Номер 6, страница 224 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

К § 6 «Уравнение плоскости»

1. Предположим, что есть подпрограмма, которая по координатам точки в пространстве определяет, принадлежит ли эта точка некоторому ГМТ. Как, пользуясь этой подпрограммой, построить изображение этого ГМТ на экране компьютера в декартовой системе координат? Напишите программу для построения такого изображения. Каковы недостатки этого изображения? Какое преобразование, изученное в 10 классе, фактически реализует эта программа?

2. Напишите подпрограмму, которая по координатам точки в пространстве определяет, принадлежит ли она плоскости $ax + by + cz + d = 0$, заданной входными параметрами $a, b, c, d$ подпрограммы.

3. С помощью программ, созданных в заданиях 1 и 2, изобразите несколько разных плоскостей на экране компьютера. Сделайте вывод о целесообразности изображения плоскости «целиком». Подберите параметры $a, b, c, d$ так, чтобы получить изображение плоскости в виде прямой.

4. Как можно модифицировать программу изображения плоскости, что-бы это изображение было осмысленным?

1. Чтобы построить изображение геометрического места точек (ГМТ) на экране компьютера, можно использовать следующий алгоритм. Экран представляет собой двумерную сетку пикселей. Мы можем спроецировать трехмерное пространство на эту двумерную плоскость экрана. Самый простой способ — это параллельная проекция на плоскость $XY$. При такой проекции точка с координатами $(x, y, z)$ отображается в точку $(x, y)$ на плоскости.

Алгоритм построения изображения будет таким:
1. Перебираем каждый пиксель на экране с координатами $(s_x, s_y)$.
2. Сопоставляем координаты пикселя с координатами $(x, y)$ в мировой системе координат. Для простоты будем считать, что $x = s_x$ и $y = s_y$.
3. Для каждого пикселя $(x, y)$ мы должны проверить, существует ли такая координата $z$, что точка $(x, y, z)$ принадлежит нашему ГМТ. Для этого мы перебираем значения $z$ в некотором заданном диапазоне (например, от $z_{min}$ до $z_{max}$) с определенным шагом.
4. В цикле по $z$ мы вызываем данную нам подпрограмму, чтобы проверить, принадлежит ли точка $(x, y, z)$ ГМТ.
5. Если подпрограмма возвращает «истина», мы закрашиваем пиксель $(s_x, s_y)$ определенным цветом и можем прекратить перебор $z$ для этого пикселя, переходя к следующему.
6. Если после перебора всех $z$ точка не была найдена, пиксель остается незакрашенным (цветом фона).

Псевдокод программы может выглядеть так:
ПОДПРОГРАММА is_point_on_gmt(x, y, z) -> ЛОГИЧЕСКИЙ
// Предоставленная подпрограмма
КОНЕЦ ПОДПРОГРАММЫ

ПРОЦЕДУРА draw_gmt(z_min, z_max, step)
ДЛЯ s_x ОТ 0 ДО ширина_экрана
ДЛЯ s_y ОТ 0 ДО высота_экрана
// Преобразуем экранные координаты в мировые
x = s_x - ширина_экрана / 2
y = высота_экрана / 2 - s_y

точка_найдена = ЛОЖЬ
ДЛЯ z ОТ z_min ДО z_max С ШАГОМ step
ЕСЛИ is_point_on_gmt(x, y, z) ТО
нарисовать_пиксель(s_x, s_y, цвет_объекта)
точка_найдена = ИСТИНА
ПРЕРВАТЬ ЦИКЛ // Переходим к следующему пикселю
КОНЕЦ ЕСЛИ
КОНЕЦ ЦИКЛА

ЕСЛИ НЕ точка_найдена ТО
нарисовать_пиксель(s_x, s_y, цвет_фона)
КОНЕЦ ЕСЛИ
КОНЕЦ ЦИКЛА
КОНЕЦ ЦИКЛА
КОНЕЦ ПРОЦЕДУРЫ

Недостатки этого изображения:
1. Потеря информации о глубине: Так как мы проецируем 3D-объект на 2D-плоскость, полностью теряется информация о координате $z$. Мы не можем визуально определить, какие части объекта находятся ближе, а какие — дальше. Изображение получается «плоским».
2. Ограниченность обзора: Мы видим только ту часть ГМТ, которая попадает в заданный диапазон координат $x, y, z$. Если ГМТ (например, плоскость) бесконечно, мы увидим лишь его конечный фрагмент.
3. Дискретность: Изображение состоит из пикселей, поэтому наклонные линии и кривые будут выглядеть ступенчатыми (эффект «лесенки» или алиасинг).

Преобразование, которое фактически реализует эта программа, — это параллельное (ортографическое) проецирование на плоскость $XY$. Это преобразование пространства, при котором каждая точка $(x, y, z)$ переходит в точку $(x, y)$ на плоскости проекции.

Ответ: Изображение строится путем перебора пикселей экрана и поиска для каждого из них соответствующей точки ГМТ вдоль оси $Z$. Недостатки: плоское изображение без ощущения глубины, ограниченность обзора, дискретность. Программа реализует параллельное проецирование.

2. Подпрограмма должна проверять, удовлетворяют ли координаты точки $(x, y, z)$ уравнению плоскости $ax + by + cz + d = 0$. При работе с числами с плавающей запятой прямое сравнение с нулем ($ax + by + cz + d == 0$) может привести к ошибкам из-за неточности вычислений. Поэтому более надежным подходом является проверка того, что абсолютное значение выражения $|ax + by + cz + d|$ меньше некоторой очень малой величины $\epsilon$ (эпсилон).

Псевдокод подпрограммы:
ПОДПРОГРАММА is_point_on_plane(x, y, z, a, b, c, d) -> ЛОГИЧЕСКИЙ
// epsilon - малая положительная константа для учета погрешности
КОНСТАНТА epsilon = 0.0001

значение = a * x + b * y + c * z + d

ЕСЛИ abs(значение) < epsilon ТО
ВЕРНУТЬ ИСТИНА
ИНАЧЕ
ВЕРНУТЬ ЛОЖЬ
КОНЕЦ ЕСЛИ
КОНЕЦ ПОДПРОГРАММЫ

Ответ: Подпрограмма вычисляет значение выражения $ax + by + cz + d$ для данной точки и проверяет, является ли его абсолютное значение меньше заранее заданной малой погрешности $\epsilon$.

3. С помощью программ из заданий 1 и 2 можно изобразить различные плоскости, задавая разные коэффициенты $a, b, c, d$. Например:
* $a=0, b=0, c=1, d=0$ (уравнение $z=0$) — плоскость $XY$. На экране она будет видна как полностью закрашенная область (если диапазон $z$ включает ноль).
* $a=1, b=0, c=0, d=-100$ (уравнение $x=100$) — плоскость, параллельная $YZ$. На экране будет видна как вертикальная линия.
* $a=1, b=1, c=1, d=0$ (уравнение $x+y+z=0$) — наклонная плоскость.

Вывод о целесообразности изображения плоскости «целиком»: Плоскость по определению бесконечна. Экран компьютера имеет конечные размеры. Следовательно, изобразить плоскость «целиком» невозможно. Любое ее изображение на экране является лишь небольшим фрагментом, ограниченным областью видимости нашей виртуальной «камеры».

Чтобы получить изображение плоскости в виде прямой, нужно, чтобы направление взгляда (в нашем случае — ось $Z$) было параллельно самой плоскости. Это происходит, когда плоскость перпендикулярна плоскости проекции (плоскости $XY$). Нормальный вектор к плоскости $ax+by+cz+d=0$ — это $\vec{n} = (a, b, c)$. Нормальный вектор к плоскости $XY$ — это $\vec{k} = (0, 0, 1)$. Плоскости будут перпендикулярны, если их нормальные векторы ортогональны, то есть их скалярное произведение равно нулю:
$\vec{n} \cdot \vec{k} = a \cdot 0 + b \cdot 0 + c \cdot 1 = c = 0$.
Таким образом, любая плоскость, в уравнении которой коэффициент $c=0$ (и при этом $a$ или $b$ не равны нулю), будет проецироваться на плоскость $XY$ в виде прямой. Например, при $a=1, b=1, c=0, d=0$ мы получим уравнение $x+y=0$, которое на экране будет выглядеть как прямая $y=-x$.

Ответ: Изобразить плоскость «целиком» невозможно, так как она бесконечна. Чтобы ее проекция выглядела как прямая, нужно выбрать параметры так, чтобы $c=0$, а $a$ и $b$ не были одновременно равны нулю.

4. Чтобы изображение было более осмысленным, необходимо добавить информацию о глубине и пространственном расположении плоскости. Вот несколько способов модификации программы:

1. Имитация освещения и глубины (туман): Это самый простой способ улучшить существующий алгоритм. Вместо того чтобы закрашивать все найденные точки одним цветом, можно изменять их яркость или цвет в зависимости от координаты $z$. Точки с большим значением $z$ (дальше от наблюдателя) можно делать темнее или менее насыщенными. Это создаст иллюзию глубины. В псевдокоде, в строке `нарисовать_пиксель`, цвет можно вычислять как функцию от $z$.
цвет = рассчитать_цвет_по_глубине(базовый_цвет, z)

2. Использование перспективной проекции: Вместо параллельной проекции можно использовать перспективную, которая более реалистична. В этом случае объекты, находящиеся дальше, кажутся меньше. Координаты $(x, y, z)$ будут преобразовываться в экранные по более сложным формулам, например: $s_x = D \cdot x / z$, $s_y = D \cdot y / z$, где $D$ — фокусное расстояние. Это потребует значительного изменения алгоритма.

3. Отрисовка координатной сетки: На поверхности плоскости можно нарисовать сетку из линий. Искажение этой сетки (линии сходятся к горизонту) наглядно покажет ориентацию плоскости в пространстве и перспективу.

4. Отображение границ и пересечений: Можно ограничить плоскость некоторым контуром (например, прямоугольником или кругом), чтобы она выглядела как конечный объект. Также можно явно нарисовать линии пересечения этой плоскости с координатными плоскостями ($XY, YZ, XZ$), что поможет лучше понять ее положение в пространстве.

Ответ: Чтобы сделать изображение осмысленным, нужно добавить визуальные подсказки о глубине и ориентации. Самый простой способ — изменять цвет пикселя в зависимости от его координаты $z$ (чем дальше точка, тем она тусклее), что создает эффект глубины (тумана). Более сложные методы включают использование перспективной проекции и отрисовку сетки на поверхности плоскости.