Номер 13, страница 226 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

К § 13 «Взаимное расположение сферы и плоскости»

Напишите программу, которая по заданным уравнениям сферы и плоскости строит на экране компьютера изображение сферы и ГМТ пересечения сферы и плоскости.

Для решения этой задачи необходимо сначала разобрать математическую основу, затем составить алгоритм программы, и, наконец, реализовать его на языке программирования с использованием библиотеки для построения графиков. В качестве примера будет использован Python с библиотеками NumPy для вычислений и Matplotlib для 3D-визуализации.

1. Математическая основа

Взаимное расположение сферы и плоскости определяется расстоянием от центра сферы до плоскости.

Пусть уравнение сферы задано как:

$(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z - z_0)^2 = R^2$

где $C(x_0, y_0, z_0)$ — центр сферы, а $R$ — её радиус.

Уравнение плоскости задано как:

$Ax + By + Cz + D = 0$

где вектор нормали к плоскости $\vec{n} = (A, B, C)$.

Расстояние $d$ от центра сферы $C(x_0, y_0, z_0)$ до плоскости вычисляется по формуле:

$d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$

Возможны три случая:

1. Если $d > R$, плоскость и сфера не пересекаются.
2. Если $d = R$, плоскость касается сферы в одной точке. Эта точка является основанием перпендикуляра, опущенного из центра сферы на плоскость.
3. Если $d < R$, плоскость пересекает сферу. Геометрическое место точек (ГМТ) пересечения — это окружность.

В случае пересечения ( $d < R$ ) нам нужно найти параметры этой окружности:

• Центр окружности $C'$: Это проекция центра сферы $C$ на плоскость. Его координаты можно найти, сдвинувшись от точки $C$ вдоль вектора нормали $\vec{n}$ на расстояние $d$. Направление сдвига определяется знаком выражения $Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D$. Координаты центра окружности $C'(x_c, y_c, z_c)$ вычисляются так:
  $t = \frac{Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D}{A^2 + B^2 + C^2}$
  $x_c = x_0 - t \cdot A$
  $y_c = y_0 - t \cdot B$
  $z_c = z_0 - t \cdot C$
• Радиус окружности $r$: Его можно найти по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника, образованного радиусом сферы $R$, расстоянием $d$ и радиусом сечения $r$.
  $r = \sqrt{R^2 - d^2}$

2. Алгоритм программы

1. Задать параметры сферы (координаты центра $x_0, y_0, z_0$ и радиус $R$) и плоскости (коэффициенты $A, B, C, D$).
2. Вычислить расстояние $d$ от центра сферы до плоскости.
3. Построить 3D-график.
4. Нарисовать сферу. Для этого можно использовать параметрическое задание в сферических координатах.
5. Нарисовать плоскость. Для этого можно создать сетку (meshgrid) по осям X и Y, а для каждой точки сетки вычислить соответствующую координату Z из уравнения плоскости.
6. Проверить условие пересечения:
   • Если $d < R$, то вычислить параметры окружности сечения (центр $C'$ и радиус $r$).
   • Для построения окружности в 3D пространстве нужно задать её параметрически. Для этого необходимо найти два ортогональных единичных вектора $\vec{u}$ и $\vec{v}$, лежащих в секущей плоскости. Их можно получить, например, через векторное произведение вектора нормали $\vec{n}$ с одним из базисных векторов (если они не коллинеарны).
   • Точки окружности задаются уравнением: $P(\theta) = C' + r \cdot \cos(\theta) \cdot \vec{u} + r \cdot \sin(\theta) \cdot \vec{v}$, где $\theta$ изменяется от $0$ до $2\pi$.
   • Нарисовать полученную окружность.
   • Если $d = R$, вычислить координаты точки касания и отметить её на графике.
   • Если $d > R$, вывести сообщение об отсутствии пересечения.
7. Настроить и отобразить график.

3. Пример реализации на Python

Ниже приведен код, реализующий данный алгоритм.

import numpy as npimport matplotlib.pyplot as plt# --- 1. Входные данные ---# Параметры сферы: центр (x0, y0, z0) и радиус Rsphere_center = np.array([2, 3, 4])sphere_radius = 5.0# Параметры плоскости: Ax + By + Cz + D = 0# Вектор нормали (A, B, C) и смещение Dplane_normal = np.array([1, 1, 1])plane_d_coeff = -12 # D в уравнении Ax+By+Cz+D=0# --- 2. Математические вычисления ---# Расстояние от центра сферы до плоскостиA, B, C = plane_normalx0, y0, z0 = sphere_centerdistance = (np.abs(A*x0 + B*y0 + C*z0 + plane_d_coeff) / np.sqrt(A**2 + B**2 + C**2))# --- 3. Построение ---fig = plt.figure(figsize=(10, 8))ax = fig.add_subplot(111, projection='3d')# Построение сферыu = np.linspace(0, 2 * np.pi, 100)v = np.linspace(0, np.pi, 100)x_sphere = sphere_center[0] + sphere_radius * np.outer(np.cos(u), np.sin(v))y_sphere = sphere_center[1] + sphere_radius * np.outer(np.sin(u), np.sin(v))z_sphere = sphere_center[2] + sphere_radius * np.outer(np.ones(np.size(u)), np.cos(v))ax.plot_surface(x_sphere, y_sphere, z_sphere, color='b', alpha=0.2, rstride=5, cstride=5)# Построение плоскостиx_plane = np.linspace(-5, 10, 50)y_plane = np.linspace(-5, 10, 50)X_plane, Y_plane = np.meshgrid(x_plane, y_plane)Z_plane = (-A * X_plane - B * Y_plane - plane_d_coeff) / Cax.plot_surface(X_plane, Y_plane, Z_plane, color='g', alpha=0.3)# Построение ГМТ пересеченияif distance > sphere_radius: print("Сфера и плоскость не пересекаются.") title = "Нет пересечения"elif distance == sphere_radius: print("Сфера и плоскость касаются в одной точке.") # Координаты точки касания t = (A*x0 + B*y0 + C*z0 + plane_d_coeff) / (A**2 + B**2 + C**2) touch_point = sphere_center - t * plane_normal ax.scatter(*touch_point, color='r', s=100, label='Точка касания') title = "Касание в одной точке"else: # distance < sphere_radius print("Плоскость пересекает сферу по окружности.") # Радиус окружности сечения circle_radius = np.sqrt(sphere_radius**2 - distance**2) # Центр окружности сечения t = (A*x0 + B*y0 + C*z0 + plane_d_coeff) / (A**2 + B**2 + C**2) circle_center = sphere_center - t * plane_normal # Находим базисные векторы для плоскости окружности # Первый вектор u_vec if A != 0 or B != 0: u_vec_unnormalized = np.array([-B, A, 0]) else: # нормаль (0, 0, C) u_vec_unnormalized = np.array([1, 0, 0]) u_vec = u_vec_unnormalized / np.linalg.norm(u_vec_unnormalized) # Второй вектор v_vec (ортогональный u_vec и нормали) v_vec = np.cross(plane_normal, u_vec) v_vec = v_vec / np.linalg.norm(v_vec) # Параметризуем окружность theta = np.linspace(0, 2 * np.pi, 100) circle_points = (circle_center[:, np.newaxis] + circle_radius * np.cos(theta) * u_vec[:, np.newaxis] + circle_radius * np.sin(theta) * v_vec[:, np.newaxis]) ax.plot(circle_points[0,:], circle_points[1,:], circle_points[2,:], color='r', linewidth=3, label='Окружность пересечения') ax.scatter(*circle_center, color='k', s=50, label='Центр окружности') title = f"Пересечение по окружности (r={circle_radius:.2f})"# Настройка видаax.set_xlabel('Ось X')ax.set_ylabel('Ось Y')ax.set_zlabel('Ось Z')ax.set_title(title)ax.set_aspect('equal')plt.legend()plt.show()

4. Объяснение кода

• Блок 1 (Входные данные): Здесь определяются параметры сферы и плоскости. Их можно изменять для визуализации различных случаев.
• Блок 2 (Математические вычисления): Рассчитывается расстояние $d$ от центра сферы до плоскости по приведенной выше формуле. Это ключевой параметр, определяющий тип пересечения.
• Блок 3 (Построение):
  • Создается объект 3D-графика с помощью matplotlib.
  • Сфера строится с помощью функции plot_surface. Её точки генерируются на основе параметрического уравнения в сферических координатах. alpha отвечает за прозрачность.
  • Плоскость также строится с помощью plot_surface. Создается сетка в плоскости XY (meshgrid), и для каждой точки вычисляется координата Z, чтобы точка принадлежала плоскости.
  • ГМТ пересечения:
    - В условном операторе if/elif/else происходит проверка соотношения расстояния distance и радиуса sphere_radius.
    - В случае пересечения ($d < R$) вычисляются радиус и центр окружности. Затем создаются два ортогональных вектора u_vec и v_vec, лежащие в секущей плоскости. Они образуют базис, в котором легко задать уравнение окружности.
    - Точки окружности генерируются в цикле по углу $\theta$ и наносятся на график с помощью функции plot.
  • Настройка вида: Добавляются подписи осей, заголовок, легенда и устанавливается равный масштаб по осям (ax.set_aspect('equal')), чтобы сфера не выглядела как эллипсоид.

Ответ: Программа, написанная на языке Python с использованием библиотек NumPy и Matplotlib, позволяет наглядно визуализировать сферу, плоскость и их геометрическое место точек пересечения (окружность, точку или пустое множество) на основе заданных уравнений. Ключевыми этапами являются вычисление расстояния от центра сферы до плоскости и, в случае пересечения, нахождение параметров (центра и радиуса) окружности сечения для её последующего параметрического построения в 3D-пространстве.