BC_1$, где точка $C_1$ — образ точки $C$ при указанном повороте, если $AB = 1$ см.

Поскольку треугольник $ABC$ является равносторонним, все его стороны равны, а все углы составляют по $60^\circ$. По условию дано, что $AB = 1$ см, следовательно, $AC = BC = 1$ см, и угол $\angle BAC = 60^\circ$.

Точка $C_1$ является образом точки $C$ при повороте вокруг центра $A$ на угол $120^\circ$. Из определения геометрического поворота следует, что:
1. Расстояние от центра поворота до точки сохраняется. Это значит, что $AC_1 = AC$. Так как $AC = 1$ см, то и $AC_1 = 1$ см.
2. Угол, образованный лучами, проведенными из центра поворота к исходной точке ($C$) и ее образу ($C_1$), равен углу поворота. Таким образом, $\angle CAC_1 = 120^\circ$.

Чтобы найти длину искомого отрезка $BC_1$, рассмотрим треугольник $ABC_1$. В этом треугольнике нам известны длины двух сторон: $AB = 1$ см и $AC_1 = 1$ см. Найдем угол между этими сторонами — $\angle BAC_1$.

Угол $\angle BAC_1$ можно найти, рассмотрев взаимное расположение лучей $AB$, $AC$ и $AC_1$, исходящих из вершины $A$. Угол между $AB$ и $AC$ равен $60^\circ$, а угол между $AC$ и $AC_1$ равен $120^\circ$. Если поворот происходит в направлении, удаляющем точку $C$ от прямой $AB$, то итоговый угол будет равен сумме этих углов:
$\angle BAC_1 = \angle BAC + \angle CAC_1 = 60^\circ + 120^\circ = 180^\circ$.

Так как угол $\angle BAC_1$ равен $180^\circ$, это означает, что точки $B$, $A$ и $C_1$ лежат на одной прямой, причем точка $A$ расположена между точками $B$ и $C_1$.

Следовательно, длина отрезка $BC_1$ равна сумме длин отрезков $BA$ и $AC_1$:
$BC_1 = BA + AC_1 = 1 \text{ см} + 1 \text{ см} = 2 \text{ см}$.

Ответ: 2 см.