Номер 11, страница 226 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

K § 11 «Комбинации конуса и пирамиды»

Проанализируйте, из каких графических элементов состоит изображение конуса (усечённого конуса), вписанной в него и описанной около него пирамиды (усечённой пирамиды). Сделайте выводы о том, какая информация нужна для построения этих изображений на экране компьютера.

Анализ графических элементов, из которых состоит изображение

Изображения комбинаций конуса и пирамиды (в том числе усеченных) на плоскости (экране компьютера) состоят из базовых графических примитивов — отрезков и эллипсов (которые являются проекциями окружностей). Конкретный набор элементов зависит от фигуры:

• Конус: Изображение состоит из одного эллипса, представляющего собой проекцию круга в основании, и двух отрезков (образующих), которые являются касательными к эллипсу и сходятся в одной точке — вершине конуса. Часть эллипса, находящаяся за образующими (дальняя от наблюдателя), обычно изображается штриховой линией для наглядности.
• Усеченный конус: Изображение состоит из двух эллипсов разного размера (проекции верхнего и нижнего оснований) и двух отрезков (образующих), которые являются общими внешними касательными к этим эллипсам. Части обоих эллипсов, невидимые для наблюдателя, изображаются штриховыми линиями.
• Пирамида, вписанная в конус: К изображению конуса добавляется изображение пирамиды. Ее основание — это многоугольник, вершины которого лежат на эллипсе-основании конуса. Боковые ребра — это отрезки, соединяющие вершины этого многоугольника с вершиной конуса. Видимые и невидимые ребра и стороны основания изображаются сплошными и штриховыми линиями соответственно.
• Пирамида, описанная около конуса: К изображению конуса добавляется изображение пирамиды. Ее основание — это многоугольник, стороны которого касаются эллипса-основания конуса. Боковые ребра соединяют вершины многоугольника с вершиной конуса.
• Усеченная пирамида, вписанная в усеченный конус: К изображению усеченного конуса добавляется изображение усеченной пирамиды. Ее основаниями являются два подобных многоугольника, вершины которых лежат на эллипсах верхнего и нижнего оснований конуса. Боковые ребра — это отрезки, соединяющие соответствующие вершины этих многоугольников.
• Усеченная пирамида, описанная около усеченного конуса: К изображению усеченного конуса добавляется изображение усеченной пирамиды. Ее основаниями являются два подобных многоугольника, стороны которых касаются эллипсов верхнего и нижнего оснований конуса. Боковые ребра соединяют соответствующие вершины оснований.

Ответ: Изображения указанных геометрических тел состоят из комбинаций графических примитивов: эллипсов (для оснований конусов) и отрезков (для образующих конусов и ребер пирамид).

Выводы о том, какая информация нужна для построения этих изображений на экране компьютера

Для построения 3D-модели геометрического тела и последующего его проецирования на 2D-экран компьютера необходима следующая информация, задающая фигуру в трехмерном пространстве и параметры вида:

• Для конуса:
  1. Координаты центра основания: $O(x_c, y_c, z_c)$.
  2. Радиус основания: $R$.
  3. Высота конуса: $H$.
  4. Вектор нормали к плоскости основания, задающий ориентацию конуса в пространстве. Обычно для простоты ось конуса совмещают с одной из координатных осей (например, OZ).
• Для усеченного конуса:
  1. Координаты центра нижнего основания: $O_1(x_1, y_1, z_1)$.
  2. Радиус нижнего основания: $R$.
  3. Радиус верхнего основания: $r$, где $r < R$.
  4. Высота усеченного конуса: $H$.
  5. Вектор оси.
• Для пирамиды, вписанной в конус или описанной около него:
  1. Параметры конуса ($O, R, H$), в который вписывается или около которого описывается пирамида.
  2. Количество сторон многоугольника в основании пирамиды: $n$.
  3. Параметры ориентации основания пирамиды (например, угол поворота относительно оси или координаты одной из вершин). Это определяет положение всех остальных вершин на окружности основания конуса (для вписанной) или положение касательных (для описанной).
• Для усеченной пирамиды (вписанной или описанной):
  1. Параметры усеченного конуса ($O_1, R, r, H$).
  2. Количество сторон многоугольников в основаниях пирамиды: $n$.
  3. Параметры ориентации оснований. Ориентация верхнего и нижнего оснований должна быть согласована, чтобы боковые ребра соединяли соответствующие вершины.

Кроме того, для получения двумерного изображения на экране необходимо задать параметры проекции: положение наблюдателя (камеры), направление взгляда и тип проекции (чаще всего — перспективная), которые определяют, как трехмерные объекты будут преобразованы в двумерное изображение, включая ракурсы и видимость тех или иных элементов.

Ответ: Для построения изображений на компьютере необходимо задать геометрические параметры фигур (координаты центров, радиусы, высоты, количество вершин оснований пирамид, их ориентацию) и параметры камеры/проекции для преобразования 3D-модели в 2D-изображение.